第五章 5.6
1．将函数y＝sin(x＋)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝cos2x
B．y＝sin(2x＋)
C．y＝sin(x＋)
D．y＝sin(x＋)
2．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的振幅为，周期为，初相为，则该函数的表达式为( )
A．y＝sin(＋)
B．y＝sin(－)
C．y＝sin(3x＋)
D．y＝sin(3x－)
3．函数y＝cos(2x－)＋1的一个对称中心为( )
A．(，0)
B．(，0)
C．(，1)
D．(，1)
4．要得到函数y＝cos2x的图象，只需将y＝cos(2x＋)的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
5．函数y＝sinωx(ω>0)在区间[0,1]上恰好有50个最大值，则ω的取值范围是____.
第五章 5.6
1．将函数y＝sin(x＋)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( D )
A．y＝cos2x
B．y＝sin(2x＋)
C．y＝sin(x＋)
D．y＝sin(x＋)
2．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的振幅为，周期为，初相为，则该函数的表达式为( C )
A．y＝sin(＋)
B．y＝sin(－)
C．y＝sin(3x＋)
D．y＝sin(3x－)
3．函数y＝cos(2x－)＋1的一个对称中心为( D )
A．(，0)
B．(，0)
C．(，1)
D．(，1)
4．要得到函数y＝cos2x的图象，只需将y＝cos(2x＋)的图象( B )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
[解析] 平移问题遵循“左加右减，只针对x而言”的原则．则y＝cos2x只需向左平移个单位即可．而y＝cos(2x＋)需右移个单位，得到y＝cos2x.
5．函数y＝sinωx(ω>0)在区间[0,1]上恰好有50个最大值，则ω的取值范围是__[，)__.
[解析] T＝为其最小正周期，则(49＋)T≤1<(50＋)T时，有50个最大值点，所以ω∈[，)．第五章 5.6
A组·素养自测
一、选择题
1．用“五点法”作函数y＝cos(4x－)在一个周期内的图象时，第四个关键点的坐标是( )
A．(，0)
B．(－，1)
C．(，1)
D．(－，0)
2．将函数y＝sinx的图象向左平移个单位，得到的图象的函数解析式是( )
A．y＝sin
B．y＝sinx－
C．y＝sin
D．y＝sinx＋
3．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则A，ω的值分别为( )
A．2,2
B．2,1
C．4,2
D．2,4
4．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值为( )
A．2
B．4
C．6
D．8
5．已知函数f(x)＝sinx(a>0)的图象上的一个最大值点恰在圆x2＋y2＝a2上，则f(x)的最小正周期是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题
6．简谐振动s＝3sin，在t＝时的位移s＝___.初相φ＝____.
7．把函数y＝sin(x＋)图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位，所得函数的解析式为__.
8．函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π，且函数图象关于点(－，0)对称，则函数的解析式为____.
三、解答题
9．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图象如图，求该函数的一个解析式．
10．已知函数y＝3sin(x－)．
(1)用“五点法”画函数的图象；
(2)说出此图象是由y＝sinx的图象经过怎样的变换得到的．
B组·素养提升
一、选择题
1．设函数f(x)＝2sin(x＋)．若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为( )
A．4
B．2
C．1
D．
2．某同学用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内简图时，列表如下：
ωx＋φ
0
π
2π
x
y
0
2
0
－2
0
则有( )
A．A＝2，ω＝，φ＝0
B．A＝2，ω＝3，φ＝
C．A＝2，ω＝3，φ＝－
D．A＝1，ω＝2，φ＝－
3．(多选题)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，将函数f(x)图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点P(0,1)，则函数f(x)＝sin(2x＋φ)( )
A．在区间[，]上单调递减
B．在区间[，]上单调递增
C．在区间[－，]上单调递减
D．在区间[－，－]上单调递增
4．(多选题)已知f(x)＝2cos(ωx＋)，x∈R，又f(x1)＝2，f(x2)＝0，且|x1－x2|的最小值是π，则ω的值为( )
A．－
B．
C．
D．－
二、填空题
5．将函数y＝cos2x的图象向左平移个单位，所得图象对应的解析式为____.
6．若将函数y＝sin(ωx＋)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝sin(ωx＋)的图象重合，则ω的最小值为___.
7．设函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈(－，))的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝对称，则在下面四个结论：①图象关于点(，0)对称；②图象关于点(，0)对称；③在[0，]上是增函数；④在[－，0]上是增函数中，所有正确结论的编号为____.
