2012年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（二）理科数学

2012年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（二）
数 学(理)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷 选择题 (共40分)
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
参考公式：
·如果事件、互斥，那么
柱体的体积公式. 其中表示柱体的底面积,表示柱体的高.
锥体的体积公式. 其中表示锥体的底面积,表示锥体的高.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.为虚数单位,复数=
A. B. C. D.
2.下列命题中,正确命题的个数为
①若,则或”的逆否命题为“若且,则；
②函数的零点所在区间是；
③是的充分不必要条件；
A．0 　　 B．1 　 C．2 　　D. 3
3.如果执行右面的程序框图，那么输出的
A．119 B.719
C．4949 D.600
4. 在正项等比数列中，,,数列满足,则数列的前6项和是
A．0 　　B．2 　 C．3 　　D. 5
5 . 在二项展开式中,第4项的系数为80,则的值为
A．-2 B． 2 C．-2或2 D．或
6.要得到一个奇函数，只需将函数的图象
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
7.设. 若当时，恒成立，则实数的取值范围是
A． B. C． D.
8.定义一种运算，令(为常数),且，则使函数最大值为4的值是
A．或 B.或 C．或 D.或
第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上.
9.下面是用茎叶图表示总决赛的五场比赛中，马布里和
布鲁克斯两名球员得分情况，两名运动员得分的中位数之和
为
10.下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是
11.曲线与曲线(为参数)交于、两点，则＝
12.如图，⊙O中的弦与直径相交于点，为延长线上一点，为⊙O的切线，为切点，若, ,，则的长为
13．设集合，,若集合、满足,则实数的取值范围是
14.已知中的重心为,直线过重心，交线段于，交线段于其中,且,其中为实数.则的最小值为_________________
三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.在中，为锐角，角所对应的边分别为，且，. （I）求的值；
（II）若，求的值；
（Ⅲ）已知, 求的值.
16.盒内有大小相同的10个球，其中3个红色球，3个白色球，4个黑色球.
（Ⅰ）现从该盒内任取3个球，规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得分。设三个球得分之和，求的分布列与数学期望；
（Ⅱ）甲乙两人做摸球游戏，设甲从该盒内摸到黑球的概率是，乙从该盒内摸到黑球的概率是，甲，乙两人各摸球3次，求两人共摸中2次黑球的概率.
17.直三棱柱的所有棱长都为，D为CC1中点．
（Ⅰ）求证：直线；
（Ⅱ）求二面角的大小正弦值；
（Ⅲ）当时，异面直线DE和AC所成的角为时，求的长.
18．已知椭圆方程为，其下焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点．当直线与轴垂直时，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（II）求过点O、（其中O为坐标原点），且与直线（其中为椭圆半焦距）相切的圆的方程；
（Ⅲ）求=时直线的方程，并求当斜率大于时的直线被（II）中的圆（圆心在第四象限）所截得的弦长.
19.已知数列的首项，前项和为，且，，设，.
（Ⅰ）判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；
（II）设，证明：；
（Ⅲ）对于（Ⅰ）中数列，若数列满足（），在每两个与 之间都插入（）个2，使得数列变成了一个新的数列，试问：是否存在正整数,使得数列的前项的和 如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由.
20.设函数，（其中为实常数）
(Ⅰ)当时，讨论的单调区间；
(Ⅱ)曲线（其中）在点处的切线方程为，
（ⅰ）若函数无极值点且存在零点，求的值；
（ⅱ）若函数有两个极值点，证明的极小值小于.
2012年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（二）
数学理科参考答案
一、选择题:每小题5分，满分40分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B C B C D C
二、填空题: 每小题5分，共30分.
9．；10． ； 11．； 12．； 13．；
14．
三、解答题
15．解：（Ⅰ）、为锐角，，
…………1分
又，，…………2分
，…………3分
…………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
…………5分
, …………6分
由正弦定理得…………7分
，即， 21世纪教育网 …………8分
，，
…………9分 ………10分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知且，
…………11分 解得…………12分
=…………13分
16. 解：（Ⅰ）可能取的值为
…………1分
…………2分
…………3分
…………4分
…………5分
…………6分
…………7分
的分布列为：
…………8分
经计算得 …………9分
（Ⅱ）两人共摸中2次黑球的概率为：
…………10分
…………11分
…………12分
…………13分
17.解：解：（Ⅰ）取中点，连结．
为正三角形，
且相交于
取中点，则
…………1分
以为原点，如图建立空间直角坐标系，
则
…………2分
，．…………3分
平面．………4分
（Ⅱ）设平面的法向量为．．
令得为平面的一个法向量．……6分
由（Ⅰ）为平面的法向量．……7分
．…………8分
所以二面角的大小的正弦值为．…………9分
（Ⅲ）由已知=
故 …………10分
又
异面直线DE和AC所成的角为即
…………11分
解得 …………12分
…………13分
18．（Ⅰ）由抛物线方程得 …………1分
设椭圆方程为，解方程组得……2分
由于抛物线，椭圆都关于轴对称，所以，所以 ……3分
带入椭圆方程得，又因为
解得，所以椭圆方程为 …………4分
（II）∵，∴
∵圆过点Ｏ（０，０），，∴　圆心Ｍ在直线上，设…5分
依题意圆Ｍ半径＝，…………6分
故，即，∴解得 …………7分
∴圆的方程为 …………8分
（Ⅲ），由题意可知直线斜率一定存在，令直线ＡＢ方程为
得 令
…………9分
　　　　　　　　　　　　　　　　＝
解得，…………10分
此时直线…………11分
当时，直线
圆心在第四象限圆Ｍ
圆心到直线的距离…………12分
截得的弦长为…………13分
19. （Ⅰ）由题意得………1分
………2分
又，………3分
数列是以为首项，以2为公比的等比数列。………4分
（II）由（Ⅰ）知（）] ………5分
由及得
以上式子相加………6分
， 也适合
，………7分
则…………………9分
………………10分
（Ⅲ）由（Ⅰ）得，即，………11分
数列中，（含项）前的所有项的和是：
……12分
当时，其和是
当时，其和是 ………13分
又因为2011-1077=934=4672，是2的倍数
所以当时，，
所以存在=988使得 ………14分
20．解：（Ⅰ）当时， ………1分
当时，很成立，在上是增函数；………2分
当时，令得或（舍）………3分
令得；令得
在上是增函数，在上是减函数………4分
(Ⅱ)由题得，
即．………5分
则，…6分（ⅰ）由无极值点且存在零点，得………7分
解得，于是，．……………………………………………8分
（ⅱ）由(Ⅱ)知，要使函数有两个极值点，只要方程有两个不等正根，
设两正根为，且，可知当时有极小值．其中这里由于对称轴为，所以，………9分
且，得………10分
【也可用以下解法：由(Ⅱ)知，要使函数有两个极值点，只要方程有两个不等正根，
那么实数应满足 ，解得，………9分
即………10分】
所以有
而，………11分
记，，………12分
有对恒成立，
又，故对恒有，即．………13分
对于恒成立即在上单调递增，
故．………14分
第9题
2
2
2
正视图
侧视图
俯视图
第10题
A
B
C
D
M
N
P
O
第12题