15.3等腰三角形 练习题 2021——2022学年沪科版八年级数学上册（Word版 含答案）
文档属性
| 名称 | 15.3等腰三角形 练习题 2021——2022学年沪科版八年级数学上册（Word版 含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 170.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-30 14:39:17 | ||
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文档简介
15.3等腰三角形
一、选择题(每小题3分,共27分)
1.已知直角三角形中30°角所对的直角边的长为4 cm,则斜边的长为( )
A.2 cm B.4 cm
C.6 cm D.8 cm
2.等边三角形对称轴的条数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图1,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,∠BAD=35°,则∠C的度数为( )
图1
A.35° B.45°
C.55° D.60°
4.如图2,点D在△ABC的边AC上,且AD=BD=CD,若∠A=40°,则∠C等于( )
图2
A.40° B.50° C.60° D.45°
5.如图3,在等边三角形ABC中,D是AB的中点,DE⊥AC于点E,EF⊥BC于点F,已知AB=8,则BF的长为( )
图3
A.3 B.4 C.5 D.6
6.如图4,在△ABC中,AB=AC=BD,且D为BC上一点,CD=AD,则∠B的度数为( )
图4
A.30° B.36° C.40° D.45°
7.如图5,在△ABC中,AB=AC=6,∠BAC=120°,AD是△ABC的中线,AE是∠BAD的平分线,DF∥AB交AE的延长线于点F,则DF的长是( )
图5
A.5 B.2 C.4 D.3
8.在△ABC中,与∠A相邻的外角的度数是130°,要使△ABC为等腰三角形,则∠B的度数是( )
A.50° B.65° C.50°或65° D.50°或65°或80°
9.如图6,已知∠MON=30°,点A1,A2,A3,A4,…在射线ON上,点B1,B2,B3,…在射线OM上,△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4,…均为等边三角形.若OA1=1,则△A6B6A7的边长为( )
图6
A.6 B.12 C.32 D.64
二、填空题(每小题4分,共20分)
10.如图7,在△ABC中,AB=AC,△ABC的外角∠DAC=130°,则∠B= °.?
图7
11.如图8,AD是△ABC的中线,CE是△ABC的角平分线.若AB=AC,∠CAD=26°,则∠ACE= °.?
图8
12.在等腰三角形ABC中,AB=AC=6,∠ABC=15°,则△ABC的面积是 .?
图9
13.在一次夏令营活动中,小明同学从营地A出发,要到A地的北偏东60°方向的C处,他先沿正东方向走了200 m到达B地,再沿北偏东30°方向走,恰能到达目的地C(如图9),那么B,C两地相距 m.?
14.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为46°,则底角∠B的度数为 .?
三、解答题(共53分)
15.(12分)如图10,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,D是AC上一点,E是BC延长线上一点,连接BD,DE,若∠ABD=20°,BD=DE,求∠E的度数.
图10
16.(13分)如图11,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,AM是△ABC的外角∠CAE的平分线.
(1)求证:AM∥BC;
(2)若DN平分∠ADC交AM于点N,判断△ADN的形状并说明理由.
图11
17.(14分)如图12,△ABC中,AB=AC,D是AB上一点,过点D作DE⊥BC交BC于点E,交CA的延长线于点F.
(1)求证:△ADF是等腰三角形;
(2)若∠B=60°,BD=4,AD=2,求EC的长.
图12
18.(14分)如图13,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别在边BC,AC上,AD=AE,∠BAD=30°.
(1)求∠EDC的度数;
(2)若∠B=30°,请判断△ADE的形状,并写出证明过程.
图13
答案
1.D 2.C
3.C [解析] 因为AB=AC,D为BC的中点,所以∠BAC=2∠BAD=70°.所以∠C=∠B=12×(180°-70°)=55°.
4.B [解析] ∵AD=BD=CD,∴∠ABD=∠A,∠C=∠DBC.
∵∠A=40°,∴∠C=(180°-40°×2)÷2=50°.
5.C [解析] ∵在等边三角形ABC中,D是AB的中点,AB=8,∴AD=4,AC=BC=8,∠A=∠C=60°.
∵DE⊥AC于点E,EF⊥BC于点F,∴∠AED=∠CFE=90°.∴∠ADE=∠CEF=30°.
∴AE=12AD=2.∴CE=8-2=6.∴CF=12CE=3.∴BF=5.故选C.
6.B [解析] 由AB=AC可得∠B=∠C.
又由CD=AD可得∠ADB=2∠C=2∠B.
由AB=BD,可得∠ADB=∠BAD=2∠B.
在△ABD中利用三角形内角和等于180°得出5∠B=180°,解得∠B=36°.
7.D [解析] ∵AB=AC,D为底边的中点,
∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD.
