(共19张PPT)
整式乘法的基本运算
人教版
八年级上
第十四章
整式的乘法与因式分解
14.1.9
目标一 同底数幂的除法
C
D
1
2
3
4
5
D
D
6
7
8
10
D
C
答
案
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9
D
11
A
D
12
D
13
答
案
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1
【2020·安徽】计算(－a)6÷a3的结果是( )
A．－a3
B．－a2
C．a3
D．a2
C
【2020·扬州】下列各式中，计算结果为m6的是( )
A．m2·m3
B．m3＋m3
C．m12÷m2
D．(m2)3
D
2
计算16m÷4n÷2等于( )
A．2m－n－1
B．22m－n－1
C．23m－2n－1
D．24m－2n－1
3
D
【点拨】16m÷4n÷2＝(24)m÷(22)n÷2＝24m÷22n÷2＝24m－2n－1.
【2020·河北】墨迹覆盖了等式“x3●x＝x2(x≠0)”中的运算符号，则覆盖的是( )
A．＋
B．－
C．×
D．÷
4
D
若m·23＝26，则m等于( )
A．2
B．4
C．6
D．8
D
5
6
D
【2020·乐山改编】已知3m＝6，32m－4n＝4.若9n＝x，则x的值为( )
A．8
B．4
C．3
D．2
7
C
【点拨】因为3m＝6，所以32m＝(3m)2＝36.所以32m÷32m－4n＝34n＝9.
因为34n＝(32)2n＝92n＝(9n)2＝x2＝9，所以x＝3(由题意知x＞0)．
【2019·福建】计算22＋(－1)0的结果是( )
A．5
B．4
C．3
D．2
8
A
9
若(a－2)0＝1，则a的取值范围是( )
A．a>2
B．a＝2
C．a<2
D．a≠2
D
如果等式(2a－1)a＋2＝1成立，那么a的值可能有( )
A．4个
B．1个
C．2个
D．3个
10
D
【点拨】a＋2＝0时，a＝－2，2a－1＝－5≠0；
a＝0时，2a－1＝－1，a＋2＝2，(2a－1)a＋2＝(－1)2＝1；
a＝1时，2a－1＝1，a＋2＝3，(2a－1)a＋2＝13＝1.
11
计算：
(1)[(xn＋1)4·x2]÷[(xn＋2)3÷(x2)n]；
?
＝x4n＋4＋2÷(x3n＋6÷x2n)
＝x4n＋6÷xn＋6
＝x3n.
(2)
(a·am＋1)2－(a2)m＋3÷a2；
＝a2m＋4－a2m＋6÷a2
＝a2m＋4－a2m＋4
＝0.
(3)(3a2)2－a2·2a2＋(－2a3)2÷a2.
＝9a4－2a4＋4a6÷a2
＝9a4－2a4＋4a4
＝11a4.
12
已知3a＝4，3b＝10，3c＝25.
(1)求32a的值；
解：32a＝(3a)2＝42＝16.
(2)求3c－b＋a的值；
(3)试说明：2b＝a＋c.
解：3c－b＋a＝3c÷3b·3a＝25÷10×4＝10.
因为32b＝(3b)2＝102＝100，
3a＋c＝3a×3c＝4×25＝100，
所以32b＝3a＋c.
所以2b＝a＋c.
13
已知53x＋1÷5x－1＝252x－3，求x的值．
解：由已知得52x＋2＝54x－6，
所以2x＋2＝4x－6.
