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【北师大版九年级数学（上）单元测试卷】
第三章：概率的进一步认识
一、选择题：（每小题3分共30分）
1．一个布袋里装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球．从布袋里摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则两次摸到的球都是红球的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
解：由题意，将2个红球，1个白球分别记为，
画出树状图如下：
由图可知，两次摸球的所有可能的结果共有9种，它们每一种出现的可能性都相等；其中，两次摸到的球都是红球的结果有4种，
则所求的概率为，
故选：C．
2．以下转盘分别被分成2个、4个、5个、6个面积相等的扇形，任意转动这4个转盘各1次．已知某转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率是，则对应的转盘是（
）
A．B．C．D．
解：A．指针落在阴影区域的概率是，B．指针落在阴影区域的概率是，
C．指针落在阴影区域的概率是，D．指针落在阴影区域的概率是，
故选D．
3．小明计划到永州市体验民俗文化，想从“零陵渔鼓，瑶族长鼓舞，东安武术，舜帝祭典”四种民俗文化中任意选择两项，则小明选择体验“瑶族长鼓舞，舜帝祭典”的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
解：设A、B、C、D分别表示“零陵渔鼓，瑶族长鼓舞，东安武术，舜帝祭典”四种民俗文化，则列表格为：
A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
由表可知，共有12种等可能结果，其中小明选择体验“瑶族长鼓舞，舜帝祭典”有2种，所以小明选择体验“瑶族长鼓舞，舜帝祭典”的概率为．
故选：D．
4．在一个不透明的盒子中装有m个除颜色外完全相同的球，这m个球中只有4个红球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在25%左右，则m的值大约为（ ）
A．10
B．12
C．16
D．20
解：根据题意得：
×100%=25%，
解得：m=16，
答：m的值大约为16．
故选：C．
5．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有2个，黑球有个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则的值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
解：由题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的解；
故选A．
6．在一个不透明的布袋中装有40个白球和若干黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.2左右，则布袋中黑球的个数可能是（
）
A．13
B．8
C．14
D．10
解：设袋中有黑球x个，
由题意得：=0.2，
解得：x=10，
经检验x=10是原方程的解，
则布袋中黑球的个数可能有10个．
故选：D．
7．现从四个数，0，1，2中任意选出两个不同的数，分别作为函数中a，b的值．那么所得图像中，分布在一二三象限的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
解：列表如下：
一共有种等可能的结果，
而分布在一二三象限，
＞＞
所以符合条件的等可能的结果数有种，
所以使分布在一二三象限的概率是
故选：
8．小丽准备通过爱心热线捐款，她只记得号码的前
位，后三位由
，，
这三个数字组成，但具体顺序忘记了，她第一次就拨对电话的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
解：∵她只记得号码的前5位，后三位由5，0，2，这三个数字组成，
∴可能的结果有：502，520，052，025，250，205；
∴他第一次就拨通电话的概率是：．
故选：D．
9．将一枚六个面编号分别为1、2、3、4、5、6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x、y的方程组，只有正数解的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：①当a﹣2b＝0时，方程组无解；
②当a﹣2b≠0时，方程组的解为由a、b的实际意义为1，2，3，4，5，6可得．
易知a，b都为大于0的整数，则两式联合求解可得x＝，y＝，
∵使x、y都大于0则有x＝＞0，y＝＞0，
∴解得a＜，b＞或者a＞，b＜，
∵a，b都为1到6的整数，
∴可知当a为1时b只能是1，2，3，4，5，6；或者a为2，3，4，5，6时b无解，
这两种情况的总出现可能有6种；（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6），
又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求概率为＝＝，
故选：B．
10．广东省2021年的高考采用“”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．若小红在“1”中选择了历史，则她在“2”中选地理、生物的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
解：用树状图表示所有可能出现的结果如下：
共有12种等可能的结果数，其中选中“地理”“生物”的有2种，
则P（地理、生物）＝2÷12＝．故选A．
二.填空题：（每小题3分共15分）
11．为了防止输入性“新冠肺炎”，某医院成立隔离治疗发热病人防控小组，决定从内科3位骨干医师中（含有甲）抽调2人组成．则甲一定会被抽调到防控小组的概率是___．
解：设内科3位骨干医师分别即为甲、乙、丙，
画树状图如图：
共有6个等可能的结果，甲一定会被抽调到防控小组的结果有4个，
∴甲一定会被抽调到防控小组的概率=，故答案为：．
12．现有三张分别标有数字、、1的卡片，它们除了数不同外其余完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张，将上面的数字记为；放回后从卡片中再任意抽取一张，将上面的数字记为，则一次函数的图象经过第一象限的概率_________．
解：列表格如下：
-2
-1
1
-2
-1
1
