第五章 5.5 5.5.1 第3课时
1．设角θ的终边过点(2,3)，则tan(θ－)＝( )
A．
B．－
C．5
D．－5
2.的值为( )
A．0
B．1
C．
D．2
3．若α、β∈(0，)且tanα＝，tanβ＝，则tan(α－β)( )
A．－
B．1
C．
D．
4．已知tanα＝4，tan(π－β)＝－3，则tan(α＋β)＝( )
A．
B．－
C．
D．－
5．若tanα＝，tan(α＋β)＝，则tanβ＝( )
A．
B．
C．
D．
第五章 5.5 5.5.1 第3课时
1．设角θ的终边过点(2,3)，则tan(θ－)＝( A )
A．
B．－
C．5
D．－5
[解析] 由于角θ的终边过点(2,3)，所以tanθ＝，
tan(θ－)＝＝＝.
2.的值为( B )
A．0
B．1
C．
D．2
[解析] 原式＝＝tan45°＝1.
3．若α、β∈(0，)且tanα＝，tanβ＝，则tan(α－β)( C )
A．－
B．1
C．
D．
[解析] tan(α－β)＝＝＝.
4．已知tanα＝4，tan(π－β)＝－3，则tan(α＋β)＝( B )
A．
B．－
C．
D．－
[解析] 由已知得tanα＝4，tanβ＝3，
∴tan(α＋β)＝
＝＝－.
5．若tanα＝，tan(α＋β)＝，则tanβ＝( A )
A．
B．
C．
D．
[解析] tan(α＋β)＝＝＝，解得tanβ＝.第五章 5.5 5.5.1 第3课时
A组·素养自测
一、选择题
1．已知＝2，则tan(α＋)的值是( )
A．2
B．－2
C．
D．－
2．已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanα·tanβ等于( )
A．2
B．1
C．
D．4
3．已知tan(α＋2β＋)＝，tan＝，那么tan等于( )
A．
B．
C．
D．
4．在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值是( )
A．－
B．
C．
D．－
5．在△ABC中，若0
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．形状不能确定
6．已知tanα、tanβ是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，则α＋β的值为( )
A．
B．－
C．或－
D．－或
二、填空题
7．设tanα，tanβ是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，则tan(α＋β)的值为____.
8．若tanα＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为___.
9．tan70°＋tan50°－tan50°tan70°＝___.
三、解答题
10．已知sinα＝－且α是第三象限角，求tan(α－)的值．
11．已知tan(＋α)＝，tan(β－)＝2，求：
(1)tan(α＋β－)；
(2)tan(α＋β)．
B组·素养提升
一、选择题
1．已知α∈(，)，tan(α－)＝－3，则sinα＝( )
A．
B．－
C．
D．±
2．(多选题)在△ABC中，∠C＝120°，tanA＋tanB＝，下列各式正确的是( )
A．A＋B＝2C
B．tan(A＋B)＝－
C．tanA＝tanB
D．cosB＝sinA
3．已知α＋β＝，且α、β满足(tanαtanβ＋2)＋2tanα＋3tanβ＝0，则tanα等于( )
A．－
B．
C．－
D．3
4．在△ABC中，若tanB＝，则这个三角形是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
二、填空题
5．已知tan＝，tan＝－，则tan＝___.
6．已知tan(α＋β)＝1，tan(α－β)＝7，则tan2β＝___.
7．(2019·江苏南通高三期末改编)在△ABC中，若sinAcosB＝3sinBcosA，B＝A－，则B＝____.
三、解答题
8．已知tanα，tanβ都是关于x的一元二次方程mx2＋(2m－3)x＋m－2＝0的两根，求tan(α＋β)的最小值．
9．是否存在锐角α和β，使得下列两式
(1)α＋2β＝π (2)tantanβ＝2－同时成立？
第五章 5.5 5.5.1 第3课时
A组·素养自测
一、选择题
1．已知＝2，则tan(α＋)的值是( C )
A．2
B．－2
C．
D．－
[解析] 由＝2，得tan(α＋)＝＝.
2．已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanα·tanβ等于( C )
A．2
B．1
C．
D．4
[解析] ∵tan(α＋β)＝，
∴tanα·tanβ＝1－＝1－＝，故选C．
3．已知tan(α＋2β＋)＝，tan＝，那么tan等于( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] tan＝tan
＝
＝＝，故选B．
4．在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值是( B )
A．－
B．
C．
D．－
[解析] 由tanA·tanB＝tanA＋tanB＋1，得
＝－1，即tan(A＋B)＝－1.
∵A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝，∴C＝，cosC＝.
5．在△ABC中，若0A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．形状不能确定
[解析] ∵0∴<1，∴cos(B＋C)>0，∴cosA<0，∴A为钝角．
6．已知tanα、tanβ是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，则α＋β的值为( B )
A．
B．－
C．或－
D．－或
[解析] 由韦达定理得
tanα＋tanβ＝－3，tanα·tanβ＝4，∴tanα<0，tanβ<0，
∴tan(α＋β)＝＝＝，
又－<α<，－<β<，且tanα<0，tanβ<0，
∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－.
