第五章 5.7
1．已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
A．T＝6，φ＝
B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝
D．T＝6π，φ＝
2．某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8星等，最高亮度距离平均亮度0.2星等，则可近似地描述此星星亮度与时间之间关系的一个三角函数可以是下列中的( )
A．y＝0.2sin10t＋3.8
B．y＝3.8sint＋0.2
C．y＝0.2sin(t＋φ)＋3.8
D．y＝3.8sin10t＋0.2
3．某人的血压满足函数式f(t)＝24sin(160πt)＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )
A．60
B．70
C．80
D．90
4.如图某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.
(1)这一天的最大用电量为__50__万度，最小用电量为__30__万度；
(2)这段曲线的函数解析式为__y＝10sin(x＋)＋40，x∈[8,14]__.
第五章 5.7
1．已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( A )
A．T＝6，φ＝
B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝
D．T＝6π，φ＝
[解析] T＝＝6.由图象过(0,1)点得sinφ＝.
∵－<φ<，∴φ＝.
2．某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8星等，最高亮度距离平均亮度0.2星等，则可近似地描述此星星亮度与时间之间关系的一个三角函数可以是下列中的( C )
A．y＝0.2sin10t＋3.8
B．y＝3.8sint＋0.2
C．y＝0.2sin(t＋φ)＋3.8
D．y＝3.8sin10t＋0.2
[解析] 设所求函数为y＝Asin(ωt＋φ)＋b，
依题意得T＝10，ω＝，A＝0.2，b＝3.8，
所以解析式可以为y＝0.2sin(t＋φ)＋3.8，故选C．
3．某人的血压满足函数式f(t)＝24sin(160πt)＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为( C )
A．60
B．70
C．80
D．90
[解析] 由于ω＝160π，故函数的周期T＝＝，
所以f＝＝80，即每分钟心跳的次数为80.故选C．
4.如图某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.
(1)这一天的最大用电量为__50__万度，最小用电量为__30__万度；
(2)这段曲线的函数解析式为__y＝10sin(x＋)＋40，x∈[8,14]__.
[解析] 由图知，b＝40，A＝10，ω＝＝＝，
∴y＝10sin(x＋φ)＋40，
又x＝8时，y＝30，∴sin(＋φ)＝－1，∴φ＝.第五章 5.7
A组·素养自测
一、选择题
1．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置，经过周期后，乙点的位置将移至( )
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
2.如图所示是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是( )
A．该质点的振动周期为0.7
s
B．该质点的振幅为－5
cm
C．该质点在0.1
s和0.5
s时的振动速度最大
D．该质点在0.3
s和0.7
s时的位移为零
3．电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝s时，电流强度I为( )
A．5
A
B．2.5
A
C．2
A
D．－5
A
4．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是(，)，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( )
A．[0,1]
B．[1,7]
C．[7,12]
D．[0,1]和[7,12]
5．一根长l
cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系式是s＝3cos(t＋)，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1
s时，线长l等于( )
A．
B．
C．
D．
6．据市场调查，某种商品一年内每月出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低，为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝2sin(x－)＋7(1≤x≤12，x∈N
)
B．f(x)＝9sin(x－)(1≤x≤12，x∈N
)
C．f(x)＝2sinx＋7(1≤x≤12，x∈N
)
D．f(x)＝2sin(x＋)＋7(1≤x≤12，x∈N
)
二、填空题
7．某城市一年中12个月的平均气温与月份关系可近似用三角函数y＝a＋Acos[(x－6)](x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低为18
℃，则10月份的平均气温为____℃.
8.如图所示，弹簧下挂着的小球做上下振动．开始时小球在平衡位置上方2
cm处，然后小球向上运动，小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是4
cm，每经过π
s小球往复振动一次，则小球离开平衡位置的位移y与振动时间x的关系式可以是____.
三、解答题
9．如图，它表示电流I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，在一个周期内的图象．
(1)试根据图象写出y＝Asin(ωx＋φ)(|φ|<)的解析式；
(2)在任意一段秒的时间内，电流I既能取得最大值A，又能取得最小值－A吗？
10.如图为一个缆车示意图，缆车半径为4.8
m，圆上最低点与地面的距离为0.8
m,60
s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h.