共有9种等可能的结果，而只有时，当一次函数的图象不经过第一象限，所以经过第一象限的情况有5种，
∴一次函数的图象经过第一象限的概率为，
故答案为：．
13．在一个不透明的袋子中有1个红球，2个白球和若干个黑球．小明将袋子中的球摇匀后，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回袋中并摇匀．在多次重复以上操作后，小明统计了摸到红球的频率，并绘制了如图所示的折线统计图，则袋子中一共有球____________个．
解：观察折线统计图可知：
摸到红球的频率稳定在0.25，
设袋子中有x个黑球，
所以=0.25，
解得x=1，
经检验，x=1是原方程的解，
所以袋子中一共有1+2+1=4（个）球．
故答案为：4．
14．如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是__．
解：由游戏转盘划分区域的圆心角度数可得，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是．
故答案为：．
15．我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和如图1，是该三角形的顺序旋转和，是该三角形的逆序旋转和．已知某三角形的特征值如图2，若从1，2，3中任取一个数作为x，从1，2，3，4中任取一个数作为y，则对任意正整数k，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是_________．
解：画树状图如下：
所以一共有种等可能的结果，
又三角形的顺序旋转和与逆序旋转和分别为：
＜恒成立，为正整数，
满足条件的有：共种情况，
所以此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是：
故答案为：
三.解答题：（共55分）
16．（6分）在一个不透明的袋子中有一个黑球和两个白球（除颜色外其他均相同）．
（1）小丽从袋子中摸出一个球，则摸到白球的概率是______；
（2）小强第一次从袋子中摸出一个球，摸到黑球不放回，摸到白球放回；第二次又从袋子中摸出一个球，请用树状图（或列表法）求小强两次都摸到白球的概率．
解：（1）一共有3种情况，两次都摸出白球的情况数有2种，所以概率为；
（2）根据树状图可知：一共有8种情况，满足条件的有4种情况，
所以．
17．（8分）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样，更便捷．为此，老师设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）．某校八年级（1）班同学利用课余时间对全校师生进行了抽样调查，并将统计结果绘制成如图所示两幅不完整的统计图：
请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次参与调查的共有______人，在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为______；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）如果该校有3600人在使用手机：
①请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的人数；
②在该校师生中随机抽取一人，用频率估计概率，抽取的恰好使用“QQ”的概率是______．
解（1）∵喜欢用电话沟通的人数为400，所占百分比为20%，
∴此次共抽查了（人），
2000×5％=100（人），
（人），
表示“微信”的扇形圆心角的度数为：
，
故答案为：2000；144°；
（2）短信人数为（人），
微信人数为：
（人），
如图：
（3）①由（2）知：参与调查的人中喜欢用“微信”进行沟通的人数有800人，
所以在该校使用手机的3600人中，估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数有：
（人），
∴在该校3600人中，估计最喜欢用“微信”进行沟通的有1440人；
②由（1）可知：参与这次调查的共有2000人，
其中喜欢用“QQ”进行沟通的人数为440人，
在参与这次调查的人中随机抽取一人，
抽取的恰好使用“QQ”的频率是．
所以，用频率估计概率，在该校使用手机的人中随机抽取一人，
抽取的恰好使用“QQ”的概率是，
故答案为：．
18．（6分）为纪念并缅怀当今神农袁隆平为解决人类温饱问题所建立的丰功伟绩，扎实推进“光盘行动”，某校八年级举办“缅怀伟人，拒绝浪费，从我做起”的学生演讲比赛，八（1）班准备从小怡、小宏、小童、小灿4名同学之中选择两名参加比赛，选择方案如下：制作4张完全相同的卡片，正面分别写上这4名同学的姓名，将卡片反面朝上洗匀，张老师从4张卡片中随机抽取1张卡片不放回，再抽取一张，卡片正面是谁的名字，谁就代表班级参加比赛．（注：可以用、、、分别表示小怡、小宏、小童、小灿的名字）
（1）用树状图或列表法列出所有等可能结果；
（2）求小怡和小宏同时被选中的概率．
解：（1）画树状图如图：
所有等可能结果共有12种；
（2）由（1）可知，共有12种等可能的结果，小怡和小宏同时被选中的结果有2种，
∴小怡和小宏同时被选中的概率为．
19．（9分）王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球实验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据．
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到黑球的次数m
23
31
60
130
203
251
摸到黑球的频率
0.23
0.21
0.30
0.26
0.253
（1）补全上表中的有关数据
；
（2）根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是
；（精确到0.01）
（3）估算袋中白球的个数．
解(1)依题可知，摸到黑球的频率为：摸到黑球次数÷摸球的次数；摸到黑球的频率为：；
(2)利用实验数据的处理方法，对所得的摸到黑球的频率进行求解平均值：
；
(3)
设白球的个数为个，
结合(2)中摸到黑球的概率为：；
∴
，可得：；
∴估算袋中的白球个数为3个；
20．（8分）某单位组织员工进行新冠疫苗接种，现有A，B，C三辆车去医院，它们出发的先后顺序随机，财务科的王会计要早点出发，她只坐第一个出发的那辆车，张会计手上还有一些事务需要处理，她要坐第三个出发的那辆车．
请你运用所学概率知识解决下列问题：
（1）写出这三辆车按先后顺序出发的所有可能结果；
（2）这两人中，谁乘坐到A车的可能性大？请说明理由．