∵∠BAC=120°,∴∠BAD=60°,∴∠B=30°.
∵AE是∠BAD的平分线,
∴∠DAE=∠EAB=30°.
∵DF∥AB,∴∠F=∠EAB=30°,
∴∠DAF=∠F=30°,∴AD=DF.
∵AB=6,∠B=30°,∠ADB=90°,
∴AD=12AB=3,
∴DF=3.
8.D [解析] ∠A=180°-130°=50°.
当AB=AC时,∠B=∠C=12×(180°-50°)=65°;
当BC=AB时,∠A=∠C=50°,则∠B=180°-50°-50°=80°;
当AC=BC时,∠A=∠B=50°.
综上,∠B的度数为50°或65°或80°.
9.C [解析] 如图,∵△A1B1A2是等边三角形,
∴∠2=60°,A1A2=A1B1.
∵∠MON=30°,
∴∠1=∠2-∠MON=30°=∠MON.
∴A1B1=OA1=1.
∴A1A2=1.
∴OA2=OA1+A1A2=2.
∵△A2B2A3是等边三角形,
∴A2B2=A2A3,∠4=60°.
∵∠MON=30°,
∴∠3=∠4-∠MON=30°=∠MON.
∴A2B2=OA2=2.
同理可得A3B3=4,A4B4=8,A5B5=16,A6B6=32.
故△A6B6A7的边长为32.
10.65 [解析] ∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵∠DAC=∠B+∠C,
∴∠B=12∠DAC=65°.
11.32 [解析] ∵AD是△ABC的中线,AB=AC,∠CAD=26°,
∴∠CAB=2∠CAD=52°,
∴∠B=∠ACB=(180°-∠CAB)÷2=(180°-52°)÷2=64°.
∵CE是△ABC的角平分线,∴∠ACE=32°.
12.9 [解析] 如图,过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D.
∵AB=AC=6,∴∠ACB=∠ABC=15°.
∴∠DAC=30°.
又∵AB=AC=6,
∴在直角三角形ACD中,CD=12AC=3.
∴△ABC的面积=12AB·CD=12×6×3=9.
13.200 [解析] ∵B地在A地的正东方向,C地在A地的北偏东60°方向,∴∠BAC=90°-60°=30°.
∵C地在B地的北偏东30°方向,∴∠ABC=90°+30°=120°.
∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=180°-30°-120°=30°.∴∠BAC=∠C.∴BC=AB=200 m.
14.68°或22° [解析] (1)如图①,当AB的垂直平分线MN与AC相交时,设MN与AB,AC的交点分别为E,D.由题意知∠ADM=46°.
图①
∵∠AED=90°,∴∠A=90°-46°=44°.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C=12(180°-∠A)=68°.
(2)如图②,当AB的垂直平分线MN与CA的延长线相交时,设MN与CA的交点为D.由题意知∠ADN=46°,
图②
则∠DAB=90°-46°=44°.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C=12∠DAB=22°.
故答案为68°或22°.
15.解:∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,
∴∠ABC=∠ACB=12×(180°-80°)=50°.
∵∠ABD=20°,
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=30°.
∵BD=DE,∴∠E=∠DBC=30°.
16.解:(1)证明:∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∴∠CAE=∠B+∠C=2∠C.
∵AM平分∠CAE,
∴∠MAC=12∠CAE=∠C.
∴AM∥BC.
(2)△ADN是等腰直角三角形.理由:
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴AD⊥BC.
又∵AM∥BC,∴AM⊥AD,∴∠DAN=90°.
∵AM∥BC,∴∠AND=∠NDC.
又∵DN平分∠ADC,
∴∠ADN=∠NDC=∠AND.
∴AD=AN.
∴△ADN是等腰直角三角形.
17.解:(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵FE⊥BC,∴∠FEC=∠FEB=90°,
∴∠F+∠C=90°,∠BDE+∠B=90°,
∴∠F=∠BDE.
而∠BDE=∠FDA,∴∠F=∠FDA,
∴AF=AD,∴△ADF是等腰三角形.
(2)∵DE⊥BC,∴∠DEB=90°.
∵∠B=60°,∴∠BDE=30°.
又∵BD=4,∴BE=12BD=2.
∵AB=AC,∠B=60°,∴△ABC是等边三角形,∴BC=AB=AD+BD=6,
∴EC=BC-BE=6-2=4.
18.解:(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED.
设∠B的度数为x°,则∠C的度数也为x°,
∠ADC=30°+x°.
设∠EDC=y°,则∠AED=x°+y°.
由∠ADE=∠AED,得
30°+x°-y°=x°+y°,
∴y=15,即∠EDC=15°.
(2)△ADE是等腰直角三角形.
证明:∵∠B=30°,∠BAD=30°,
∴∠ADC=60°.
