21.2.2二次函数y=ax2 k的图象和性质--课时作业 2021-2022学年沪科版数学九年级上册（Word版 含答案）

21.2.2　第1课时　二次函数y=ax2+k的图象和性质

知识点 1　二次函数y=ax2+k的图象和性质
1.二次函数y=-x2+1的图象大致是 (　　)

图5
2.抛物线y=-x2-1的顶点坐标为 (　　)
A.(1,0) B.(-1,0) C.(0,-1) D.(2,3)
3.关于二次函数y=2x2-3,下列说法中正确的是 (　　)
A.图象的开口向下
B.当x>0,y随x的增大而增大
C.图象的顶点坐标为(2,-3)
D.当x=0时,y有最大值-3
4.与抛物线y=-45x2-1的顶点相同,形状也相同,而开口方向相反的抛物线所对应的函数表达式是 (　　)
A.y=-54x2-1 B.y=45x2-1
C.y=-45x2+1 D.y=45x2+1
5.下列函数中,当x>0时,y值随x值的增大而减小的是 (　　)
A.y=2x2 B.y=-3x2-3
C.y=12x D.y=x+5
6.[2020·亳州模拟] 抛物线y=x2-2在y轴右侧的部分是　　　　的.(填“上升”或“下降”)?
7.已知二次函数y=2021x2+3,当x=　　　　时,y有最小值,为　　　　.?
8.请写出一个开口向下,顶点坐标为(0,2)的抛物线的函数表达式:　　　　　　　　.?
9.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在二次函数y=ax2+1(a<0)的图象上,若x1>x2>0,则y1　　　　y2(填“>”“<”或“=”).?
10.在同一平面直角坐标系(如图6)中画出函数y=x2,y=x2+1与y=x2-1的图象.
(1)写出各函数图象的开口方向及顶点坐标;
(2)写出各函数图象的对称轴和最值;
(3)写出各函数当y随x的增大而减小时x的取值范围.

图6

11.二次函数y=ax2+c的图象的顶点坐标是(0,2),且形状及开口方向与y=-12x2的图象相同.
(1)求a,c的值;
(2)画出这个函数的图象.





知识点 2　抛物线y=ax2+k与y=ax2的关系
12.在同一平面直角坐标系中用描点法作二次函数y1=2x2-3和y2=2x2的图象时,当自变量取同一个数值时,对应的函数值y1总比y2小3,因此将抛物线y=2x2向下平移　　　个单位就可得到y=2x2-3的图象,所以抛物线y=2x2-3与y=2x2的形状、开口大小和　相同,只是?
　　　　不同,可以通过互相平移得到.?
13.[2020·上海] 如果将抛物线y=x2向上平移3个单位,那么所得新抛物线的函数表达式是　　　　.?
14.[教材练习第3题变式] 将抛物线y=-3x2向下平移k个单位,得到的抛物线为y=ax2-2,则a=　　　　,k=　　　　.?
15.不画函数图象,回答下列问题:
(1)函数y=14x2-5的图象可以看成是由函数y=14x2的图象经过怎样的平移得到的?
(2)如果函数y=14x2-5的图象经过适当的平移得到函数y=14x2+3的图象,那么应经过怎样的平移?




16.在同一坐标系中,一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是 (　　)

图7
17.已知点A(-3,a),B(-1,b),C(2,c)均在抛物线y=x2+k上,则a,b,c的大小关系是 (　　)
A.a C.b 18.若关于x的二次函数y=(k+1)x2+k2-8有最大值1,则k=　　　　.?
19.如图8,抛物线y=ax2+1与y轴交于点A,过点A与x轴平行的直线交抛物线y=4x2于点B,C,则线段BC的长为　　　　.?

图8
20.能否适当地上下平移抛物线 y=13x2,使得到的新的抛物线经过点(3,-5)?若能,请求出平移的方向和距离;若不能,请说明理由.





21.如图9,已知抛物线的顶点为A(0,1),矩形CDEF的顶点C,F在抛物线上,点D,E在x轴上,CF交y轴于点B(0,2),且矩形CDEF的面积为8,求此抛物线的函数表达式.

