10.2事件的相互独立性课件-2020-2021学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册(共18张PPT)

(共18张PPT)
10.2事件的相互独立性
安徽淮南第四中学
2021.6
考点
学习目标
核心素养
相互独立事件的概念
理解相互独立事件的概念及意义
数学抽象
相互独立事件同时发生的概率
能记住相互独立事件概率的乘法公式；能综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题
数学运算、
数学建模
温故知新
概率的基本性质
性质1
对任意的事件A，都有P(A)≥0；
性质2
必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即
P(Ω)=1，P(?)=0；
性质3
如果事件A和事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
性质4
事件A与事件B互为对立事件，那么P(A)＝1－P(B)，P(B)＝1－P(A)；
性质5
如果A?B，那么P(A)
≤
P(B)；
对于任意事件A，0≤
P(A)≤1；
性质6
设A，B是一个试验中的两个事件，我们有
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
我们知道，积事件AB就是事件A与事件B同时发生.
因此，积事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关.
那么，这种关系会是怎样的呢？
试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”；分别计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现?
用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为
Ω={(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)}，包含4个等可能的样本点，
A={(1,1)，(1,0)}，B={(1,0)，(0,0)}，所以AB={(1,0)}．
由古典概型概率计算公式，P(A)=P(B)=1/2，P(AB)=1/4，
于是
P(AB)=P(A)P(B)．
积事件AB的概率P(AB)等于P(A)，P(B)的乘积.
一、两个事件相互独立
设A，B两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相
互独立，简称独立．
对于两个事件A，B，
如果其中一个事件是否发生对另一个事件发生
的概率没有影响，就把它们叫做相互独立事件．
P(AB)=P(A)P(B)
事件A与B相互独立.
根据相互独立事件的定义，必然事件一定发生，不受任何事件是否
发生的影响；同样，不可能事件一定不会发生，不受任何事件是否发生
的影响，当然，他们也不影响其他事件的发生．
P(AΩ)=P(A)=P(A)P(Ω)，P(A?)=P(?)=P(A)P(?)成立．
因此，必然事件Ω、不可能事件?与任意事件相互独立．
若事件A与B相互独立，
那么它们的对立事件是否也相互独立？
分别验证
是否独立？
A
B
B=AB∪?AB
?A=?A?B∪?AB
例1
.一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异．采用不放回方式从袋中依次任意摸出两球．设A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”，那么事件A与B是否独立？
样本空间
Ω={(m,n)|m,n∈{1，2，3，4}，m≠n}，包含12个等可能样本点，
A={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)}，
B={(1,2)，(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，
所以AB={(1,2)，(2,1)}．所以
P(A)=P(B)=6/12=1/2，P(AB)=2/12=1/6，
此时
P(AB)≠P(A)P(B)，因此事件A与B不独立．
例2.
甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：
(1)两人都中靶；
(2)恰好有一人中靶；
(3)两人都脱靶；
(4)至少有一人中靶．
解：设A=“甲中靶”,
B=
“乙中靶”,
?A=“甲脱靶”,
?B=
“乙脱靶”,
由于
甲、乙射击互不影响，∴A与B相互独立，∴?A与B
，A与?B，?A与?B也相互独立，
由已知得P(A)=0.8，P(B)=0.9，P(?A)=0.2，P(?B)=0.1.
(1)
AB
=
“两人都中靶”，由事件独立性的定义，得
P(AB)
=P(A)P(B)
=0.8×0.9=0.72.
(2)“恰好有一人中靶”
=A?B∪?AB,
且A?B与?AB互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，得
P(A?B∪?AB)
=P(A?B)＋P(?AB)
=P(A)P(?B)＋P(?A)P(B)
=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26.
(3)事件“两人都脱靶”
=?A?B，所以
P(?A?B)
=P(?A)P(?B)=(1－0.8)
×
(1－0.9)
=0.02.
(4)方法1：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶"，根据对立事件的性质得，事件“至少有一人中靶”的概率为
1－P(?A?B)
=1－0.02
=0.
98.
1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤：
(1)首先确定各事件之间是相互独立的；
(2)确定这些事件可以同时发生；
(3)求出每个事件的概率，再求积．
2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生．　
例3.
甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语,
已知甲每轮猜对的概率为
，乙每轮猜对的概率为
.
在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.
求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.
3
4
2
3
分析：两轮活动猜对3个成语，相当于事件“甲猜对1个，乙猜对2个”、事件“甲猜对2个,
乙猜对1个”的和事件发生.
解：设A1
,
A2分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，B1
,
B2分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件.根据独立性假定，得
P(A1)=2×
×
=
1
4
3
4
3
8
P(A2)=(
)2=
，
3
4
9
16
P(B1)=2×
×
=
；
P(B2)=(
)2=
.
1
3
2
3
2
3
4
9
4
9
设A=“两轮活动'星队'猜对3个成语”，则
A=A1B2
∪A2B1，且A1B2与A2B1互斥，
所以
P(A)
=
P(A1B2)＋P(A2B1)
；
P(A)
=
P(A1)P(B2)＋P(A2)P(B1)
=
×
＋
×
=
3
8
4
9
4
9
9
16
5
12
1.假定一个家庭中有两个或三个小孩，生男孩和生女孩是等可能的，令A＝“一个家庭中既有男孩又有女孩”，B＝“一个家庭中最多有一个女孩”．对下述两种情形，判断A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩．
(2)家庭中有三个小孩．
(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个样本点，由等可能性知概率都为
这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}，
此时P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A与事件B不独立．
(2)有三个小孩的家庭，男孩、女孩的所有可能情形Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．
这时A中含有6个样本点，B中含有4个样本点，AB中含有3个样本点．
从而事件A与事件B相互独立．
2.面对非洲埃博拉病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A、B、C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是
、
、
，求：(1)他们都研制出疫苗的概率；
(2)他们都失败的概率；
(3)他们能够研制出疫苗的概率．
1
5
1
4
1
3
令事件A、B、C分别表示A、B、C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A、B、C相互独立，
(1)他们都研制出疫苗，即事件ABC同时发生，故
(2)他们都失败即事件?A、?B、?C同时发生．
P(?A?B?C)＝P(?A)P(?B)P(?C)＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]
(3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率
1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)首先确定各事件之间是相互独立的；
(2)确定这些事件可以同时发生；
(3)求出每个事件的概率，再求积．
2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件——各个事件是相互独立的，而且它们同时发生．
3．有三种产品，合格率分别为0.9,0.85,0.85，各抽取一件进行检验，求：
(1)恰有一件不合格品的概率；
(2)至少有两件不合格品的概率．
记“三种产品各抽取一件，抽取的是合格产品”的事件分别为A、B、C，P(A)＝0.9，P(B)＝0.85，P(C)＝0.85.
(1)“恰有一件不合格品”的事件有?ABC，A?BC，AB?C三种情况，其概率为
P＝P(?ABC＋A?BC＋AB?C)
＝P(?ABC)＋P(A?BC)＋P(AB?C)
＝P(?A)·P(B)·P(C)＋P(A)·P(?B)·P(C)＋P(A)·P(B)·P(?C)
＝0.1×0.85×0.85＋0.9×0.15×0.85＋0.9×0.85×0.15≈0.302.
(2)至少有两件不合格品的概率为
P＝P(?A?B?C＋?A?BC＋?AB?C＋A?B?C)
＝(1－0.9)×(1－0.85)×(1－0.85)＋2×(1－0.9)(1－0.85)×0.85＋0.9×0.15×0.15＝0.048.