21.2.1二次函数y=ax2的图象和性质---同步课时作业 2021-2022学年沪科版数学九年级上册（Word版 含答案）

21.2.1　二次函数y=ax2的图象和性质
知识点 1　二次函数y=ax2的图象的画法
1.请你帮小明完成用描点法画函数y=4x2图象的有关步骤.
列表:
x
…
-32
-1
-12
0



…
y
…







…
描点并连线:

图1
知识点 2　二次函数y=ax2的图象特征与有关概念
2.二次函数y=32x2的图象所经过的象限是 (　　)
A.第一、二象限 B.第一、三象限
C.第二、四象限 D.第三、四象限
3.已知原点是抛物线y=(m+1)x2的最高点,则m的取值范围是 (　　)
A.m<-1 　B.m<0 C.m>-1 D.m>0
4.在同一坐标系中,作y=x2,y=-12x2,y=13x2的图象,它们的共同特点是 (　　)
A.开口方向向上
B.都是关于x轴对称的抛物线,且y随x的增大而增大
C.都是关于y轴对称的抛物线,且y随x的增大而减小
D.都是关于y轴对称的抛物线,有公共的顶点
5.若二次函数y=ax2的图象过点P(-2,4),则该图象必经过点 (　　)
A.(2,4) B.(-2,-4)
C.(-4,2) D.(4,-2)
6.[教材练习第3题变式] 在同一平面直角坐标系中,函数y=2021x2与y=-2021x2的图象的位置关系是　　　　　　　　　.?
7.(1)在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2x2,y=12x2,y=-2x2与y=-12x2的图象.
(2)观察(1)中所画的图象,回答下列问题:
①由图象可知抛物线y=2x2与抛物线　　　　的形状相同,且它们关于　　　　轴对称;同样,抛物线y=12x2与抛物线　　　　的形状相同,它们也关于　　　　轴对称.?
②当|a|相同时,抛物线开口大小　　　　;当|a|变大时,抛物线的开口变　　　　(填“大”或“小”);当|a|变小时,抛物线的开口变　　　　(填“大”或“小”).?






知识点 3　二次函数y=ax2的性质
8.二次函数y=14x2不具有的性质是 (　　)
A.图象的开口向上 B.图象关于y轴对称
C.y随x的增大而增大 D.函数的最小值是0
9.抛物线y=-3x2的顶点坐标是　　　　,该抛物线上有点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1>x2>0,则y1　　　　y2(填“>”“<”或“=”).?
10.已知二次函数y=ax2的图象经过点A(-1,-12),则这个二次函数的表达式为　　　　　,当x　　　　时,y随x的增大而增大.?
11.下列说法中正确的是 (　　)
A.函数y=ax2(a≠0)的图象开口向上,函数y=-ax2(a≠0)的图象开口向下
B.二次函数y=ax2(a≠0),当x<0时,y随x的增大而增大
C.函数y=2x2与y=-2x2图象的顶点、对称轴、开口方向完全相同
D.抛物线y=ax2(a≠0)与y=-ax2(a≠0)关于x轴对称
12.如图2,在同一平面直角坐标系中画出函数y=12x2和函数y=-12x2的图象,已知坐标原点O为正方形ABCD对角线的交点,且正方形的边分别与x轴、y轴平行.如果点D的坐标为(2,2),那么阴影部分的面积为 (　　)

图2
A.4 B.8 C.12 D.16
13.若A(-14,y1),B(-1,y2),C(12,y3)为二次函数y=-x2的图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系是 (　　)
A.y1 C.y2 14.当ab>0时,二次函数y=ax2与一次函数y=ax+b的图象大致可能是 (　　)

图3
15.已知二次函数y=x2,当-1≤x≤3时,y的取值范围是　　　　.?
16.已知二次函数y=ax2的图象经过点(2,-8).
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)说出函数在x取什么值时,有最大值还是最小值,最大值或最小值是多少;
(3)当x为何值时,函数y随x的增大而减小?







17.[教材练习第5题变式] 抛物线y=ax2(a≠0)与直线y=x-3交于点(1,b).
(1)求a,b的值;
(2)当x取何值时,二次函数中的y随x的增大而增大?
18.如图4,平行于x轴的直线AC分别交函数y1=x2(x≥0)与y2=x23(x≥0)的图象于B,C两点,交y轴于点A,过点C作y轴的平行线交y1=x2(x≥0)的图象于点D,直线DE∥AC,交y2=x23(x≥0)的图象于点E,求DEAB的值.

