1.5全称量词与存在量词
一、选择题
1.(河南省高中毕业班阶段性测试(四)理科数学试)关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由题可知是不等式的解集的一个真子集.
当时，不等式的解集为，此时；
当时，不等式的解集为，
，合乎题意；
当时，不等式的解集为，
由题意可得，此时.
综上所述，.故选：D.
2.p：?x∈R，x2≥0的否定是(
)
A.?p：?x∈R，x2<0
B.?p：?x∈R，x2≤0
C.?p：?x∈R，x2<0
D.?p：?x∈R，x2≤0
【答案】C
【解析】本题考查全称量词命题的否定.因为命题是全称量词命题，根据全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题的否定：?x∈R，x2<0.
3.已知命题：，，则为(
)
A.，
B.，
C.，
D.，
【答案】D
【解析】根据特称命题的否定是全称命题，易知D对.
故答案为：D
4.已知p：?x∈R，(x+1)2<(x+2)2；q：?x∈R，x=1-x2.则(
)
A.p假q假
B.p假q真
C.p真q真
D.p真q假
【答案】B
【解析】本题考查含有量词的命题真假判断.由x=-2时，(-2+1)2>(-2+2)2知p为假命题；因为方程x+x2-1=0有解，∴q为真命题.
5.(2019·宁波市第四中学高二期中)命题“若，都是奇数，则是偶数”的逆否命题是(
)
A.若两个整数与的和是偶数，则，都是奇数
B.若两个整数，不都是奇数，则不是偶数
C.若两个整数与的和不是偶数，则，都不是奇数
D.若两个整数与的和不是偶数，则，不都是奇数
【答案】D
【解析】由逆否命题定义可知：
命题“，都是奇数，则是偶数”的逆否命题是：“若不是偶数，则，不都是奇数”.故选：D.
6.已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】因为命题“，使”是假命题，所以恒成立，所以，解得，故实数的取值范围是.故选B.
7.(2020·定远县民族学校高二月考(理))命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由题意得，要使“，使得”为真命题，
则对应的方程满足，解得，故选B.
8.已知命题：，，则是(
)
A.，
B.，
C.，
D.，
【答案】D
【解析】命题：，的否定是：，.
故答案为：D.
二、多选题
9.设非空集合P，Q满足，且，则下列选项中错误的是(
).
A.，有
B.，使得
C.，使得
D.，有
【答案】CD
【解析】因为，且，所以Q是P的真子集，
所以，有，，使得，CD错误.
故选：CD
10.(2020·儋州市八一中学高一期中)已知下列命题其中正确的有(
)
A.“实数都大于0”的否定是“实数都小于或等于0”
B.“三角形外角和为360度”是含有全称量词的真命题
C.“至少存在一个实数，使得”是含有存在量词的真命题
D.“能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除”是全称量词命题
【答案】BCD
【解析】对于A,“实数都大于0”的否定是“实数不都大于0”,故A错误.
对于B,“三角形外角和为360度”含有全称量词,且为真命题,所以B正确;
对于C,“至少存在一个实数，使得”含有存在量词,且为真命题,所以C正确;
对于D,“能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除”是全称量词命题,所以D正确.综上可知,正确命题为BCD故答案为:BCD
11.若存在x0∈[，2]，使得2x－λx0＋1＜0成立是假命题，则实数λ可能取得值是(
)
A.
B.2
C.3
D.
【答案】AB
【解析】因为若“?x0∈[，2]，使得2x－λx0＋1＜0成立”是假命题，即“?x0∈[，2]，使得λ＞2x0＋成立”是假命题，即等价于“x∈[，2]，使得λ≤2x+成立”是真命题，令f(x)=2x+，x∈[，2]，易知当x∈[，2]时，f(x)在[，]上单调递减，在(，2]上单调递增，所以当x=时，函数f(x)取最小值，即f(x)min＝f()＝2，所以λ≤f(x)min＝2.故实数λ的取值范围为(－∞，2].
三、填空题
12.命题“，”的否定为________.
【答案】，
【解析】因为特称命题的否定为全称命题，
则命题“，”的否定为“，”.
故答案为：，.
13.已知命题p：?x∈R，log2(x2＋x＋a)>0恒成立，命题q：?x0∈[－2，2]，2a≤2x0，若命题p∧q为真命题，则实数a的取值范围为________.
【答案】
【解析】由题知，命题p：?x∈R，log2(x2＋x＋a)>0恒成立，即x2＋x＋a－1>0恒成立，所以Δ＝1－4(a－1)<0，解得a>；命题q：?x0∈[－2，2]，使得2a≤2x0，则a≤2.当p∧q为真命题时，须满足故实数a的取值范围为.
14.已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【解析】∵命题“，”是假命题，
∴，是真命题，
即使不等式有解；
所以，解得：或.
∴实数a的取值范围是.
故答案为：.
15.(2020·全国高一课时练习)“，使得方程有两个不同的实数解”是真命题，则集合_________；
【答案】
【解析】方程有两个不同的实数解，当时，方程只有一个解，不符合条件，所以且，解得，所以答案.
16.(2019·凤阳县第二中学高三期中(文))若命题“p：,”是假命题,则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】若命题“p：?x∈R，ax2+2x+1＞0”是假命题，
则?x∈R，ax2+2x+1≤0，
当a＝0时，y＝2x+1为一次函数，满足条件；
当a＜0时，y＝ax2+2x+1是开口朝下的二次函数，满足条件；
当a＞0时，y＝ax2+2x+1是开口朝上的二次函数，
则函数图象与x轴有交点，即△＝4﹣4a≥0，
解得：0＜a≤1
综上可得：实数a的取值范围是：
故答案为：
17.命题：“中至少有一个负数”的否定形式是：________
【答案】a,b,c都是非负数
【解析】命题：“中至少有一个负数”为特称命题，
所以其否定形式是“都是非负数”.
