2021-2022学年九年级数学苏科版上册《第1章一元二次方程》单元综合培优提升训练（word解析版）

2021年苏科版九年级数学上册《第1章一元二次方程》单元综合培优提升训练（附答案）
1．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（　　）
A．x2﹣x+＝0 B．x2+2x+4＝0 C．x2﹣x+2＝0 D．x2﹣3x＝0
2．某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣4 B．a＞﹣4 C．a≥﹣4且a≠0 D．a＞﹣4且a≠0
4．用配方法解方程2x2﹣4x﹣1＝0时，需要先将此方程化成形如（x+m）2＝n（n≥0）的形式，则下列配方正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣1）2＝ C．（x﹣1）2＝2 D．（x﹣1）2＝
5．某商场四月份的营业额为36万元，六月份的营业额为48万元，设四月份到六月份的月平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．48（1+x）2＝36 B．48（1﹣x）2＝36
C．36（1+x）2＝48 D．36（1﹣x）2＝48
6．方程（x﹣3）2＝1的解为（　　）
A．x＝1或x＝﹣1 B．x＝4或x＝2 C．x＝4 D．x＝2
7．为庆祝建党100周年华诞，某校组织摄影比赛．小明上交的作品如下：七寸照片（长7英寸，宽5英寸）；将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的3倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（　　）
A．（7+2x）（5+2x）＝3×7×5 B．3（7+x）（5+x）＝7×5
C．3（7+2x）（5+2x）＝7×5 D．（7+x）（5+x）＝3×7×5
8．关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（　　）
A．0 B．±3 C．3 D．﹣3
9．若（a2+b2）（a2+b2﹣3）＝4，则a2+b2的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C．﹣1 D．4或﹣1
10．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0有一个非零根﹣n，则m﹣n的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2
11．若直角三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该直角三角形的面积是（　　）
A．6 B．12 C．12或 D．6或
12．已知α，β是方程x2+2020x+1＝0的两个根，则（1+2023α+α2）（1+2023β+β2）的值为（　　）
A．4 B．9 C．12 D．15
13．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x12+x22＝5，则k的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
14．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周长为（　　）
A．12 B．14 C．12或14 D．24
15．如果方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（　　）
A．7 B．6 C．﹣2 D．0
16．已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+4k＝0（k≠0）的两实数根为x1，x2，若+＝3，则k＝　 　．
17．已知a2﹣2a﹣1＝0，b2+2b﹣1＝0，且ab≠1，则的值为　 　．
18．已知关于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，则关于x的方程m（x+a﹣2）2+n＝0的解是　 　．
19．若关于x的一元二次方程（a+3）x2+2x+a2﹣9＝0有一个根为0，则a的值为　 　．
20．根据要求解下列一元二次方程：
（1）x2+2x﹣3＝0（配方法）；
（2）（x+1）（x﹣2）＝4（公式法）．
21．已知：关于x的方程x2+kx+k﹣1＝0
（1）求证：方程一定有两个实数根；
（2）设x1，x2是方程的两个实数根，且（x1+x2）（x1﹣x2）＝0，求k的值．
22．已知关于x的一元二次方程 x2+3x﹣m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围
（2）若两实数根分别为x1和x2，且，求m的值．
23．已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1＝0的两个实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）如果x1，x2满足不等式4+4x1x2＞x12+x22，且m为整数，求m的值．
24．阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值
解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，∴t＝±9