三、解答题
8．已知函数f(x)＝sin＋.
(1)求f(x)的振幅、最小正周期及单调增区间；
(2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心；
(3)求f(x)的最小值及取得最小值时的x的取值集合．
9．将函数f(x)＝4sin(ωx＋φ)(ω>0，－π<φ<π)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g(x)＝4sinx的图象．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)求函数f(x)在上的值域；
(3)求证：对任意λ>0，都存在μ>0，使f(x)＋x－4<0对x∈(－∞，λμ)恒成立．
第五章 5.6
A组·素养自测
一、选择题
1．用“五点法”作函数y＝cos(4x－)在一个周期内的图象时，第四个关键点的坐标是( A )
A．(，0)
B．(－，1)
C．(，1)
D．(－，0)
[解析] 令4x－＝，得x＝.∴该点坐标为(，0)．
2．将函数y＝sinx的图象向左平移个单位，得到的图象的函数解析式是( C )
A．y＝sin
B．y＝sinx－
C．y＝sin
D．y＝sinx＋
[解析] 函数y＝sinx的图象向左平移个单位，
得到y＝sin的图象．
3．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则A，ω的值分别为( A )
A．2,2
B．2,1
C．4,2
D．2,4
[解析] 由函数的图象可得A＝2，T＝－＝π，
∴ω＝＝2，故选A．
4．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值为( A )
A．2
B．4
C．6
D．8
[解析] 函数f(x)的周期T≤4＝π，
则≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2.
5．已知函数f(x)＝sinx(a>0)的图象上的一个最大值点恰在圆x2＋y2＝a2上，则f(x)的最小正周期是( D )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 当x＝，即x＝时，f(x)max＝.
把点(，)代入x2＋y2＝a2，
∵a>0，∴a＝4，f(x)＝sinx，则T＝4.
二、填空题
6．简谐振动s＝3sin，在t＝时的位移s＝____.初相φ＝____.
[解析] 当t＝时，s＝3sin＝3×＝.
7．把函数y＝sin(x＋)图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位，所得函数的解析式为__y＝－cos2x__.
[解析] 把函数y＝sin(x＋)图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，可得y＝sin(2x＋)的图象；再将图象向右平移个单位，可得y＝sin(2x－＋)＝sin(2x－)＝－cos2x的图象．
8．函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π，且函数图象关于点(－，0)对称，则函数的解析式为__y＝sin(2x＋)__.
[解析] 因为函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π，所以ω＝2；因为函数图象关于点(－，0)对称，
所以2(－)＋φ＝kπ(k∈Z)，解得φ＝kπ＋(k∈Z)，
由于0<φ<π，当取k＝0时，φ＝，
所以函数的解析式为y＝sin(2x＋)．
三、解答题
9．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图象如图，求该函数的一个解析式．
[解析] 方法一(最值点法)：由图象知函数的最大值为，最小值为－，又A>0，∴A＝.由图象知＝－＝，∴T＝π＝，∴ω＝2.
又(＋)＝，
∴图象上的最高点为(，)，∴＝sin(2×＋φ)，即sin(＋φ)＝1，可取φ＝－，
故函数的一个解析式为y＝sin(2x－)．
方法二(五点对应法)：由图象知A＝，又图象过点(，0)，(，0)，根据五点作图法原理(以上两点可判断为五点作图法中的第一点与第三点)得解得
故函数的一个解析式为y＝sin(2x－)．
10．已知函数y＝3sin(x－)．
(1)用“五点法”画函数的图象；
(2)说出此图象是由y＝sinx的图象经过怎样的变换得到的．
[解析] (1)列表：
x－
0
π
2π
x
y
0
3
0
－3
0
描点：在坐标系中描出下列各点(，0)，(，3)，(，0)，(，－3)，(，0)．
连线：将所得五点用光滑的曲线连接起来，得到所求函数的图象，如图所示．
这样就得到了函数y＝3sin(x－)在一个周期内的图象，再将这部分图象向左或向右平移4kπ(k∈Z)个单位长度，得函数y＝3sin(x－)的图象．
(2)①把y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，得到y＝sin(x－)的图象；
②把y＝sin(x－)图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin(x－)的图象；
③将y＝sin(x－)的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin(x－)的图象．
B组·素养提升
一、选择题
1．设函数f(x)＝2sin(x＋)．若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为( B )
A．4
B．2
C．1
D．
[解析] f(x)的周期T＝4，|x1－x2|min＝＝2.
