2021-2022学年北师大版九年级数学上册1.3.1正方形的性质同步练习题（Word版，附答案）

第一章　特殊平行四边形 1.3.1 正方形的性质
如图，已知四边形ABCD是矩形，则添加下列哪一个条件可使得四边形ABCD是正方形( )
A．AC＝BD　　B．AB＝BC　　C．AB⊥BC　　D．AD＝BC
2．如图，E是正方形ABCD内一点，如果△ABE为等边三角形，那么∠DCE等于( )
A．35° B．25° C．20° D．15°
3．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
4．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为( )
A．45° B．55° C．60° D．75°
5．若正方形的对角线长为2cm，则它的面积为( )
A．2cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．7cm2
6．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别为1和2，则正方形的边长是( )
A．3 B．4 C． D．5
7．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变．当∠B＝90°时，如图①，测得AC＝2；当∠B＝60°时，如图②，AC等于( )
A.　　B．2　　C.　　D．2
8．如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是( )
A．7 B．8 C．7 D．7
9. 正方形是轴对称图形，有 条对称轴．正方形的四个角都是 ，四条边都 ．
10．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，DE＝1，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，得△ABE′，连接EE′，则EE′的长等于　 　.
11．如图，菱形ABCD的面积为120 cm2，正方形AECF的面积为50 cm2，则菱
形的边长为 cm.
12．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为 .
如图，并排摆放两个正方形ABCD和FEBG，其中正方形FEBG的边长为3cm，则图中阴影部分的面积是　 　.
14．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE＝CF，连接AF、CE交于点G.求证：AG＝CG.
15．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC交于点G.
(1)求证：AE＝CF；
(2)若∠ABE＝55°，求∠EGC的大小．
16．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.
(1)求证：CE＝CF；
(2)若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？
17．如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G、E分别是边AB、BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.
(1)证明：∠BAE＝∠FEC；
(2)证明：△AGE≌△ECF；
(3)求△AEF的面积．
答案;
1-8 BDCAA CAC
9. 4 直角 相等
10. 2
11. 13
12. 6
13. cm2
14. 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADF＝∠CDE＝90°，AD＝CD，∵AE＝CF，∴DE＝DF，∴△ADF≌△CDE，∴∠DAF＝∠DCE，又∵∠AGE＝∠CGF，AE＝CF，∴△AGE≌△CGF，∴AG＝CG.
15. (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∵BE⊥BF，∴∠FBE＝90°，∵∠ABE＋∠EBC＝90°，∠CBF＋∠EBC＝90°，∴∠ABE＝∠CBF，∵BE＝BF，
∴△AEB≌△CFB(SAS)，∴AE＝CF；
(2)解：80°
16. (1)证明：在正方形ABCD中，∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，∴△CBE≌△CDF(SAS)．∴CE＝CF；
(2)解：GE＝BE＋GD成立．理由是：∵由(1)得△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF，∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，即∠ECF＝∠BCD＝90°，又∵∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°.∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，∴△ECG≌△FCG(SAS)．∴GE＝GF.∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD.
17. (1)证明：∵∠AEF＝90°，∴∠FEC＋∠AEB＝90°，在Rt△ABE中，∠AEB＋∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FEC；
(2)证明：∵G、E分别是正方形ABCD的边AB、BC的中点，∴AG＝GB＝BE＝EC，且∠AGE＝180°－45°＝135°.又∵CF是∠DCH的平分线，∴∠ECF＝90°＋45°＝135°.在△AGE和△ECF中，，∴△AGE≌△ECF；
(3)解：由△AGE≌△ECF，得AE＝EF.又∵∠AEF＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形．由AB＝a，BE＝a，知AE＝a，∴S△AEF＝·AE·EF＝·a·a＝a2.