所以x＝4.(共16张PPT)
同底数幂的乘法
课题2
人教版
八年级上
第十四章
整式的乘法与因式分解
14.1.1
C
B
1
2
3
4
5
C
D
6
7
8
10
C
A
答
案
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9
A
11
A
A
12
1
下列各组中的两个式子是同底数幂的是( )
A．23与32
B．a3与(－a)3
C．(m－n)5与(m－n)6
D．(a－b)2与(b－a)3
C
下列各式能用同底数幂的乘法法则进行计算的是( )
A．(x＋y)2·(x－y)3
B．(－x－y)·(x＋y)2
C．(x＋y)2＋(x＋y)3
D．－(x－y)2·(－x－y)3
B
2
【2020·重庆B】计算a·a2结果正确的是( )
A．a
B．a2
C．a3
D．a4
3
C
【2020·雅安】下列式子运算正确的是( )
A．2x＋3x＝5x2
B．－(x＋y)＝x－y
C．x2·x3＝x5
D．x4＋x＝x4
4
C
D
5
x3m＋3可以写成( )
A．3xm＋1
B．x3m＋x3
C．x3·xm＋1
D．x3m·x3
计算(－2)2
023＋(－2)2
022的结果是( )
A．－22
022
B．22
022
C．－22
023
D．22
023
6
A
【点拨】因为m为偶数，所以(a－b)m＝(b－a)m.
所以(a－b)m·(b－a)n＝(b－a)m·(b－a)n＝(b－a)m＋n.
总结：当n为偶数时，(a－b)n＝(b－a)n；当n为奇数时，
(a－b)n＝－(b－a)n.
若m为偶数，则(a－b)m·(b－a)n与(b－a)m＋n的结果( )
A．相等
B．互为相反数
C．不相等也不互为相反数
D．以上说法都不对
7
A
【2020·河南】电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1
GB＝210
MB，1
MB＝210
KB，1
KB＝210
B．某视频文件的大小约为1
GB，1
GB等于( )
A．230
B
B．830
B
C．8×1010
B
D．2×1030
B
8
A
【点拨】1
GB＝210×210×210＝230
B.
9
【2020·云南】按一定规律排列的单项式：a，－2a，4a，－8a，16a，－32a，….第n(n为正整数)个单项式是( )
A．(－2)n－1a
B．(－2)na
C．2n－1a
D．2na
A
10
－(a－b)9
计算：(a－b)3·(b－a)·(a－b)5＝______________.
【点拨】本题易错算成原式＝(a－b)3＋1＋5＝(a－b)9.
11
(1)已知a3·am·a2m＋1＝a25，求m的值．
解：因为a3·am·a2m＋1＝a25，
所以a3＋m＋2m＋1＝a25.
所以3＋m＋2m＋1＝25，
解得m＝7.
(2)已知xm－n·x2n＋1＝x11，ym－1·y5－n＝y6，求mn2的值．
解：由题意得m－n＋2n＋1＝11，m－1＋5－n＝6，解得m＝6，n＝4.
所以mn2＝6×42＝96.
12
(1)【2019·潍坊】若2x＝3，2y＝5，则2x＋y＝____．
(2)已知ax＝5，ax＋y＝25，求ax＋ay的值．
15
解：因为ax＋y＝25，
所以ax·ay＝25.
又因为ax＝5，
所以ay＝5.
所以ax＋ay＝5＋5＝10.
(3)已知x2a＋b·x3a－b·xa＝x12，求－a100＋2101的值．
解：因为x2a＋b·x3a－b·xa＝x2a＋b＋3a－b＋a＝x12，
所以2a＋b＋3a－b＋a＝12，
解得a＝2.
当a＝2时，－a100＋2101＝－2100＋2101＝－1×2100＋2100×2＝2100×(－1＋2)＝2100.(共20张PPT)
公式法——平方差公式
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八年级上
第十四章
整式的乘法与因式分解
14.3.3
目标一 完全平方公式
D
A
1
2
3
4
5
a(b－1)2
C
6
7
8
10
4x4
(答案不唯一)
答
案
呈
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9
C
D
11
A
C
12
1
【中考·龙岩】下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A．x2＋x＋1
B．x2＋2x－1
C．x2－1
D．x2－6x＋9
D
已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于( )
A．64
B．48
C．32
D．16
A
2
给多项式x8＋4加上一个单项式，使其成为一个完全平方式，则加上的单项式是__________________(写出一个即可)．
3
4x4(答案不唯一)
【2020·无锡】因式分解：ab2－2ab＋a＝_____________.
