2012年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（二）文科数学

2012年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（二）
数 学(文)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷 选择题 (共40分)
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
参考公式：
·如果事件、互斥，那么
柱体的体积公式. 其中表示柱体的底面积,表示柱体的高.
锥体的体积公式. 其中表示锥体的底面积,表示锥体的高.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．为虚数单位,复数=
A. B. C. D.
2．已知实数满足约束条件，则的最小值是
A．-4 B．－2 C．0 D．2
3．函数的零点所在区间是
A． B．
C． D．
4．如果执行右面的程序框图，那么输出的
A．119 B．719
C．4949 D．600
5．在正项等比数列中，,,数列满足,则数列的前6项和是
A．0 　　 B．2 　 C．3 　　D. 5
6．要得到一个奇函数，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
7．设，设，则的大小关系
为
A． B．
C． D．
8．定义一种运算，令(为常数),且，则使函数最大值为4的值的个数是（ 　 ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上.
9．命题“若,则或”的逆否命题为________________________
10．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是
11．已知抛物线的准线与双曲线交于两点，点为抛物线的焦点，若为正三角形，则双曲线的离心率是
12．如上图，⊙中的弦与直径相交于点，为延长线上一点，为⊙的切线，为切点，若, ,，则的长为
13．设集合，,满足的正实数的取值范围是
14．已知中的重心为,直线过重心，交线段于，交线段于其中,且,其中为实数.则的最小值为_________________.
三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．某工厂生产的零件标准分成9个等级，等级系数依次为1,2，…，9，为合格标准，且该厂的零件都符合相应的合格标准．从该厂生产的零件中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
4 6 4 4 9 6 6 7 4 5
7 4 5 8 6 4 5 9 6 4
9 4 5 4 5 5 8 6 7 8
规定零件的等级系数的为一等品，等级系数的为二等品，等级系数的为三等品．
（I）试分别估计该厂生产的零件一等品频率、二等品频率和三等品频率；
（II）从样本的一等品中随机抽取2件，
(i) 列出两件产品等级系数的所有结果；
(ii) 求所抽得2件产品等级系数不同的概率．
16. 在中，为锐角，角所对应的边分别为，且，
（I）求的值；
（II）若，求的值；
（Ⅲ）求函数的最小正周期和定义域。
17．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB＝2，
∠BAD＝60°．
（Ⅰ）求证：直线BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正切值；
（Ⅲ）已知M在线段PC上，且BM=DM=，CM=3，求二面角的余弦值．
18．椭圆的中心在坐标原点，其左焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点．当直线与x轴垂直时，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（II）求过点、(为坐标原点)，并且与直线（其中为长半轴长，为椭圆的半焦距）相切的圆的方程；
（Ⅲ）求=时直线的方程。
19．已知数列的首项，前项和为，且，，数列满足，。
（Ⅰ）判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；
（II）设，求；
（Ⅲ）对于（Ⅰ）中数列，若数列满足（），在每两个与 之间都插入（）个2，使得数列变成了一个新的数列，试问：是否存在正整数,使得数列的前项的和 如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由.
20．已知函数，其中为实数．
(Ⅰ)当 时，求函数的极大值点和极小值点；
　(Ⅱ) 若对任意及时，恒有成立，求实数的取值范围.