(1)求h与θ间的函数解析式；
(2)设从OA开始转动，经过t
s后到达OB，求h与t之间的函数解析式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？
B组·素养提升
一、选择题
1．电流强度I(安培)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)的图象如图所示，则t为(秒)时的电流强度为( )
A．0
B．－5
C．10
D．－10
2.如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是( )
3．(多选题)如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是( )
A．该质点的运动周期为0.7
s
B．该质点的振幅为5
C．该质点在0.1
s和0.5
s时运动速度为零
D．该质点的运动周期为0.8
s
4.(多选题)如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(0<φ<π)，则下列说法正确的是( )
A．该函数的周期是16
B．该函数图象的一条对称轴时直线x＝14
C．该函数的解析式是y＝10sin(x＋)＋20(6≤x≤14)
D．这一天的函数关系式也适用于第二天
二、填空题
5．如图是相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(米)在某天从0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数关系式为____.
6．一个物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示：
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
y
－4.0
－2.8
0.0
2.8
4.0
2.8
0.0
－2.8
－4.0
则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间关系的一个三角函数为____.
三、解答题
7．已知某地一天4时～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4,16]．
(1)求该地区这一段时间内的最大温差；
(2)若有一种细菌在15
℃到25
℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？
第五章 5.7
A组·素养自测
一、选择题
1．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置，经过周期后，乙点的位置将移至( D )
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
[解析] 利用三角函数周期性的变化判断可知，选D．
2.如图所示是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是( D )
A．该质点的振动周期为0.7
s
B．该质点的振幅为－5
cm
C．该质点在0.1
s和0.5
s时的振动速度最大
D．该质点在0.3
s和0.7
s时的位移为零
3．电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝s时，电流强度I为( B )
A．5
A
B．2.5
A
C．2
A
D．－5
A
[解析] 将t＝代入I＝5sin
得I＝2.5
A．
4．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是(，)，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( D )
A．[0,1]
B．[1,7]
C．[7,12]
D．[0,1]和[7,12]
[解析] 由已知可得该函数的周期为T＝12，
ω＝＝，
又当t＝0时，A(，)，∴y＝sin(t＋)，t∈[0,12]，
可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．
5．一根长l
cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系式是s＝3cos(t＋)，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1
s时，线长l等于( D )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由函数的周期T＝1，可得＝1，求得l＝.
6．据市场调查，某种商品一年内每月出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低，为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为( A )
A．f(x)＝2sin(x－)＋7(1≤x≤12，x∈N
)
B．f(x)＝9sin(x－)(1≤x≤12，x∈N
)
C．f(x)＝2sinx＋7(1≤x≤12，x∈N
)
D．f(x)＝2sin(x＋)＋7(1≤x≤12，x∈N
)
[解析] 由题意得A＝＝2，b＝7.周期为＝2×(7－3)＝8，∴ω＝.当x＝3时，y＝9.
即2sin(＋φ)＋7＝9，∴sin(＋φ)＝1，
∴π＋φ＝＋2kπ(k∈Z)．
∵|φ|<，∴φ＝－.
∴f(x)＝2sin(x－)＋7(1≤x≤12，x∈N
)．
二、填空题
7．某城市一年中12个月的平均气温与月份关系可近似用三角函数y＝a＋Acos[(x－6)](x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低为18
℃，则10月份的平均气温为__20.5__℃.
8.如图所示，弹簧下挂着的小球做上下振动．开始时小球在平衡位置上方2
cm处，然后小球向上运动，小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是4
cm，每经过π
s小球往复振动一次，则小球离开平衡位置的位移y与振动时间x的关系式可以是__y＝4sin(x≥0)(答案不唯一)__.
[解析] 不妨设y＝Asin(ωx＋φ)．由题知A＝4，T＝π，所以ω＝＝2.当x＝0时，y＝2，且小球开始向上运动，所以有φ＝2kπ＋，k∈Z，不妨取φ＝，故所求关系式可以为y＝4sin(x≥0)．
三、解答题
9．如图，它表示电流I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，在一个周期内的图象．
(1)试根据图象写出y＝Asin(ωx＋φ)(|φ|<)的解析式；
(2)在任意一段秒的时间内，电流I既能取得最大值A，又能取得最小值－A吗？
[解析] (1)由题图知A＝，T＝2×(－)＝，
∴ω＝＝，所以I＝sin(t＋φ)，
又(，0)是该函数图象的第二零点，
∴×＋φ＝π，即φ＝，符合|φ|<，
∴I＝sin(t＋)．
(2)不能．因为由(1)有T＝>，所以不可能．
10.如图为一个缆车示意图，缆车半径为4.8
m，圆上最低点与地面的距离为0.8
m,60
s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h.