解：（1）用树状图表示所有可能出现的结果如下：
（2）王会计、张会计乘坐A车的可能性是相等的，
理由：王会计乘坐A车的可能性为：，
张会计乘坐A车的可能性为：，
因此王会计、张会计乘坐A车的可能性是相等的．
21．（9分）下表是某口罩生产厂对一批N95口罩质量检测的情况：
抽取口罩数
200
500
1000
1500
2000
3000
合格品数
188
471
946
1426
1898
2850
合格品频率（精确到0.001）
0.940
0.942
0.946
0.951
a
b
（1）a=__________，b=__________；
（2）从这批口罩中任意抽取一个是合格品的概率估计值是多少？（精确到0.01）
（3）若要生产380000个合格的N95口罩，该厂估计要生产多少个N95口罩？
解：（1）1898÷2000=0.949，2850÷3000=0.950；
故答案为：0.949，0.950；
（2）由表格可知，随着抽取的口罩数量不断增大，任意抽取一个是合格的频率在0.95附近波动，
所以任意抽取的一个是合格品的概率估计值是0.95；
（3）．
答：该厂估计要生产400000个N95口罩．
22．（9分）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共100只，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球实验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
31
48
71
127
196
252
744
摸到白球的频率
0.310
0.240
0.238
0.254
0.245
0.252
0.248
（1）若从盒子里随机摸岀一只球，则摸到白球的概率的估计值为
；（精确到0.01）
（2）试估算盒子里黑球有几只；
（3）某小组在“用频率估计概率”的试验中，与这一结果相似的试验最有可能是
．
A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”．
B．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“梅花”．
C．质地均匀的正六面体骰子（点数分别为1到6），落地时面朝上的点数小于5
解：（1）由表可知，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为0.25，
故答案为：0.25；
（2）根据题意得：
（只，
答：盒子里黑球大约有75只；
（3）．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率为，不符合题意；
．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“梅花”的概率为，故此选项符合题意；；
．掷一个质地均匀的正六面体骰子（面的点数标记分别为1到，落地时面朝上的点数小于5的概率为，不符合题意；
所以某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合这一结果的试验最有可能的是，
故答案为：．
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精品试卷·第
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【北师大版九年级数学（上）单元测试卷】
第三章：概率的进一步认识
一、选择题：（每小题3分共30分）
1．一个布袋里装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球．从布袋里摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则两次摸到的球都是红球的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
2．以下转盘分别被分成2个、4个、5个、6个面积相等的扇形，任意转动这4个转盘各1次．已知某转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率是，则对应的转盘是（
）
A．B．C．D．
3．小明计划到永州市体验民俗文化，想从“零陵渔鼓，瑶族长鼓舞，东安武术，舜帝祭典”四种民俗文化中任意选择两项，则小明选择体验“瑶族长鼓舞，舜帝祭典”的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
4．在一个不透明的盒子中装有m个除颜色外完全相同的球，这m个球中只有4个红球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在25%左右，则m的值大约为（ ）
A．10
B．12
C．16
D．20
5．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有2个，黑球有个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则的值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
6．在一个不透明的布袋中装有40个白球和若干黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.2左右，则布袋中黑球的个数可能是（
）
A．13
B．8
C．14
D．10
7．现从四个数，0，1，2中任意选出两个不同的数，分别作为函数中a，b的值．那么所得图像中，分布在一二三象限的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
8．小丽准备通过爱心热线捐款，她只记得号码的前
位，后三位由
，，
这三个数字组成，但具体顺序忘记了，她第一次就拨对电话的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
9．将一枚六个面编号分别为1、2、3、4、5、6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x、y的方程组，只有正数解的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．广东省2021年的高考采用“”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．若小红在“1”中选择了历史，则她在“2”中选地理、生物的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
二.填空题：（每小题3分共15分）