因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知实数x，y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值．
（2）若四个连续正整数的积为11880，求这四个连续正整数．
25．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．
（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm．
26．因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2019年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2021年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．
（1）求东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率．
（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2021年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？
参考答案
1．解：A、因为△＝（﹣1）2﹣4×＝0，则方程有两个相等的实数解，所以A选项不符合题意；
B、因为△＝22﹣4×4＝﹣12＜0，则方程没有实数解，所以B选项不符合题意；
C、因为△＝（﹣1）2﹣4×2＝﹣7＜0，则方程没有实数解，所以C选项不符合题意；
D、因为△＝（﹣3）2﹣4×0＝9＞0，则方程有两个不相等的实数解，所以D选项符合题意．
故选：D．
2．解：设八年级有x个班，
依题意得：x（x﹣1）＝15，
整理得：x2﹣x﹣30＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去）．
故选：B．
3．解：根据题意得a≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a×（﹣1）＞0，
解得a＞﹣4且a≠0，
故选：D．
4．解：∵2x2﹣4x﹣1＝0，
∴2x2﹣4x＝1，
∴x2﹣2x＝，
则x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，
故选：B．
5．解：依题意得六月份的营业额为36（1+x）2，故36（1+x）2＝48．
故选：C．
6．解：（x﹣3）2＝1，
开方，得x﹣3＝±1，
解得：x＝4或x＝2，
故选：B．
7．解：设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，根据题意得：（7+2x）（5+2x）＝3×7×5，
故选：A．
8．解：（m﹣3）x2+m2x＝9x+5，
（m﹣3）x2+（m2﹣9）x﹣5＝0，
由题意得：m﹣3≠0，m2﹣9＝0，
解得：m＝﹣3，
故选：D．
9．解：设y＝a2+b2（y≥0），则由原方程得到y（y﹣3）＝4．
整理，得（y﹣4）（y+1）＝0．
解得y＝4或y＝﹣1（舍去）．
即a2+b2的值为4．
故选：A．
10．解：把x＝﹣n代入方程x2+mx+n＝0得n2﹣mn+n＝0，
∵n≠0，
∴n﹣m+1＝0，
∴m﹣n＝1．
故选：A．
11．解：∵x2﹣7x+12＝0，
∴x＝3或x＝4．
①当长是4的边是直角边时，该直角三角形的面积是×3×4＝6；
②当长是4的边是斜边时，第三边是＝，该直角三角形的面积是×3×＝．
故选：D．
12．解：∵α，β是方程x2+2020x+1＝0的两个根，
∴α2+2020α+1＝0，β2+2020β+1＝0，α+β＝﹣2020，αβ＝1，
∴（1+2023α+α2）（1+2023β+β2）
＝（1+2020α+α2+3α）（1+2020β+β2+3β）＝9αβ＝9，
故选：B．
13．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝k，x1x2＝k﹣3，
∵x12+x22＝5，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，
∴k2﹣2（k﹣3）＝5，
整理得出：k2﹣2k+1＝0，
解得：k1＝k2＝1，
故选：D．
14．解：方程x2﹣12x+35＝0，
分解因式得：（x﹣5）（x﹣7）＝0，
可得x﹣5＝0或x﹣7＝0，
解得：x＝5或x＝7，
∵三角形第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，
∴第三边的长为5或7，
当第三边长为5时，周长为3+4+5＝12；
当第三边长为7时，3+4＝7，不能构成三角形，舍去，
综上，该三角形的周长为12．
故选：A．
15．解：∵方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，
∴α+β＝1，αβ＝﹣2，α2＝α+2，
∴α2+β﹣2αβ＝α+2+β﹣2αβ＝1+2﹣2×（﹣2）＝7，
故选：A．
16．解：∵关于x的方程x2﹣（k+4）x+4k＝0（k≠0）的两实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝k+4，x1?x2＝4k，
∴+＝＝＝3．