二、填空题
7．设tanα，tanβ是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，则tan(α＋β)的值为__－2__.
[解析] 因为tanα，tanβ是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，所以tanα＋tanβ＝4，tanα·tanβ＝3，tan(α＋β)＝＝＝－2.
8．若tanα＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为____.
[解析] tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]
＝＝＝.
9．tan70°＋tan50°－tan50°tan70°＝__－__.
[解析] ∵tan70°＋tan50°＝tan120°(1－tan50°·tan70°)
＝－＋tan50°·tan70°
∴原式＝－＋tan50°·tan70°－tan50°·tan70°
＝－.
三、解答题
10．已知sinα＝－且α是第三象限角，求tan(α－)的值．
[解析] ∵sinα＝－且α是第三象限角，
∴cosα＝－＝－＝－.
∴tanα＝＝3.
∴tan(α－)＝＝＝.
11．已知tan(＋α)＝，tan(β－)＝2，求：
(1)tan(α＋β－)；
(2)tan(α＋β)．
[解析] (1)tan(α＋β－)＝tan[(α＋)＋(β－)]
＝
＝＝－.
(2)tan(α＋β)＝tan[(α＋β－)＋]
＝
＝＝2－3.
B组·素养提升
一、选择题
1．已知α∈(，)，tan(α－)＝－3，则sinα＝( A )
A．
B．－
C．
D．±
[解析] tanα＝tan[(α－)＋]
＝＝－，∵α∈(，)，
∴α∈(，π)，∴sinα＝＝，故选A．
2．(多选题)在△ABC中，∠C＝120°，tanA＋tanB＝，下列各式正确的是( CD )
A．A＋B＝2C
B．tan(A＋B)＝－
C．tanA＝tanB
D．cosB＝sinA
[解析] ∵∠C＝120°，∴∠A＋∠B＝60°，
∴2(A＋B)＝C，∴tan(A＋B)＝＝，∴A，B都错；
∵tanA＋tanB＝(1－tanA·tanB)＝，
∴tanA·tanB＝①，
又tanA＋tanB＝②，
由①②联立解得tanA＝tanB＝，所以cosB＝sinA，故C，D正确，故选CD．
3．已知α＋β＝，且α、β满足(tanαtanβ＋2)＋2tanα＋3tanβ＝0，则tanα等于( D )
A．－
B．
C．－
D．3
[解析] ∵(tanαtanβ＋2)＋2tanα＋3tanβ＝0，
∴tanαtanβ＋3(tanα＋tanβ)＝tanα－2①
∵tan(α＋β)＝＝，
∴3(tanα＋tanβ)＝(1－tanαtanβ)，②
将②代入①得＝tanα－2，∴tanα＝＋2＝3.
4．在△ABC中，若tanB＝，则这个三角形是( B )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
[解析] 因为△ABC中，A＋B＋C＝π，
所以tanB＝
＝＝，
即＝，
∴cos(B＋C)＝0，∴cos(π－A)＝0，∴cosA＝0，
∵0∴这个三角形为直角三角形，故选B．
二、填空题
5．已知tan＝，tan＝－，则tan＝____.
[解析] tan＝tan
＝＝.
6．已知tan(α＋β)＝1，tan(α－β)＝7，则tan2β＝__－__.
[解析] tan2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]
＝＝＝－.
7．(2019·江苏南通高三期末改编)在△ABC中，若sinAcosB＝3sinBcosA，B＝A－，则B＝____.
[解析] ∵sinAcosB＝3sinBcosA，∴tanA＝3tanB，
又B＝A－，
∴tanB＝tan(A－)＝，
即tanB＝，
∴3tan2B－2tanB＋1＝0，∴tanB＝，
又B为三角形的内角，∴B＝.
三、解答题
8．已知tanα，tanβ都是关于x的一元二次方程mx2＋(2m－3)x＋m－2＝0的两根，求tan(α＋β)的最小值．
[解析] 由题意得，
解得m≤且m≠0.
且tanα＋tanβ＝－，tanαtanβ＝.
∴tan(α＋β)＝＝＝－m.
又m≤且m≠0，
∴tan(α＋β)的最小值为－＝－.
9．是否存在锐角α和β，使得下列两式
(1)α＋2β＝π (2)tantanβ＝2－同时成立？
[解析] 存在φ＝，β＝，使(1)(2)同时成立．
假设存在符合题意的锐角α和β，
由(1)知：＋β＝，
∴tan(＋β)＝＝，
由(2)知tantanβ＝2－，∴tan＋tanβ＝3－，
∴tan，tanβ是方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个根，
得x1＝1，x2＝2－.
∵0<α<，则0∴tan≠1，即tan＝2－，tanβ＝1.
又∵0<β<，则β＝，代入(1)，得α＝，
∴存在锐角α＝，β＝，使(1)(2)同时成立．