21.2.3二次函数表达式的确定---同步课时作业 2021-2022学年沪科版数学九年级上册（Word版 含答案）

*21.2.3　二次函数表达式的确定
知识点 1　已知三点求二次函数的表达式
1.一个二次函数的图象经过(0,0),(-1,-1),(1,9)三点,设这个二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,将三点的坐标代入,得方程组　　　　　　　,求得方程组的解为　　　　,则该二次函数的表达式为　　　　　　　　.?
2.[教材例4变式] 已知二次函数y=ax2+bx+c,当x=1时,y=2;当x=-1时,y=4;当x=0时,y=0.则这个二次函数的表达式为　　　　　　.?
3.[教材例3变式] 如图20所示,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A,B,C三点.
(1)观察图象,写出A,B,C三点的坐标,并求出抛物线的函数表达式;
(2)求此抛物线的顶点坐标和对称轴.

图20


知识点 2　已知抛物线的顶点和图象上另外一点求二次函数的表达式
4.若抛物线的顶点为(-2,3),且经过点(-1,5),根据二次函数顶点式y=a(x+h)2+k,可设函数表达式为　　　　　　　,再将点(-1,5)代入,求得a=　　　　,从而该二次函数的表达式为　　　　,即　　　　　　　.?
5.已知某二次函数的图象如图21所示,则这个二次函数的表达式为 (　　)

图21
A.y=2(x+1)2+8 B.y=18(x+1)2-8
C.y=29(x-1)2+8 D.y=2(x-1)2-8
6.已知二次函数y=ax2+bx+c,当x=1时,有最大值8,其图象的形状、开口方向与抛物线y=-2x2相同,则这个二次函数的表达式是 (　　)
A.y=-2x2-x+3 B.y=-2x2+4
C.y=-2x2+4x+8 D.y=-2x2+4x+6
7.已知二次函数y=ax2+bx+c中自变量x和函数值y的部分对应值如下表:
x
…
-32
-1
-12
0
12
1
32
…
y
…
-54
-2
-94
-2
-54
0
74
…
则该二次函数的表达式为　　　　　　.?
8.[2020·阜阳颍州区一模] 如图22,△AOB是等边三角形,且点O,A的坐标分别为(0,0),(2,0).若某抛物线经过△AOB的三个顶点,求该抛物线的函数表达式.

图22

知识点 3　已知与x轴的交点求二次函数的表达式
9.已知抛物线与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3).可设该二次函数的表达式为y=a(x+　　)(x-　　),代入(0,3),得方程　　　　　　　　　,解得a=　　　　,故该?
二次函数的表达式为　　　　　　　.?
10.若二次函数的图象经过A(-1,0),B(3,0),C(0,5)三点,求该二次函数的表达式.



11.若函数y=ax2+bx+c的部分取值如下表所示,则由表格中的信息可知y与x之间的函数表达式是 (　　)
x
…
-1
0
1
…
ax2
…


1
…
ax2+bx+c
…
8
3

…
A.y=x2-4x+3 B.y=x2-3x+4
C.y=x2-3x+3 D.y=x2-4x+8
12.若关于x的函数y=a(x+h)2+k的图象经过原点,最大值为8,且形状与抛物线y=2x2-2x+3相同,则此函数的表达式为　.?
13.[2020·安徽一模] 设抛物线l:y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为D,与y轴的交点是C,我们称以C为顶点,且过点D的抛物线为抛物线l的“伴随抛物线”,请写出抛物线y=x2-4x+1的“伴随抛物线”的函数表达式:　　　　　　　.?
14.下表给出了代数式-x2+bx+c与x的一些对应值:
x
…
-2
-1
0
1
2
3
…
-x2+bx+c
…
5
n
c
2
-3
-10
…
(1)根据表格中的数据,确定b,c,n的值;
(2)设y=-x2+bx+c,请写出当0≤x≤2时y的最大值.


15[2019·潜山期末改编] 如图23①,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与直线y=x+1相交于A(-1,0),B(4,m)两点,且抛物线经过点C(5,0).
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)如图②所示,设抛物线与y轴交于点F,在第一象限的抛物线上,是否存在一点Q,使得四边形OFQC的面积最大?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

　　　　　　　图23




变式1:[教材习题21.2第14题变式] 抛物线y=x2+bx-c经过点A(3,0),与直线y=x+1交于点B(-1,m),与y轴交于点C,P为抛物线上一动点(不与点C重合),且使S△PAB=S△ABC,则点P的坐标为　　　　.?
变式2:[2020·内江节选] 如图24,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(4,0),C(0,2)三点,D(x,y)为抛物线上第一象限内的一个动点.
(1)求抛物线所对应的函数表达式;
(2)当△BCD的面积为3时,求点D的坐标.