2．某同学用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内简图时，列表如下：
ωx＋φ
0
π
2π
x
y
0
2
0
－2
0
则有( C )
A．A＝2，ω＝，φ＝0
B．A＝2，ω＝3，φ＝
C．A＝2，ω＝3，φ＝－
D．A＝1，ω＝2，φ＝－
[解析] 由表格得A＝2，π－＝，
∴ω＝3.∴ωx＋φ＝3x＋φ.
当x＝时，3x＋φ＝＋φ＝0，∴φ＝－.
3．(多选题)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，将函数f(x)图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点P(0,1)，则函数f(x)＝sin(2x＋φ)( BD )
A．在区间[，]上单调递减
B．在区间[，]上单调递增
C．在区间[－，]上单调递减
D．在区间[－，－]上单调递增
[解析] 将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得y＝sin[2(x＋)＋φ]＝sin(2x＋＋φ)，函数y的图象过点P(0,1)，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z；所以φ＝－＋2kπ，k∈Z；因为－π<φ<0，所以φ＝－；所以函数f(x)＝sin(2x－)，令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z；解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；所以f(x)在[－π，－]，[－，]上单调递增．
4．(多选题)已知f(x)＝2cos(ωx＋)，x∈R，又f(x1)＝2，f(x2)＝0，且|x1－x2|的最小值是π，则ω的值为( AC )
A．－
B．
C．
D．－
[解析] 因为f(x)＝2cos(ωx＋)，x∈R，若f(x1)＝2，f(x2)＝0，且|x1－x2|的最小值是π，故＝π，即＝π，解得：ω＝±.
二、填空题
5．将函数y＝cos2x的图象向左平移个单位，所得图象对应的解析式为__y＝cos(2x＋)__.
6．若将函数y＝sin(ωx＋)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝sin(ωx＋)的图象重合，则ω的最小值为____.
[解析] y＝sin(ωx＋)的图象向右平移个单位后得到y＝sin[ω(x－)＋π]，即y＝sin(ωx＋π－π)，
故π－π＋2kπ＝(k∈Z)，
即π＝π＋2kπ，ω＝＋6k(k∈Z)，
∵ω>0，∴ω的最小值为.
7．设函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈(－，))的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝对称，则在下面四个结论：①图象关于点(，0)对称；②图象关于点(，0)对称；③在[0，]上是增函数；④在[－，0]上是增函数中，所有正确结论的编号为__②④__.
[解析] ∵T＝π，∴ω＝2.又2×＋φ＝kπ＋，∵φ＝kπ＋.∵φ∈(－，)，∴φ＝，∴y＝sin(2x＋)．由图象及性质可知②④正确．
三、解答题
8．已知函数f(x)＝sin＋.
(1)求f(x)的振幅、最小正周期及单调增区间；
(2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心；
(3)求f(x)的最小值及取得最小值时的x的取值集合．
[解析] (1)函数f(x)的振幅为，最小正周期T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，f(x)的单调增区间为(k∈Z)．
(2)令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
所以对称轴方程为x＝＋(k∈Z)；
令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，
所以对称中心为(k∈Z)．
(3)当sin＝－1，
即2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，
所以x＝－＋kπ(k∈Z)时，f(x)的最小值为，此时x的取值集合是.
9．将函数f(x)＝4sin(ωx＋φ)(ω>0，－π<φ<π)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g(x)＝4sinx的图象．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)求函数f(x)在上的值域；
(3)求证：对任意λ>0，都存在μ>0，使f(x)＋x－4<0对x∈(－∞，λμ)恒成立．
[解析] (1)∵将函数f(x)＝4sin(ωx＋φ)(ω>0，－π<φ<π)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g(x)＝4sinx＝4sin的图象，∴·ω＝1，且φ＝0，∴ω＝2，∴f(x)＝4sin2x.令2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
即函数f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.
(2)∵x∈，∴2x∈，∴sin2x∈，∴4sin2x∈[－2,4]，即f(x)在上的值域为[－2,4]．
(3)证明：不等式f(x)＋x－4<0，即f(x)<4－x，故函数f(x)的图象位于直线y＝4－x的下方．显然，当x≤0时，函数f(x)的图象位于直线y＝4－x的下方．当x∈时，f(x)单调递增，f＝2，显然f<4－，即函数f(x)的图象位于直线y＝4－x的下方．
综上可得，当x≤时，函数f(x)的图象位于直线y＝4－x的下方．
故对任意λ>0，都存在μ＝>0，使f(x)＋x－4<0对x∈(－∞，λμ)恒成立．