解得k＝．
经检验，k＝是原方程的解．
故答案为：．
17．解：∵b2+2b﹣1＝0，
∴b≠0，
方程两边同时除以b2，再乘﹣1变形为（）2﹣2?﹣1＝0，
∵ab≠1，
∴a和可看作方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，
∴a+＝2，
∴＝a+1+＝2+1＝3．
故答案为：3．
18．解：∵关于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，
∴方程m（x+a﹣2）2+n＝0可变形为m[（x﹣2）+a]2+n＝0，
∵此方程中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，
解得x1＝﹣1或x2＝3．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝3．
19．解：根据题意，将x＝0代入方程可得a2﹣9＝0，
解得：a＝3或a＝﹣3，
∵a+3≠0，即a≠﹣3，
∴a＝3．
故答案为：3．
20．解：（1）x2+2x﹣3＝0，
移项，得x2+2x＝3，
配方，得x2+2x+1＝3+1，
则（x+1）2＝4，
x+1＝±2，
x＝±2﹣1，
x1＝1，x2＝﹣3；
（2）（x+1）（x﹣2）＝4，
整理得，x2﹣x﹣6＝0，
a＝1，b＝﹣1，c＝﹣6，
△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣6）＝25＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
x＝＝，
x1＝3，x2＝﹣2．
21．（1）证明：△＝k2﹣4（k﹣1）
＝k2﹣4k+4
＝（k﹣2）2，
∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，
∴方程一定有两个实数根；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣k，x1?x2＝k﹣1，
∵（x1+x2）（x1﹣x2）＝0，
∴x1+x2＝0或x1﹣x2＝0，
当x1+x2＝0，则﹣k＝0，解得k＝0，
当x1﹣x2＝0，则△＝0，即（k﹣2）2＝0，解得k＝2，
∴k的值为0或2．
22．解：（1）∵关于x的一元二次方程 x2+3x﹣m＝0有实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝32+4m≥0，
解得：m≥﹣；
（2）∵x1+x2＝﹣3、x1x2＝﹣m，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1?x2＝11，
∴（﹣3）2+2m＝11，
解得：m＝1．
23．解：（1）根据题意得△＝（﹣2）2﹣4×2（m+1）≥0，
解得m≤﹣．
故实数m的取值范围是m≤﹣；
（2）根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝，
∵4+4x1x2＞x12+x22，
∴4+4x1x2＞（x1+x2）2﹣2x1x2，
即4+6x1x2＞（x1+x2）2，
∴4+6×＞1，
解得m＞﹣2，
∴﹣2＜m≤﹣，
∴整数m的值为﹣1．
24．解：（1）设2x2+2y2＝a，则原方程变为（a+3）（a﹣3）＝27，整理得a2﹣9＝27，a2＝36，
∴a＝±6，
因为2x2+2y2≥0，所以2x2+2y2＝6，x2+y2＝3，
（2）设最小的正整数为x，则另三个分别为x+1、x+2、x+3，
根据题意得：x（x+1）（x+2）（x+3）＝11880，
[x（x+3）][（x+1）（x+2）]＝11880，
（x2+3x）（x2+3x+2）＝11880，
设x2+3x＝a，则原方程变为a（a+2）＝11880，整理得a2+2a＝11880，
a2+2a+1＝11881，
（a+1）2＝11881，
a+1＝±109，
∴a＝108或﹣110，
∵a是正整数，
∴a＝108，
∴x2+3x＝108，
x＝9或﹣12（舍）
答：这四个连续正整数分别是9，10，11，12．
25．解：（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，
则PB＝（16﹣3x）cm，QC＝2xcm，
根据梯形的面积公式得（16﹣3x+2x）×6＝33，
解之得x＝5，
（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，
作QE⊥AB，垂足为E，
则QE＝AD＝6，PQ＝10，
∵PA＝3t，CQ＝BE＝2t，
∴PE＝AB﹣AP﹣BE＝|16﹣5t|，
由勾股定理，得（16﹣5t）2+62＝102，
解得t1＝4.8，t2＝1.6．
答：（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm．
26．解：（1）设年平均增长率为x，由题意得：
20（1+x）2＝28.8，
解得：x1＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率为20%．
（2）设每杯售价定为a元，由题意得：
（a﹣6）[300+30（25﹣a）]＝6300，
解得：a1＝21，a2＝20．
∴为了能让顾客获得最大优惠，故a取20．
答：每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．