(Ⅲ)已知，，，设函数 是否存在，对任意给定的非零实数存在惟一的非零实数，使得成立？若存在，求的值；若不存，请说明理由．
2012年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（二）
数学试卷（文科） 评分标准
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B A B C C D B
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．“若且,则”； 10．； 11．； 12． ； 13．； 14．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．
15. 解：（1）由样本数据知，30件零件中，一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件. …………3分
∴样本中一等品的频率为， ………4分
二等品的频率为， …………5分
三等品的频率为， ……………6分
（2）样本中一等品有6件，其中等级系数为8的有3件，等级系数为9的也有3件， ……………………7分
记等级系数为8的3件零件分别为、、，等级系数为9的3件零件分别为、、,则从样本的一等品中随机抽取2件的所有可能为： ,,，，，,, ,,，,,, 共15 种， …………10分
记从“一等品中随机抽取2件，2件等级系数不同”为事件A，
则A包含的基本事件有，，，，，，，，共9种， ………12分
故所求的概率. ……………………13分
16．解：（Ⅰ）、为锐角，，……1分
又，………2分
，，………3分
……5分（公式正确得1分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
,
由正弦定理得…………6分
，即， 21世纪教育网 ………7分
，，
………………10分（三边正确各得1分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知则
函数的最小正周期为；………11分
解得
函数的定义域为；………13分
17（I）证明：因为四边形ABCD是菱形， 所以AC⊥BD．………………1分
又因为PA⊥平面ABCD， 平面ABCD， 所以PA⊥BD，……3分
又因为，所以BD⊥平面PAC．………………4分
（Ⅱ）过B作，连结PE，
因为PA⊥平面ABCD， 平面ABCD， 所以PA⊥BE
又因为，，所以BE⊥平面PAD．………………５分
所以是直线与平面所成角．………………６分
在△BEP中， ，，………………７分
所以．
所以是直线与平面所成角的正切值．………………８分
（Ⅲ）
设F是ＭＣ的中点，连结ＢＦ，ＤＦ，
因为ＢＭ＝ＢＣ，△ＢＭＣ为等腰△，
所以ＢＦ⊥ＭＣ 同理ＤＦ⊥ＭＣ ………………9分
所以为二面角的平面角．………１０分
在△中，………………１１分
由余弦定理得．………………１２分
所以二面角的余弦值为．………………１３分
18．解：（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点．……1分
设椭圆的方程：．
解方程组 得C（-1，2），D（1，-2）．……2分
由于抛物线、椭圆都关于x轴对称，
∴，， ∴ ．
∴又，
因此，，解得并推得． ……3分
故椭圆的方程为 ． …………4分
（Ⅱ），∴
圆过点O、，圆心M在直线上．…………5分
设则圆半径，由于圆与椭圆的左准线相切，
∴ …………6分
由得解得…………7分
所求圆的方程为…………………………8分
（Ⅲ） 由
①若垂直于轴，则，
，
…………………………………………9分
②若与轴不垂直，设直线的斜率为，则直线的方程为
由 得 ………10分
，方程有两个不等的实数根．
设，.
, ………………………………11分
= 解得…………12分
直线的方程为即或………13分
19．（Ⅰ）由题意得……………1分
……………2分
数列是以为首项，以2为公比的等比数列。………………3分
（II）由（Ⅰ）知（）] ………4分
由及得
，……………………………………………5分
=
令①
②………6分
①-②得………7分
整理………8分
令………9分
………10分
（Ⅲ）由（Ⅰ）得，即，………11分
数列中，（含项）前的所有项的和是：
……12分
当时，其和是
当时，其和是………13分
又因为2011-1077=934=4672，是2的倍数
所以当时，，
所以存在=988使得………14分
20．(Ⅰ)令 =0，解得…………1分
（1）当时，
1
因此，函数在处取得极小值，极小值点为，；…………2分
函数在处取得极大值，极大值点为…………3分
（2）当时，
1
因此，函数在处取得极大值，极大值点为；…………4分
函数在处取得极小值，极小值点为．…………5分
（II）由题意可知，对任意及时，恒有成立等价于…………6分
由(Ⅱ)可知对任意及时，在上为增函数．
∴在上的最大值为．…………7分
任意时，恒成立
∴，时恒成立，…………8分
令，令，，，在时为增函数，∴，…………9分
∴实数的取值范围为…………10分
(Ⅲ)　当时有
当时有，因为当时不合题意，因此，
下面讨论的情形，记A，B=（ⅰ）当时，在上单调递增，所以要使成立，只能且，因此有，…11分
（ⅱ）当时，在上单调递减，所以要使成立，只能且，因此，综合（ⅰ）（ⅱ）；…………12分
当时A=B，则，即使得成立，因为在上单调递增，所以的值是唯一的；…………13分
同理，，即存在唯一的非零实数，要使成立，所以满足题意． …………14分
第4题
2
2
2
正视图
侧视图
俯视图
第10题
A
B
C
D
M
N
P
O
第12题