图24

教师详解详析
1.c=0,a-b+c=-1,a+b+c=9　a=4,b=5,c=0　y=4x2+5x
2.y=3x2-x　[解析] 由题意,得
a+b+c=2,a-b+c=4,c=0,解得a=3,b=-1,c=0.故这个二次函数的表达式为y=3x2-x.
3.解:(1)A(-1,0),B(0,-3),C(4,5),抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3.
(2)抛物线的顶点坐标为(1,-4),对称轴为直线x=1.
4.y=a(x+2)2+3　2　y=2(x+2)2+3
y=2x2+8x+11
5.D　[解析] 由题图知抛物线的顶点坐标是(1,-8),所以设抛物线的函数表达式是y=a(x-1)2-8.因为点(3,0)在这个二次函数的图象上,所以0=a·(3-1)2-8,解得a=2,所以这个二次函数的表达式为y=2(x-1)2-8.
6.D
7.y=x2+x-2　[解析] 结合表格由二次函数的对称性可知,此二次函数图象的顶点坐标是(-12,-94),所以可设该二次函数的表达式为y=a(x+12)2-94.
又由题表可知该二次函数的图象经过点(-1,-2),
所以-2=a·(-1+12)2-94,解得a=1.
所以该二次函数的表达式为y=(x+12)2-94=x2+x-2.
8.解:∵点O,A的坐标分别为(0,0),(2,0).
∴OA=2.如图,过点B作BC⊥OA于点C.
∵△AOB是等边三角形,
∴OB=OA=2,OC=AC=1,
∴BC=22-12=3,∴点B(1,3).
由题意,易得B为抛物线的顶点.设该抛物线的函数表达式为y=a(x-1)2+3,
把O(0,0)代入,得a(0-1)2+3=0,
解得a=-3,
故该抛物线的函数表达式为y=-3(x-1)2+3.
即y=-3x2+23x.
9.1　3　a·(0+1)×(0-3)=3　-1
y=-x2+2x+3
10.解:设该二次函数的表达式为y=a(x+1)(x-3).
把(0,5)代入,得-3a=5,解得a=-53.
则该二次函数的表达式为y=-53(x+1)(x-3)=-53x2+103x+5.
11.A　[解析] ∵x=1时,ax2=1,∴a=1.
将(-1,8),(0,3)分别代入y=x2+bx+c,
得1-b+c=8,c=3,解得b=-4,c=3.
∴y与x之间的函数表达式是y=x2-4x+3.故选A.
12.y=-2(x-2)2+8或y=-2(x+2)2+8　[解析] 函数y=a(x+h)2+k的图象经过原点,把(0,0)代入y=a(x+h)2+k,得ah2+k=0.∵函数的最大值为8,∴函数图象的开口向下,即a<0,顶点的纵坐标k=8.又∵函数图象的形状与抛物线y=2x2-2x+3相同,∴二次项系数a=-2.把a=-2,k=8代入ah2+k=0,得h=±2,∴此函数的表达式是y=-2(x-2)2+8或y=-2(x+2)2+8.
13.y=-x2+1　[解析] ∵抛物线y=x2-4x+1=(x-2)2-3,
∴顶点D的坐标为(2,-3),与y轴交点为C(0,1),
设“伴随抛物线”的函数表达式为y=ax2+1,
把D(2,-3)代入,得a=-1,
∴“伴随抛物线”的函数表达式为y=-x2+1.
故答案为y=-x2+1.
14.解:(1)根据表格数据,得
-4-2b+c=5,-1+b+c=2,解得b=-2,c=5,
∴-x2+bx+c=-x2-2x+5.
当x=-1时,-x2-2x+5=6,即n=6.
(2)y=-x2-2x+5=-(x+1)2+6,
当x>-1时,y随x的增大而减小,
∴当0≤x≤2时,在x=0时,y取最大值,最大值是5.
15例:解:(1)∵点B(4,m)在直线y=x+1上,
∴m=4+1=5,
∴B(4,5),
把A,B,C三点的坐标分别代入y=ax2+bx+c可得a-b+c=0,16a+4b+c=5,25a+5b+c=0,解得a=-1,b=4,c=5,
∴抛物线的函数表达式为y=-x2+4x+5.
(2)存在这样的点Q,使得四边形OFQC的面积最大.
如图,连接QO.
当x=0时,y=5,∴F(0,5).
设Q(n,-n2+4n+5),
S四边形OFQC=S△OFQ+S△OCQ=12×5n+12×5(-n2+4n+5)=-52(n-52)2+2258,
∴当n=52时,四边形OFQC的面积取得最大值,最大值为2258,此时点Q的坐标为(52,354).
变式1:(1+7,3)或(1-7,3)或(2,-3)
[解析] 由题意,可知m=-1+1=0,把(3,0)和(-1,0)代入y=x2+bx-c,得9+3b-c=0,1-b-c=0,
解得b=-2,c=3.
则抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3,
∴C(0,-3).
∵S△PAB=S△ABC,∴点P的纵坐标为3或-3,
令x2-2x-3=3,解得x1=1+7,x2=1-7,
令x2-2x-3=-3,解得x1=0(舍去),x2=2,
∴点P的坐标为(1+7,3)或(1-7,3)或(2,-3).
变式2:解:(1)将A(-1,0),B(4,0),C(0,2)分别代入y=ax2+bx+c,得
a-b+c=0,16a+4b+c=0,c=2,解得a=-12,b=32,c=2.
故抛物线所对应的函数表达式为y=-12x2+32x+2.
(2)如图,连接OD.
S△BCD=S△OCD+S△OBD-S△OBC=12×2x+12×4y-12×4×2=3.
∵y=-12x2+32x+2,∴-x2+4x-3=0,
解得x1=1,x2=3,
∴点D的坐标为(1,3)或(3,2).