(1)求h与θ间的函数解析式；
(2)设从OA开始转动，经过t
s后到达OB，求h与t之间的函数解析式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？
[解析] (1)以圆心O为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－，
故B点坐标为(4.8cos(θ－)，4.8sin(θ－))．
所以h＝5.6＋4.8sin(θ－)．
(2)点A在圆上转动的角速度是，故t
s转过的弧度数为.所以h＝5.6＋4.8sin(t－)，t∈[0，＋∞)．
到达最高点时，h＝10.4
m.
由sin(t－)＝1，得t－＝＋2kπ，k∈N，所以tmin＝30(s)．
即缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒．
B组·素养提升
一、选择题
1．电流强度I(安培)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)的图象如图所示，则t为(秒)时的电流强度为( A )
A．0
B．－5
C．10
D．－10
[解析] 由图知，A＝10，函数的周期T＝2＝，
所以ω＝＝＝100π，将点代入I＝10sin(100πt＋φ)得φ＝，故函数解析式为I＝10sin，再将t＝代入函数解析式得I＝0.
2.如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是( C )
[解析] 由l＝αR可知α＝，结合圆的几何性质可知＝R·
sin，∴d＝2Rsin＝2Rsin.又R＝1，∴d＝2sin，故结合正弦函数的图象可知选C．
3．(多选题)如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是( BCD )
A．该质点的运动周期为0.7
s
B．该质点的振幅为5
C．该质点在0.1
s和0.5
s时运动速度为零
D．该质点的运动周期为0.8
s
[解析] 由题图可知，振动周期为2×(0.7－0.3)＝0.8
s，故A错，D正确；该质点的振幅为5，B正确；由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3
s和0.7
s时运动速度最大，在0.1
s和0.5
s时运动速度为零，故C正确．综上，BCD正确．
4.(多选题)如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(0<φ<π)，则下列说法正确的是( AB )
A．该函数的周期是16
B．该函数图象的一条对称轴时直线x＝14
C．该函数的解析式是y＝10sin(x＋)＋20(6≤x≤14)
D．这一天的函数关系式也适用于第二天
[解析] 由题意以及函数的图象可知，A＋B＝30，－A＋B＝10，∴A＝10，B＝20.
∵＝14－6，∴T＝16，A正确；∵T＝，
∴ω＝，∴y＝10sin(x＋φ)＋20.
∵图象经过点(14,30)，
∴30＝10sin(×14＋φ)＋20，
∴sin(×14＋φ)＝1，
∴φ可以取，∴y＝10sin(x＋)＋20(0≤x≤24)，B正确，C错；这一天的函数关系式只适用于当天，第二天这个关系式不一定适用，∴D错．综上，AB正确．
二、填空题
5．如图是相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(米)在某天从0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数关系式为__h＝－6sint__.
6．一个物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示：
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
y
－4.0
－2.8
0.0
2.8
4.0
2.8
0.0
－2.8
－4.0
则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间关系的一个三角函数为__y＝4sin，t∈[0，＋∞)(答案不唯一)__.
[解析] 设y＝Asin(ωt＋φ)＋b，则A＝＝＝4.0，b＝＝0，ω＝＝＝，所以y＝4sin，将(0.4,4.0)代入上式，得φ＝－＋2kπ，k∈Z，取φ＝－，从而可知y＝4sin，t∈[0，＋∞)．
三、解答题
7．已知某地一天4时～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4,16]．
(1)求该地区这一段时间内的最大温差；
(2)若有一种细菌在15
℃到25
℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？
[解析] (1)由函数解析式易知，当x＝14时，函数取得最大值30，即最高温度为30
℃，当x＝6时，函数取得最小值10，即最低温度为10
℃，所以最大温差为20
℃.
(2)令10sin＋20＝15，得sin＝－，
而x∈[4,16]，所以x＝.
令10sin＋20＝25，得sin＝，
而x∈[4,16]，所以x＝.
故该细菌能存活的最长时间为－＝(h)．