4
a(b－1)2
把2xy－x2－y2分解因式，结果正确的是( )
A．(x－y)2
B．(－x－y)2
C．－(x－y)2
D．－(x＋y)2
C
5
把多项式(a＋b)2－4(a2－b2)＋4(a－b)2分解因式的结果为( )
A．(3a－b)2
B．(3b＋a)2
C．(3b－a)2
D．(3a＋b)2
6
C
【2019·潍坊】下列因式分解正确的是( )
A．3ax2－6ax＝3(ax2－2ax)
B．x2＋y2＝(－x＋y)(－x－y)
C．a2＋2ab－4b2＝(a＋2b)2
D．－ax2＋2ax－a＝－a(x－1)2
D
7
8
A
9
C
10
把下列各式分解因式：
(1)(a2－4)2＋6(a2－4)＋9；
(2)
(x2＋16y2)2－64x2y2.
【点拨】对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法．四项式一般采用“二二”或“三一”分组，五项式一般采用“三二”分组，分组后再试用提公因式法、公式法继续分解，注意分解因式要彻底．
(1)(a2－4)2＋6(a2－4)＋9；
＝(a2－4＋3)2
＝(a2－1)2
＝(a＋1)2(a－1)2.
(2)
(x2＋16y2)2－64x2y2.
＝(x2＋16y2)2－(8xy)2
＝(x2＋16y2＋8xy)(x2＋16y2－8xy)
＝(x＋4y)2(x－4y)2.
11
【点拨】灵活运用完全平方公式分解因式，然后整体代入求值．
(2)已知x2－y2＝20，求[(x－y)2＋4xy][(x＋y)2－4xy]的值．
解：∵x2－y2＝20，
∴[(x－y)2＋4xy][(x＋y)2－4xy]
＝(x2＋2xy＋y2)(x2－2xy＋y2)
＝(x＋y)2(x－y)2
＝[(x＋y)(x－y)]2
＝(x2－y2)2
＝202＝400.
12
【2020·河北】有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和－16，如图所示．
如，第一次按键后，A，B两区分别显示：
(1)从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果．
解:A区显示的结果为25＋2a2，B区显示的结果为－16－6a.
(2)从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
解：这个和不能为负数．
理由：根据题意，得25＋4a2＋(－16－12a)＝25＋4a2－16－12a＝4a2－12a＋9＝(2a－3)2.
∵(2a－3)2≥0，
∴这个和不能为负数．(共31张PPT)
全章热门考点整合应用
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八年级上
第十四章
整式的乘法与因式分解
1
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答
案
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12
x≠－2
3
A
D
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17
18
19
答
案
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B
20
若(x＋2)0＝1，则x应满足的条件是________．
1
x≠－2
【2020·重庆】计算：(π－1)0＋|－2|＝________.
2
3
3
若x2＋5x＋c分解因式的结果为(x＋1)(x＋4)，则c的值为( )
A．4
B．3
C．－4
D．－3
A
计算：(－0.125)2
021×82
022.
4
＝(－0.125)2
021×82
021×8
＝(－0.125×8)2
021×8
＝－8.
已知10x＝5，10y＝6，求103x＋2y的值．
5
解：103x＋2y＝103x·102y＝(10x)3·(10y)2＝53×62＝4
500.
6
【点拨】去括号时要确定各项的符号，对于较复杂的运算一般先确定运算顺序，再按顺序进行运算．
【2019·眉山】下列运算正确的是( )
A．2x2y＋3xy＝5x3y2
B．(－2ab2)3＝－6a3b6
C．(3a＋b)2＝9a2＋b2
D．(3a＋b)(3a－b)＝9a2－b2
7
D
8
利用因式分解进行计算：
(1)3.14×512－3.14×492；
?
＝3.14×(512－492)
＝3.14×(51＋49)×(51－49)
＝3.14×100×2
＝628.
9
10
(2)已知a2＋2ab＋b2＝0，求a(a＋4b)－(a＋2b)(a－2b)的值．
解：原式＝a2＋4ab－(a2－4b2)
＝a2＋4ab－a2＋4b2
＝4ab＋4b2＝4b(a＋b)．
∵a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2＝0，
∴a＋b＝0.∴4b(a＋b)＝0.