又∵∠EDC=15°,∴∠ADE=45°.
又∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED=45°.
∴∠DAE=90°.
∴△ADE是等腰直角三角形.
一、选择题(每小题3分,共27分)
1.已知直角三角形中30°角所对的直角边的长为4 cm,则斜边的长为( )
A.2 cm B.4 cm
C.6 cm D.8 cm
2.等边三角形对称轴的条数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图1,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,∠BAD=35°,则∠C的度数为( )
图1
A.35° B.45°
C.55° D.60°
4.如图2,点D在△ABC的边AC上,且AD=BD=CD,若∠A=40°,则∠C等于( )
图2
A.40° B.50° C.60° D.45°
5.如图3,在等边三角形ABC中,D是AB的中点,DE⊥AC于点E,EF⊥BC于点F,已知AB=8,则BF的长为( )
图3
A.3 B.4 C.5 D.6
6.如图4,在△ABC中,AB=AC=BD,且D为BC上一点,CD=AD,则∠B的度数为( )
图4
A.30° B.36° C.40° D.45°
7.如图5,在△ABC中,AB=AC=6,∠BAC=120°,AD是△ABC的中线,AE是∠BAD的平分线,DF∥AB交AE的延长线于点F,则DF的长是( )
图5
A.5 B.2 C.4 D.3
8.在△ABC中,与∠A相邻的外角的度数是130°,要使△ABC为等腰三角形,则∠B的度数是( )
A.50° B.65° C.50°或65° D.50°或65°或80°
9.如图6,已知∠MON=30°,点A1,A2,A3,A4,…在射线ON上,点B1,B2,B3,…在射线OM上,△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4,…均为等边三角形.若OA1=1,则△A6B6A7的边长为( )
图6
A.6 B.12 C.32 D.64
二、填空题(每小题4分,共20分)
10.如图7,在△ABC中,AB=AC,△ABC的外角∠DAC=130°,则∠B= °.?
图7
11.如图8,AD是△ABC的中线,CE是△ABC的角平分线.若AB=AC,∠CAD=26°,则∠ACE= °.?
图8
12.在等腰三角形ABC中,AB=AC=6,∠ABC=15°,则△ABC的面积是 .?
图9
13.在一次夏令营活动中,小明同学从营地A出发,要到A地的北偏东60°方向的C处,他先沿正东方向走了200 m到达B地,再沿北偏东30°方向走,恰能到达目的地C(如图9),那么B,C两地相距 m.?
14.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为46°,则底角∠B的度数为 .?
三、解答题(共53分)
15.(12分)如图10,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,D是AC上一点,E是BC延长线上一点,连接BD,DE,若∠ABD=20°,BD=DE,求∠E的度数.
图10
16.(13分)如图11,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,AM是△ABC的外角∠CAE的平分线.
(1)求证:AM∥BC;
(2)若DN平分∠ADC交AM于点N,判断△ADN的形状并说明理由.
图11
17.(14分)如图12,△ABC中,AB=AC,D是AB上一点,过点D作DE⊥BC交BC于点E,交CA的延长线于点F.
(1)求证:△ADF是等腰三角形;
(2)若∠B=60°,BD=4,AD=2,求EC的长.
图12
18.(14分)如图13,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别在边BC,AC上,AD=AE,∠BAD=30°.
(1)求∠EDC的度数;
(2)若∠B=30°,请判断△ADE的形状,并写出证明过程.
图13
答案
1.D 2.C
3.C [解析] 因为AB=AC,D为BC的中点,所以∠BAC=2∠BAD=70°.所以∠C=∠B=12×(180°-70°)=55°.
4.B [解析] ∵AD=BD=CD,∴∠ABD=∠A,∠C=∠DBC.
∵∠A=40°,∴∠C=(180°-40°×2)÷2=50°.
5.C [解析] ∵在等边三角形ABC中,D是AB的中点,AB=8,∴AD=4,AC=BC=8,∠A=∠C=60°.
∵DE⊥AC于点E,EF⊥BC于点F,∴∠AED=∠CFE=90°.∴∠ADE=∠CEF=30°.
∴AE=12AD=2.∴CE=8-2=6.∴CF=12CE=3.∴BF=5.故选C.
6.B [解析] 由AB=AC可得∠B=∠C.
又由CD=AD可得∠ADB=2∠C=2∠B.
由AB=BD,可得∠ADB=∠BAD=2∠B.
在△ABD中利用三角形内角和等于180°得出5∠B=180°,解得∠B=36°.
7.D [解析] ∵AB=AC,D为底边的中点,
∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD.
∵∠BAC=120°,∴∠BAD=60°,∴∠B=30°.
∵AE是∠BAD的平分线,
∴∠DAE=∠EAB=30°.