图9







22.若二次函数y=ax2+b的最大值为4,且该函数的图象经过点A(1,3).
(1)求a,b的值以及该二次函数图象顶点D的坐标.
(2)直接写出这个函数图象关于x轴对称的图象所对应的函数表达式.
(3)在该函数图象上是否存在点B,使得S△DOB=2S△AOD?若存在,请求出点B的坐标;若不存在,请说明理由.









教师详解详析
1.B　2.C　3.B　4.B　5.B
6.上升　7.0　3
8.答案不唯一,如y=-3x2+2
[解析] 只要满足y=ax2+2(a<0)均可.
9.<　[解析] ∵a<0,∴当x>0时,y随x的增大而减小.又∵x1>x2>0,∴y110.解:列表:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y=x2
9
4
1
0
1
4
9
y=x2+1
10
5
2
1
2
5
10
y=x2-1
8
3
0
-1
0
3
8
在同一平面直角坐标系中画出图象如下.
(1)三个函数图象都开口向上,函数y=x2,y=x2+1与y=x2-1的顶点坐标分别为(0,0),(0,1),(0,-1).
(2)三个函数图象的对称轴都是y轴(或直线x=0),当x=0时,函数y=x2,y=x2+1与y=x2-1取得最小值,最小值分别为0,1,-1.
(3)对于三个函数,当函数值y随x的增大而减小时,x的取值范围均为x<0.
11.解:(1)由二次函数y=ax2+c的图象的形状及开口方向与y=-12x2的图象相同,得a=-12.
由二次函数y=ax2+c的图象的顶点坐标是(0,2),得c=2.
(2)函数y=-12x2+2的图象如图所示.
12.3　开口方向　位置
13.y=x2+3　14.-3　2
15.解:(1)向下平移5个单位.
(2)向上平移8个单位.
16.C　[解析] 当a<0时,二次函数图象的顶点在y轴负半轴,一次函数图象经过第一、二、四象限;当a>0时,二次函数图象的顶点在y轴正半轴,一次函数图象经过第一、二、三象限.故选C.
17.D　[解析] 由题意可得a=9+k,b=1+k,c=4+k,∴b18.-3　[解析] 对于二次函数而言,只有在二次项系数为负数时才有最大值.由题意,得k2-8=1,解得k=±3.当k=3时,k+1=4>0,此时二次函数有最小值,不符合题意,将k=3舍去.当k=-3时,k+1=-2<0,从而k=-3.
19.1　[解析] ∵抛物线y=ax2+1与y轴交于点A,∴点A的坐标为(0,1).令4x2=1,解得x=±12,∴点B的坐标为(-12,1),点C的坐标为(12,1),∴BC=12-(-12)=1.
20.解:能.设平移后的抛物线的函数表达式为y=13x2+b.由新的抛物线经过点(3,-5),
得13×32+b=-5.
解得b=-8.
即向下平移8个单位.
21.解:由抛物线的顶点为A(0,1),可知该抛物线的对称轴为y轴.
又∵四边形CDEF为矩形,点D,E在x轴上,
∴点C,F为抛物线上的对称点.
∵矩形CDEF的面积为8,OB=2,
∴CF=4,故点F的坐标为(2,2).
设抛物线的函数表达式为y=ax2+1.
把F(2,2)代入,得4a+1=2,解得a=14,
∴抛物线的函数表达式为y=14x2+1.
22.[解析](2)利用关于x轴对称的点的特点:横坐标相同,纵坐标互为相反数就可以解答;
(3)假设存在点B并设出其坐标,根据三角形面积关系易得|x|=2,分x的值为2与-2两种情况讨论,进而可得答案.
解:(1)由二次函数y=ax2+b的最大值为4可知b=4.
∵该函数的图象经过点A(1,3),
∴3=a+4,解得a=-1.
故该二次函数的表达式为y=-x2+4,其图象顶点D的坐标为(0,4).
(2)y=x2-4.
(3)存在.假设点B(x,y).
∵S△DOB=2S△AOD,
∴12OD×|x|=2×12OD×1,解得x=±2.
当x=2时,y=-x2+4=0;
当x=-2时,y=-x2+4=0.
∴在该函数图象上存在满足条件的点B,它的坐标为(2,0)或(-2,0).