故答案为：a,b,c都是非负数.
四、解答题
18.设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立.
(1)若为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题与命题一真一假，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2)或..
【解析】(1)对于命题：成立，而，有，
所以，∴.
(2)对于命题：存在，使得不等式成立，只需，
而，∴，∴；
若为假命题，为真命题，则，所以；
若为假命题，为真命题，
为假命题，则或，为真命题，则
所以.
综上：或.
19.已知集合，.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)【解析】若，则，解得.
因此，当时，，则实数的取值范围是；
(2)【解析】由，得，解得，即，
，，且是的充分不必要条件，?，
当时，即，解得，满足题意；
当时，由?，可得，解得.
当时，，，则?成立.
综上所述，实数的取值范围为.
20.(2020·山西高二期末(理))已知,命题:对,不等式恒成立；命题，使得成立.
(1)若为真命题，求的取值范围；
(2)当时，若假，为真，求的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)∵对任意，不等式恒成立，
，即，即，解得，
因此，若为真命题时，实数的取值范围是；
(2)，且存在，使得成立，，命题为真时，.
∵且为假，或为真，
∴、中一个是真命题，一个是假命题.
当真假时，则，解得；
当假真时，，即.
综上所述，的取值范围为.
21.已知集合，.
(Ⅰ)若实数，求；
(Ⅱ)若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
【答案】【解析】集合，
(Ⅰ)若实数，则，
所以，
.
(Ⅱ)若是的充分不必要条件，则.
由
所以实数m的取值范围为..
22.从给出的三个条件①，②，③中选出一个合适的条件，补充在下面问题中，并完成解答.已知集合.
(1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的值；
(2)已知_______，若集合含有两个元素且满足，求集合.
【答案】(1)【解析】因为“”是“”的充分不必要条件，所以?，
当时，即，
得，不合题意；
当时，即或，得，满足题意；所以；
(2)【解析】根据题意，若选择条件①，则，不合题意；故可选择条件②或③；
若选择条件②，，所以，所以，
若选择条件③，所以，所以
23.(2020·江西东湖.南昌二中高二月考(理))设命题对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得不等式成立.
(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围.
【答案】(1)(2)或
【解析】(1)对于命题p：对任意，不等式恒成立，
而，有，，，
所以p为真时，实数m的取值范围是；
(2)命题q：存在，使得不等式成立，
只需，而，，，，
即命题q为真时，实数m的取值范围是，
依题意命题一真一假，
若p为假命题，q为真命题，则，得；
若q为假命题，p为真命题，则，得，
综上，或.1.5全称量词与存在量词
一、选择题
1.(河南省高中毕业班阶段性测试(四)理科数学试)关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
2.p：?x∈R，x2≥0的否定是(
)
A.?p：?x∈R，x2<0
B.?p：?x∈R，x2≤0
C.?p：?x∈R，x2<0
D.?p：?x∈R，x2≤0
3.已知命题：，，则为(
)
A.，
B.，
C.，
D.，
4.已知p：?x∈R，(x+1)2<(x+2)2；q：?x∈R，x=1-x2.则(
)
A.p假q假
B.p假q真
C.p真q真
D.p真q假
5.(2019·宁波市第四中学高二期中)命题“若，都是奇数，则是偶数”的逆否命题是(
)
A.若两个整数与的和是偶数，则，都是奇数
B.若两个整数，不都是奇数，则不是偶数
C.若两个整数与的和不是偶数，则，都不是奇数
D.若两个整数与的和不是偶数，则，不都是奇数
6.已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
7.(2020·定远县民族学校高二月考(理))命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围为(
)
A.
B.
C.
D.
8.已知命题：，，则是(
)
A.，
B.，
C.，
D.，
二、多选题
9.设非空集合P，Q满足，且，则下列选项中错误的是(
).
A.，有
B.，使得
C.，使得
D.，有
10.(2020·儋州市八一中学高一期中)已知下列命题其中正确的有(
)
A.“实数都大于0”的否定是“实数都小于或等于0”
B.“三角形外角和为360度”是含有全称量词的真命题
C.“至少存在一个实数，使得”是含有存在量词的真命题
D.“能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除”是全称量词命题
11.若存在x0∈[，2]，使得2x－λx0＋1＜0成立是假命题，则实数λ可能取得值是(
)
A.
B.2
C.3
D.
三、填空题
12.命题“，”的否定为________.
13.已知命题p：?x∈R，log2(x2＋x＋a)>0恒成立，命题q：?x0∈[－2，2]，2a≤2x0，若命题p∧q为真命题，则实数a的取值范围为________.
14.已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为______.
15.(2020·全国高一课时练习)“，使得方程有两个不同的实数解”是真命题，则集合_________；
16.(2019·凤阳县第二中学高三期中(文))若命题“p：,”是假命题,则实数a的取值范围是______.
17.命题：“中至少有一个负数”的否定形式是：________
四、解答题
18.设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立.
(1)若为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题与命题一真一假，求实数的取值范围.
19.已知集合，.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
20.(2020·山西高二期末(理))已知,命题:对,不等式恒成立；命题，使得成立.
(1)若为真命题，求的取值范围；
(2)当时，若假，为真，求的取值范围.
21.已知集合，.
(Ⅰ)若实数，求；
(Ⅱ)若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
22.从给出的三个条件①，②，③中选出一个合适的条件，补充在下面问题中，并完成解答.已知集合.
(1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的值；
(2)已知_______，若集合含有两个元素且满足，求集合.
23.(2020·江西东湖.南昌二中高二月考(理))设命题对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得不等式成立.
(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围.