∴a(a＋4b)－(a＋2b)(a－2b)＝0.
11
对于任意自然数n，(n＋7)2－(n－5)2是否能被24整除？
解：(n＋7)2－(n－5)2＝[(n＋7)＋(n－5)][(n＋7)－(n－5)]＝(n＋7＋n－5)(n＋7－n＋5)＝(2n＋2)×12＝24(n＋1)．
∵n为自然数，24(n＋1)中含有24这个因数，
∴(n＋7)2－(n－5)2能被24整除．
已知△ABC的三边长a，b，c满足a2－b2＝ac－bc，试判断△ABC的形状．
?
12
解：∵a2－b2＝ac－bc，∴(a－b)(a＋b)＝c(a－b)．
∴(a－b)(a＋b)－c(a－b)＝0.
∴(a－b)(a＋b－c)＝0.
∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴a＋b－c≠0.∴a－b＝0.∴a＝b.
∴△ABC为等腰三角形．
13
已知m，n满足(m＋n)2＝169，(m－n)2＝9，求m2＋n2－mn的值．
解：∵(m＋n)2＋(m－n)2＝m2＋2mn＋n2＋m2－2mn＋n2＝2(m2＋n2)，∴2(m2＋n2)＝169＋9＝178，∴m2＋n2＝89.
∵(m＋n)2－(m－n)2＝m2＋2mn＋n2－m2＋2mn－n2＝4mn，
∴4mn＝169－9＝160，∴mn＝40.
∴m2＋n2－mn＝89－40＝49.
分解因式：
(1)a2－ab＋ac－bc；
14
【点拨】按公因式分组，第一、二项有公因式a，第三、四项有公因式c，各自提取公因式后均剩下a－b；
＝a(a－b)＋c(a－b)
＝(a－b)(a＋c)．
(2)x3＋6x2－x－6.
【点拨】按系数特点分组，由系数特点知第一、三项为一组，第二、四项为一组．
＝(x3－x)＋(6x2－6)
＝x(x2－1)＋6(x2－1)
＝(x2－1)(x＋6)
＝(x＋1)(x－1)(x＋6)．
阅读下面的材料：
将一个多项式分解因式的方法有提公因式法、运用公式法、分组分解法，其实分解因式的方法还有拆项法，即将一个多项式的某一项拆成两项后可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2＋2x－3＝x2＋2x＋1－4＝(x＋1)2－22＝(x＋1＋2)(x＋1－2)＝(x＋3)(x－1)．
请你仿照以上方法，分解因式：
15
(1)x2－6x－7； (2)a2＋4ab－5b2.
＝x2－6x＋9－16
＝(x－3)2－42
＝(x－3＋4)(x－3－4)
＝(x＋1)(x－7)．
＝a2＋4ab＋4b2－9b2
＝(a＋2b)2－(3b)2
＝(a＋2b＋3b)(a＋2b－3b)
＝(a＋5b)(a－b)．
16
分解因式：(m2－2m－1)(m2－2m＋3)＋4.
解：令m2－2m＝y，则原式＝(y－1)(y＋3)＋4＝y2＋2y－3＋4＝y2＋2y＋1＝(y＋1)2.
将y＝m2－2m代入上式，则原式＝(m2－2m＋1)2＝(m－1)4.
(1)已知2m－1＝2，求3＋4m的值；
?
?
??(2)已知x－y＝7，xy＝10，求x2＋y2的值．
?
17
解：∵2m－1＝2，∴2m＝3.
∴3＋4m＝3＋(22)m＝3＋(2m)2＝3＋32＝12.
∵x2＋y2＝(x－y)2＋2xy，x－y＝7，xy＝10，
∴原式＝72＋2×10＝69.
【点拨】本题运用了整体思想，将2m，x－y，xy整体代入求出式子的值．
18
若2×8m×16m＝229，则m的值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
B
已知px2－60x＋25＝(qx－5)2，求p，q的值．
?
