第五章 5.5 5.5.1 第4课时
A组·素养自测
一、选择题
1．已知sin(－x)＝，则cos(－2x)的值为( )
A．
B．
C．
D．
2．函数y＝的最小正周期是( )
A．
B．
C．π
D．2π
3．设函数f(x)＝cos2(x＋)－sin2(x＋)，x∈R，则函数f(x)是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
4．若sin(＋)＝－，α为第一象限角，则＝( )
A．
B．－
C．－3
D．3
5．若△ABC的内角A满足sin2A＝，则sinA＋cosA等于( )
A．
B．－
C．
D．－
6．已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α等于( )
A．
B．
C．
D．
二、填空题
7．若sin＝，
则cos2θ＝____.
8．计算：tan－＝____.
9．若cos2θ＝－，则sin4θ＋cos4θ＝____.
三、解答题
10．求下列各式的值：
(1)；
(2)2tan15°＋tan215°；
(3)sin10°sin30°sin50°sin70°.
11．已知sinα＋cosα＝，且0<α<π，求sin2α，cos2α，tan2α的值．
B组·素养提升
一、选择题
1．已知锐角α的终边经过点P(cos50°，1＋sin50°)，则锐角α等于( )
A．10°
B．20°
C．70°
D．80°
2．(2019·山西晋中高三适应性考试)若sin(－α)＝，则sin(＋2α)＝( )
A．
B．
C．
D．
3．(多选题)下列各式中，值为的是( )
A．2sin
15°cos
15°
B．cos215°－sin215°
C．1－2sin215°
D．sin215°＋cos215°
4．(多选题)已知函数f(x)＝是奇函数，则有( )
A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
B．函数f(x)的图象关于点(，0)对称
C．函数f(x)是奇函数
D．函数f(x)的最小正周期为π
二、填空题
5．若tan(－α)＝，则tan2α＋＝____.
6．已知sinα＋cosβ＝，则cos2α＋cos2β的取值范围是__.
7．(2019·湖南长沙高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点(，)，则cos(2θ＋)＝____.
三、解答题
8．定义向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，若m与n共线，则有x1y2－x2y1＝0，已知向量m＝(cosα－，－1)，n＝(sinα，1)，m与n为共线向量，且α∈[－，0]．
(1)求sinα＋cosα的值；
(2)求的值．
9．已知函数f(x)＝cos2－sincos－.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若f(α)＝，求sin2α的值．
第五章 5.5 5.5.1 第4课时
A组·素养自测
一、选择题
1．已知sin(－x)＝，则cos(－2x)的值为( D )
A．
B．
C．
D．
[解析] 因为sin(－x)＝，所以cos(－2x)
＝cos[2(－x)]＝1－2sin2(－x)＝.
2．函数y＝的最小正周期是( B )
A．
B．
C．π
D．2π
[解析] y＝＝＝cos22x－sin22x＝cos
4x，所以最小正周期T＝＝.
3．设函数f(x)＝cos2(x＋)－sin2(x＋)，x∈R，则函数f(x)是( A )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
[解析] f(x)＝cos2(x＋)－sin2(x＋)＝cos(2x＋)＝－sin
2x，所以函数f(x)是最小正周期为π的奇函数，故选A．
4．若sin(＋)＝－，α为第一象限角，则＝( C )
A．
B．－
C．－3
D．3
[解析] ∵sin(＋)＝sin(2π＋＋)
＝sin(＋)＝cos＝－.
又∵α为第一象限角，∴2kπ<α<2kπ＋，k∈Z，
∴kπ<
∴为第一象限角或第三象限角．
又cos＝－，∴为第三象限角，∴sin＝－，
∴＝＝
＝＝－3，故选C．
5．若△ABC的内角A满足sin2A＝，则sinA＋cosA等于( A )
A．
B．－
C．
D．－
[解析] ∵sin2A＝2sinAcosA＝，∴sinAcosA＝.
∵在△ABC中，00，∴cosA>0，
∴sinA＋cosA＝＝＝＝.
6．已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α等于( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] ∵tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，
∴tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]
＝＝－1，
又α为锐角，∴2α＝，∴α＝.
二、填空题
7．若sin＝，
则cos2θ＝__－__.
[解析] 由sin＝cosθ＝，
得cos2θ＝2cos2θ－1＝2×2－1＝－.
8．计算：tan－＝__－2__.
[解析] 原式＝＝＝－2.
9．若cos2θ＝－，则sin4θ＋cos4θ＝____.
[解析] sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ，又cos2θ＝－，∴sin22θ＝1－cos22θ＝.
∴原式＝1－sin22θ＝1－×＝.
三、解答题
10．求下列各式的值：
(1)；
(2)2tan15°＋tan215°；
(3)sin10°sin30°sin50°sin70°.
[解析] (1)原式＝
＝
＝
＝＝＝8.
(2)原式＝tan30°(1－tan215°)＋tan215°
＝×(1－tan215°)＋tan215°＝1.
(3)方法一：sin10°sin30°sin50°sin70°
＝cos20°cos40°cos80°
＝
＝
＝＝·＝.
方法二：令x＝sin10°sin50°sin70°，y＝cos10°cos50°cos70°，则xy＝sin10°cos10°sin50°cos50°sin70°cos70°，
＝sin20°·sin100°·sin140°
＝sin20°sin80°sin40°
＝cos10°cos50°cos70°＝y.
∵y≠0，∴x＝.
从而有sin10°sin30°sin50°sin70°＝.
11．已知sinα＋cosα＝，且0<α<π，求sin2α，cos2α，tan2α的值．
[解析] ∵sinα＋cosα＝
∴sin2α＋cos2α＋2sinα·cosα＝，
∴sin2α＝－且sinαcosα＝－<0.