11．为了防止输入性“新冠肺炎”，某医院成立隔离治疗发热病人防控小组，决定从内科3位骨干医师中（含有甲）抽调2人组成．则甲一定会被抽调到防控小组的概率是___．
12．现有三张分别标有数字、、1的卡片，它们除了数不同外其余完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张，将上面的数字记为；放回后从卡片中再任意抽取一张，将上面的数字记为，则一次函数的图象经过第一象限的概率_________．
13．在一个不透明的袋子中有1个红球，2个白球和若干个黑球．小明将袋子中的球摇匀后，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回袋中并摇匀．在多次重复以上操作后，小明统计了摸到红球的频率，并绘制了如图所示的折线统计图，则袋子中一共有球____________个．
14．如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是__．
15．我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和如图1，是该三角形的顺序旋转和，是该三角形的逆序旋转和．已知某三角形的特征值如图2，若从1，2，3中任取一个数作为x，从1，2，3，4中任取一个数作为y，则对任意正整数k，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是_________．
三.解答题：（共55分）
16．（6分）在一个不透明的袋子中有一个黑球和两个白球（除颜色外其他均相同）．
（1）小丽从袋子中摸出一个球，则摸到白球的概率是______；
（2）小强第一次从袋子中摸出一个球，摸到黑球不放回，摸到白球放回；第二次又从袋子中摸出一个球，请用树状图（或列表法）求小强两次都摸到白球的概率．
17．（8分）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样，更便捷．为此，老师设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）．某校八年级（1）班同学利用课余时间对全校师生进行了抽样调查，并将统计结果绘制成如图所示两幅不完整的统计图：
请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次参与调查的共有______人，在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为______；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）如果该校有3600人在使用手机：
①请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的人数；
②在该校师生中随机抽取一人，用频率估计概率，抽取的恰好使用“QQ”的概率是______．
18．（6分）为纪念并缅怀当今神农袁隆平为解决人类温饱问题所建立的丰功伟绩，扎实推进“光盘行动”，某校八年级举办“缅怀伟人，拒绝浪费，从我做起”的学生演讲比赛，八（1）班准备从小怡、小宏、小童、小灿4名同学之中选择两名参加比赛，选择方案如下：制作4张完全相同的卡片，正面分别写上这4名同学的姓名，将卡片反面朝上洗匀，张老师从4张卡片中随机抽取1张卡片不放回，再抽取一张，卡片正面是谁的名字，谁就代表班级参加比赛．（注：可以用、、、分别表示小怡、小宏、小童、小灿的名字）
（1）用树状图或列表法列出所有等可能结果；
（2）求小怡和小宏同时被选中的概率．
19．（9分）王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球实验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据．
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到黑球的次数m
23
31
60
130
203
251
摸到黑球的频率
0.23
0.21
0.30
0.26
0.253
（1）补全上表中的有关数据
；
（2）根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是
；（精确到0.01）
（3）估算袋中白球的个数．
20．（8分）某单位组织员工进行新冠疫苗接种，现有A，B，C三辆车去医院，它们出发的先后顺序随机，财务科的王会计要早点出发，她只坐第一个出发的那辆车，张会计手上还有一些事务需要处理，她要坐第三个出发的那辆车．
请你运用所学概率知识解决下列问题：
（1）写出这三辆车按先后顺序出发的所有可能结果；
（2）这两人中，谁乘坐到A车的可能性大？请说明理由．
21．（9分）下表是某口罩生产厂对一批N95口罩质量检测的情况：
抽取口罩数
200
500
1000
1500
2000
3000
合格品数
188
471
946
1426
1898
2850
合格品频率（精确到0.001）
0.940
0.942
0.946
0.951
a
b
（1）a=__________，b=__________；
（2）从这批口罩中任意抽取一个是合格品的概率估计值是多少？（精确到0.01）
（3）若要生产380000个合格的N95口罩，该厂估计要生产多少个N95口罩？
22．（9分）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共100只，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球实验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
31
48
71
127
196
252
744
摸到白球的频率
0.310
0.240
0.238
0.254
0.245
0.252
0.248
（1）若从盒子里随机摸岀一只球，则摸到白球的概率的估计值为
；（精确到0.01）
（2）试估算盒子里黑球有几只；
（3）某小组在“用频率估计概率”的试验中，与这一结果相似的试验最有可能是
．
A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”．
B．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“梅花”．
C．质地均匀的正六面体骰子（点数分别为1到6），落地时面朝上的点数小于5
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精品试卷·第
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