19
【点拨】若两个多项式相等，则对应项的系数相等．
解：(qx－5)2＝(qx)2－2×5×(qx)＋25＝q2x2－10qx＋25.
∵px2－60x＋25＝(qx－5)2，
∴px2－60x＋25＝q2x2－10qx＋25，
∴p＝q2，－60＝－10q，
解得q＝6，p＝36.
阅读材料：
①1的任何次幂都等于1；
②－1的奇数次幂都等于－1；
③－1的偶数次幂都等于1；
④任何不等于零的数的零次幂都等于1.
试根据以上材料探索使等式(2x＋3)x＋2
023＝1成立的x
的值．
20
【点拨】本题探索使等式成立的x的值时，运用了分类讨论思想，在讨论时要考虑周全．
解：(1)当2x＋3＝1时，x＝－1；
(2)当2x＋3＝－1时，x＝－2，但是指数x＋2
023＝2
021为奇数，故舍去；
(3)当x＋2
023＝0时，x＝－2
023，且2×(－2
023)＋3≠0，所以符合题意．
综上所述，x的值为－1或－2
023.(共17张PPT)
整式乘法的基本运算
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八年级上
第十四章
整式的乘法与因式分解
14.1.8
1
2
3
4
5
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8
10
答
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9
1
计算：(a2)3·a3－(3a3)3＋(5a7)·a2.
＝a6·a3－27a9＋5a9
＝a9－27a9＋5a9
＝－21a9.
2
3
计算：2(x＋3)(x－4)－(2x－3)(x＋2)．
＝2(x2－x－12)－(2x2＋x－6)
＝2x2－2x－24－2x2－x＋6
＝－3x－18.
4
先化简，再求值：
(1)
【2019·宁波】(x－2)(x＋2)－x(x－1)，其中x＝3.
5
解：原式＝x2－4－x2＋x＝x－4.
当x＝3时，原式＝3－4＝－1.
解方程：(x－3)(x－2)＝(x＋9)(x＋1)＋4.
6
解不等式：45＋(－x)2＋6x(x＋3)>(－x)(2x－13)＋(－3x)2.
7
解：45＋x2＋6x2＋18x>－2x2＋13x＋9x2，
7x2＋18x＋45>7x2＋13x，
5x>－45，
x>－9.
(1)请先阅读下面解题过程，再做下面的题．
已知x2＋x－1＝0，求x3＋2x2＋3的值．
解：x3＋2x2＋3＝x3＋x2－x＋x2＋x＋3＝x(x2＋x－1)＋x2＋x－1＋4＝0＋0＋4＝4.
如果1＋x＋x2＋x3＝0，求x＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8的值．
8
【点拨】本题不易直接求出x的值，将待求式子转化为能直接利用条件式的式子，然后整体代入求值，给计算带来简便．
解：x＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＝x(1＋x＋x2＋x3)＋x5(1＋x＋x2＋x3)＝0.
(2)阅读下面解题过程．
已知x2y＝3，求2xy(x5y2－3x3y－4x)的值．
解：2xy(x5y2－3x3y－4x)＝2x6y3－6x4y2－8x2y＝2(x2y)3－6(x2y)2－8x2y＝2×33－6×32－8×3＝－24.
请你用上述方法解决问题：已知ab＝3，求(2a3b2－3a2b＋4a)·(－2b)的值．
解：(2a3b2－3a2b＋4a)·(－2b)
＝－4a3b3＋6a2b2－8ab
＝－4(ab)3＋6(ab)2－8ab
＝－4×33＋6×32－8×3
＝－108＋54－24
＝－78.
9
已知(x＋ay)(x＋by)＝x2－11xy＋6y2，求整式3(a＋b)－2ab的值．
解：因为(x＋ay)(x＋by)＝x2＋(a＋b)xy＋aby2＝x2－11xy＋6y2，
所以a＋b＝－11，ab＝6.
所以3(a＋b)－2ab＝3×(－11)－2×6＝－33－12＝－45.