∵0<α<π，sinα>0，∴cosα<0，∴sinα－cosα>0，
∴sinα－cosα＝＝，
∴cos2α＝cos2α－sin2α＝(sinα＋cosα)(cosα－sinα)＝×(－)＝－，
∴tan2α＝＝.
B组·素养提升
一、选择题
1．已知锐角α的终边经过点P(cos50°，1＋sin50°)，则锐角α等于( C )
A．10°
B．20°
C．70°
D．80°
[解析] 由三角函数的定义tanα＝＝＝＝＝＝tan70°.
所以α＝70°.
2．(2019·山西晋中高三适应性考试)若sin(－α)＝，则sin(＋2α)＝( D )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由题意及诱导公式可得sin(＋2α)＝cos[－(＋2α)]＝cos(－2α)，
又由余弦的倍角公式，可得cos(－2α)＝1－2sin2(－α)＝1－2×()2＝，
即sin(＋2α)＝.
3．(多选题)下列各式中，值为的是( BC )
A．2sin
15°cos
15°
B．cos215°－sin215°
C．1－2sin215°
D．sin215°＋cos215°
[解析] A不符合，2sin
15°cos
15°＝sin
30°＝；B符合，cos215°－sin215°＝cos
30°＝；C符合，1－2sin215°＝cos
30°＝；D不符合，sin215°＋cos215°＝1.故选BC．
4．(多选题)已知函数f(x)＝是奇函数，则有( BCD )
A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
B．函数f(x)的图象关于点(，0)对称
C．函数f(x)是奇函数
D．函数f(x)的最小正周期为π
[解析] 因为f(x)＝＝＝－tan
x(x≠(k∈Z))，
所以函数f(x)是周期为π的奇函数，图象关于点(，0)对称，故选BCD．
二、填空题
5．若tan(－α)＝，则tan2α＋＝__2__.
[解析] 由tan(－α)＝＝，可求得tanα＝，
∴tan2α＋＝＋＝＋＝＝＝2.
6．已知sinα＋cosβ＝，则cos2α＋cos2β的取值范围是__[－，]__.
[解析] 因为sinα＋cosβ＝，
所以cos2α＋cos2β＝1－2sin2α＋2cos2β－1
＝2(sinα＋cosβ)(cosβ－sinα)
＝3(cosβ－sinα)．
由sinα＋cosβ＝得cosβ＝－sinα，
易得sinα∈[，1]，所以cosβ－sinα＝－2sinα∈[－，]，
所以cos2α＋cos2β∈[－，]．
7．(2019·湖南长沙高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点(，)，则cos(2θ＋)＝__－1__.
[解析] 由题意知cosθ＝，sinθ＝，
∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－，
sin2θ＝2sinθcosθ＝，
∴cos(2θ＋)＝cos2θcos－sin2θ·sin＝－×－×＝－1.
三、解答题
8．定义向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，若m与n共线，则有x1y2－x2y1＝0，已知向量m＝(cosα－，－1)，n＝(sinα，1)，m与n为共线向量，且α∈[－，0]．
(1)求sinα＋cosα的值；
(2)求的值．
[解析] (1)∵m与n为共线向量，
∴(cosα－)×1－(－1)×sinα＝0，
即sinα＋cosα＝.
(2)由(1)得1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2＝，
∴sin2α＝－.
∵(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2，
∴(sinα－cosα)2＝2－()2＝.
又∵α∈[－，0]，∴sinα－cosα<0，sinα－cosα＝－.
因此，＝.
9．已知函数f(x)＝cos2－sincos－.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若f(α)＝，求sin2α的值．
[解析] (1)因为f(x)＝cos2－sincos－
＝(1＋cosx)－sinx－＝cos，
所以函数f(x)的最小正周期为2π，值域为.
(2)由(1)知，f(α)＝cos＝，
所以cos＝.
所以sin2α＝－cos
＝－cos2＝1－2cos2＝1－＝.第五章 5.5 5.5.1 第4课时
1．已知α为第三象限角，且cosα＝－，则tan2α的值为( )
A．－
B．
C．－
D．－2
2．下列各式中，值为的是( )
A．sin15°cos15°
B．2cos2－1
C．
D．
3．化简·cos28°的结果为( )
A．
B．sin28°
C．2sin28°
D．sin14°cos28°
4．化简－的结果为( )
A．－2sin40°
B．2cos40°
C．－2sin40°
D．2sin40°
5．已知sin2α＝，α∈，则cosα－sinα的值是( )
A．－
B．
C．
D．－
第五章 5.5 5.5.1 第4课时
1．已知α为第三象限角，且cosα＝－，则tan2α的值为( A )
A．－
B．
C．－
D．－2
[解析] 由题意可得tanα＝2，所以tan2α＝＝－.
2．下列各式中，值为的是( D )
A．sin15°cos15°
B．2cos2－1
C．
D．
[解析] sin15°cos15°＝sin30°＝；
2cos2－1＝cos＝，
＝cos15°≠，
＝tan45°＝，∴选D．
3．化简·cos28°的结果为( A )
A．
B．sin28°
C．2sin28°
D．sin14°cos28°
[解析] ·cos28°＝×·cos28°＝tan28°·cos28°＝，故选A．
4．化简－的结果为( D )
A．－2sin40°
B．2cos40°
C．－2sin40°
D．2sin40°
[解析] 原式＝－＝(sin40°＋cos40°)－(cos40°－sin40°)＝2sin40°.
5．已知sin2α＝，α∈，则cosα－sinα的值是( A )
A．－
B．
C．
D．－
[解析] ∵α∈，∴sinα>cosα.
又∵(cosα－sinα)2＝1－sin2α＝1－＝，
∴cosα－sinα＝－.