∵DF∥AB,∴∠F=∠EAB=30°,
∴∠DAF=∠F=30°,∴AD=DF.
∵AB=6,∠B=30°,∠ADB=90°,
∴AD=12AB=3,
∴DF=3.
8.D [解析] ∠A=180°-130°=50°.
当AB=AC时,∠B=∠C=12×(180°-50°)=65°;
当BC=AB时,∠A=∠C=50°,则∠B=180°-50°-50°=80°;
当AC=BC时,∠A=∠B=50°.
综上,∠B的度数为50°或65°或80°.
9.C [解析] 如图,∵△A1B1A2是等边三角形,
∴∠2=60°,A1A2=A1B1.
∵∠MON=30°,
∴∠1=∠2-∠MON=30°=∠MON.
∴A1B1=OA1=1.
∴A1A2=1.
∴OA2=OA1+A1A2=2.
∵△A2B2A3是等边三角形,
∴A2B2=A2A3,∠4=60°.
∵∠MON=30°,
∴∠3=∠4-∠MON=30°=∠MON.
∴A2B2=OA2=2.
同理可得A3B3=4,A4B4=8,A5B5=16,A6B6=32.
故△A6B6A7的边长为32.
10.65 [解析] ∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵∠DAC=∠B+∠C,
∴∠B=12∠DAC=65°.
11.32 [解析] ∵AD是△ABC的中线,AB=AC,∠CAD=26°,
∴∠CAB=2∠CAD=52°,
∴∠B=∠ACB=(180°-∠CAB)÷2=(180°-52°)÷2=64°.
∵CE是△ABC的角平分线,∴∠ACE=32°.
12.9 [解析] 如图,过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D.
∵AB=AC=6,∴∠ACB=∠ABC=15°.
∴∠DAC=30°.
又∵AB=AC=6,
∴在直角三角形ACD中,CD=12AC=3.
∴△ABC的面积=12AB·CD=12×6×3=9.
13.200 [解析] ∵B地在A地的正东方向,C地在A地的北偏东60°方向,∴∠BAC=90°-60°=30°.
∵C地在B地的北偏东30°方向,∴∠ABC=90°+30°=120°.
∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=180°-30°-120°=30°.∴∠BAC=∠C.∴BC=AB=200 m.
14.68°或22° [解析] (1)如图①,当AB的垂直平分线MN与AC相交时,设MN与AB,AC的交点分别为E,D.由题意知∠ADM=46°.
图①
∵∠AED=90°,∴∠A=90°-46°=44°.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C=12(180°-∠A)=68°.
(2)如图②,当AB的垂直平分线MN与CA的延长线相交时,设MN与CA的交点为D.由题意知∠ADN=46°,
图②
则∠DAB=90°-46°=44°.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C=12∠DAB=22°.
故答案为68°或22°.
15.解:∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,
∴∠ABC=∠ACB=12×(180°-80°)=50°.
∵∠ABD=20°,
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=30°.
∵BD=DE,∴∠E=∠DBC=30°.
16.解:(1)证明:∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∴∠CAE=∠B+∠C=2∠C.
∵AM平分∠CAE,
∴∠MAC=12∠CAE=∠C.
∴AM∥BC.
(2)△ADN是等腰直角三角形.理由:
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴AD⊥BC.
又∵AM∥BC,∴AM⊥AD,∴∠DAN=90°.
∵AM∥BC,∴∠AND=∠NDC.
又∵DN平分∠ADC,
∴∠ADN=∠NDC=∠AND.
∴AD=AN.
∴△ADN是等腰直角三角形.
17.解:(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵FE⊥BC,∴∠FEC=∠FEB=90°,
∴∠F+∠C=90°,∠BDE+∠B=90°,
∴∠F=∠BDE.
而∠BDE=∠FDA,∴∠F=∠FDA,
∴AF=AD,∴△ADF是等腰三角形.
(2)∵DE⊥BC,∴∠DEB=90°.
∵∠B=60°,∴∠BDE=30°.
又∵BD=4,∴BE=12BD=2.
∵AB=AC,∠B=60°,∴△ABC是等边三角形,∴BC=AB=AD+BD=6,
∴EC=BC-BE=6-2=4.
18.解:(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED.
设∠B的度数为x°,则∠C的度数也为x°,
∠ADC=30°+x°.
设∠EDC=y°,则∠AED=x°+y°.
由∠ADE=∠AED,得
30°+x°-y°=x°+y°,
∴y=15,即∠EDC=15°.
(2)△ADE是等腰直角三角形.
证明:∵∠B=30°,∠BAD=30°,
∴∠ADC=60°.
又∵∠EDC=15°,∴∠ADE=45°.
又∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED=45°.
∴∠DAE=90°.
∴△ADE是等腰直角三角形.