10
已知(x3＋mx＋n)(x2－3x＋4)的展开式中不含x3和x2项．
(1)求m，n的值；
解：(x3＋mx＋n)(x2－3x＋4)＝x5－3x4＋(m＋4)x3＋(n－3m)x2＋(4m－3n)x＋4n.
根据展开式中不含x3和x2项，得m＋4＝0，n－3m＝0，
解得m＝－4，n＝－12.
(2)求(m＋n)(m2－mn＋n2)的值．
解：(m＋n)(m2－mn＋n2)＝m3－m2n＋mn2＋m2n－mn2＋n3＝m3＋n3.
当m＝－4，n＝－12时，原式＝(－4)3＋(－12)3＝－64－1
728＝－1
792. (共13张PPT)
完全平方公式
人教版
八年级上
第十四章
整式的乘法与因式分解
14.2.2
目标二 完全平方公式的应用
1
2
3
答
案
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1
＝(300－1)2
＝3002－2×300×1＋12
＝90
000－600＋1
＝89
401.
(3)1012＋992－98×102.
＝(100＋1)2＋(100－1)2－(100－2)(100＋2)
＝1002＋200＋1＋1002－200＋1－(1002－4)
＝1002＋6
＝10
006.
2
(2)若x2＋2y2－2xy＋2y＋1＝0，求x＋2y的值；
解：原等式即为(x－y)2＋(y＋1)2＝0，
所以y＝－1，x＝－1.
所以x＋2y＝－1＋2×(－1)＝－3.
(3)试说明不论x，y取什么实数，多项式x2＋y2－2x＋2y＋3的值总是正数；
解：x2＋y2－2x＋2y＋3
＝x2－2x＋1＋y2＋2y＋1＋1
＝(x－1)2＋(y＋1)2＋1.
因为(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，所以(x－1)2＋(y＋1)2＋1的最小值为1.所以不论x，y取什么实数，多项式x2＋y2－2x＋2y＋3的值总是正数．
(4)已知a，b，c是不等边三角形ABC的三边长，满足a2＋b2＝10a＋8b－41，且c是△ABC的最大边长，求c的取值范围．
解：因为a2＋b2＝10a＋8b－41，所以a2－10a＋25＋b2－8b＋16＝0.所以(a－5)2＋(b－4)2＝0.
所以a－5＝0，b－4＝0.所以a＝5，b＝4.
又因为c是△ABC的最大边长，
所以c的取值范围为5＜c＜9.
图a是一个长为2m，宽为2n(m＞n)的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图b的方式拼成一个正方形．
3
(1)按要求填空：
①图b中阴影部分正方形的边长等于________．
②请用两种不同的方法表示图b中阴影部分的面积．
方法1：____________________________________________
_____________________________________；
方法2：_________________________________________
__________________________________________________
________________.
m－n
阴影部分的面积等于边长为m－n的小正方形
的面积，即(m－n)2
阴影部分的面积等于边长为m＋n的大正方形的
面积减去4个长为m，宽为n的小长方形的面积，即(m＋
n)2－4mn
③观察图b
，请写出(m＋n)2，(m－n)2，4mn这三个式子之间的等量关系：__________________________．
(m－n)2＝(m＋n)2－4mn
(2)根据(1)中的等量关系，解决下面的问题：
已知|m＋n－6|＋|mn－4|＝0，求(m－n)2的值．
解：因为|m＋n－6|＋|mn－4|＝0，
所以m＋n－6＝0，mn－4＝0.
所以m＋n＝6，mn＝4.
由(1)知(m－n)2＝(m＋n)2－4mn，
所以(m－n)2＝(m＋n)2－4mn＝62－4×4＝20，即(m－n)2＝20.(共20张PPT)
素养训练
因式分解的八种常见应用
课题2
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八年级上
第十四章
整式的乘法与因式分解
1
2
3
4
5
6
7
8
答
案
呈
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9
利用因式分解计算：
(1)1012＋492＋101×98；
1
＝1012＋2×101×49＋492
＝(101＋49)2
＝1502
＝22
500.