图4




教师详解详析
1.解:列表:
x
…
-32
-1
-12
0
12
1
32
…
y
…
9
4
1
0
1
4
9
…
描点并连线如图:
2.A
3.A　[解析] ∵原点是抛物线y=(m+1)x2的最高点,∴m+1<0,即m<-1.
故选A.
4.D　[解析] 因为y=ax2(a≠0)形式的二次函数的图象的对称轴都是y轴,且顶点都在原点,且都为抛物线,所以它们的共同特点是都是关于y轴对称的抛物线,有公共的顶点.故选D.
5.A　[解析] 二次函数y=ax2的图象是轴对称图形,且对称轴是y轴.观察各选项可知,点(2,4)和点(-2,4)关于y轴对称,故点(2,4)也在该函数的图象上.故选A.
6.关于x轴对称　[解析] 函数y=2021x2与y=-2021x2的图象开口方向不同,有公共的顶点,图象关于x轴成轴对称.
7.解:(1)略.
(2)①y=-2x2　x　y=-12x2　x
②相同　小　大
8.C　[解析] 二次函数y=14x2,当x>0时,y随x的增大而增大;当x<0时,y随x的增大而减小.
9.(0,0)　<　10.y=-12x2　<0
11.D　[解析] 函数y=ax2中的系数a不能确定其符号,故不能确定其函数图象的开口方向,故选项A错误;当x<0时,若a<0,则y随x的增大而增大,若a>0,则y随x的增大而减小,故选项B错误;函数y=2x2与y=-2x2图象的顶点、对称轴相同,但开口方向相反,故选项C错误;抛物线y=ax2(a≠0)与y=-ax2(a≠0)的形状、顶点完全相同,开口方向相反,则它们关于x轴对称,故选项D正确.
12.B　[解析] 由二次函数图象的对称性,可知阴影部分的面积为正方形面积的一半,即12×4×4=8.
13.C　[解析] 由二次项系数的正负性就可以知道抛物线的增减性,如果所给的点没有在对称轴的同一侧,那么可以利用抛物线的对称性,找到这个点的对称点,然后根据增减性再进行判断.因为-1<0,所以当x<0时,y随x的增大而增大.又由抛物线的对称性可知,y3的值等于x=-12时的函数值.因为0>-14>-12>-1,所以y214.D　[解析] ∵ab>0,∴a,b同号.当a>0,b>0时,抛物线开口向上,直线过第一、二、三象限,没有符合题意的选项;当a<0,b<0时,抛物线开口向下,直线过第二、三、四象限.故D选项符合题意.
15.0≤y≤9　[解析] 当-1≤x≤3时,函数y的最小值为0,最大值为9,故y的取值范围是0≤y≤9.
16.解:(1)把x=2,y=-8代入y=ax2,
得-8=22·a,解得a=-2,
∴二次函数的表达式为y=-2x2.
(2)由于a=-2,故抛物线的顶点为最高点,
∴当x=0时,函数有最大值,最大值为0.
(3)由于抛物线开口向下,在对称轴的右边,即x>0时,函数y随x的增大而减小.
17.解:(1)把(1,b)代入y=x-3,
可得b=1-3=-2,
∴交点的坐标为(1,-2).
把(1,-2)代入y=ax2,
可得-2=a,即a=-2.
∴a=-2,b=-2.
(2)由(1)可得y=-2x2,
∴抛物线开口向下,且对称轴为y轴,
∴当x<0时,y随x的增大而增大.
18.解:设点A的坐标为(0,a)(a>0).
令y1=x2=a,解得x=a(负值已舍去),
∴点B的坐标为(a,a).
∴AB=a.
令y2=x23=a,解得x=3a(负值已舍去),
∴点C的坐标为(3a,a).
∵CD∥y轴,
∴点D的横坐标与点C的横坐标相同,为3a,
∴点D的纵坐标为(3a)2=3a,
∴点D的坐标为(3a,3a).
∵DE∥AC,∴点E的纵坐标为3a.
令x23=3a,解得x=3a(负值已舍去),
∴点E的坐标为(3a,3a),
∴DE=3a-3a,
∴DEAB=3a-3aa=3-3.