(2)8002－1
600×798＋7982.
＝(800－798)2
＝22
＝4.
2
(2)已知x－y＝1，xy＝2，求x3y－2x2y2＋xy3的值．
解：x3y－2x2y2＋xy3＝xy(x2－2xy＋y2)＝xy(x－y)2.
当x－y＝1，xy＝2时，原式＝2×12＝2.
当n为整数时，(n＋1)2－(n－1)2能被4整除吗？请说明理由．
3
解：能被4整除．理由如下：
(n＋1)2－(n－1)2
＝(n＋1＋n－1)(n＋1－n＋1)
＝4n，
∴当n为整数时，(n＋1)2－(n－1)2能被4整除．
先阅读下列材料，然后解题．
材料：因为(x－2)(x＋3)＝x2＋x－6，
所以(x2＋x－6)÷(x－2)＝x＋3，
即x2＋x－6能被x－2整除．
所以x－2是x2＋x－6的一个因式，且当x＝2时，
x2＋x－6＝0.
4
(1)类比思考：(x＋2)(x＋3)＝x2＋5x＋6，所以x2＋5x＋6能被____________整除，所以______________是x2＋5x＋6的一个因式，且当x＝__________时，x2＋5x＋6＝0；
(2)拓展探究：根据以上材料，已知多项式x2＋mx－14能被x＋2整除，试求m的值．
x＋2或x＋3
x＋2或x＋3
－2或－3
解：∵x2＋mx－14能被x＋2整除，
∴当x＝－2时，x2＋mx－14＝0.
∴(－2)2＋m×(－2)－14＝0，
解得m＝－5.
5
已知x，y是等腰三角形ABC的两边长，且满足4x2＋10y2－12xy－4y＋4＝0，求△ABC的周长．
?
解：由4x2＋10y2－12xy－4y＋4＝0可得4x2－12xy＋9y2＋y2－4y＋4＝0，即(2x－3y)2＋(y－2)2＝0，
所以2x－3y＝0，y－2＝0.所以x＝3，y＝2.
当x为底边长时，三角形的三边长分别为3，2，2，符合三边关系，所以周长为3＋2＋2＝7；当x为腰长时，三角形的三边长分别为3，3，2，符合三边关系，所以周长为3＋3＋2＝8.综上，△ABC的周长为7或8.
6
已知a，b，c为△ABC的三条边的长，且b2＋2ab＝c2＋2ac.
(1)试判断△ABC属于哪一类三角形；
解：∵b2＋2ab＝c2＋2ac，
∴(b2－c2)＋(2ab－2ac)＝0.
∴(b＋c)(b－c)＋2a(b－c)＝0.
∴(b－c)(b＋c＋2a)＝0.
∵b＋c＋2a＞0，
∴b－c＝0，即b＝c.
∴△ABC是等腰三角形．
(2)若a＝4，b＝3，求△ABC的周长．
解：由(1)可知b＝c＝3，
∴△ABC的周长为a＋b＋c＝4＋3＋3＝10.
7
解：P－Q＝(3x2＋4y＋15)－(2x2－y2＋6x－1)
＝x2－6x＋y2＋4y＋16
＝(x－3)2＋(y＋2)2＋3.
∵(x－3)2≥0，(y＋2)2≥0，
∴P－Q＝(x－3)2＋(y＋2)2＋3≥3.∴P＞Q.
已知P＝2x2＋4y＋13，Q＝x2－y2＋6x－1，比较P，Q的大小．
?
8
若a，b，c为三角形的三边长，求证：(a2＋b2－c2)2－4a2b2的值一定为负数．
?
证明：(a2＋b2－c2)2－4a2b2
＝(a2＋b2－c2)2－(2ab)2
＝(a2＋b2－c2＋2ab)(a2＋b2－c2－2ab)
＝[(a＋b)2－c2][(a－b)2－c2]
＝(a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b＋c)(a－b－c)．
∵a，b，c为三角形的三边长，
∴a＋b＋c＞0，a＋b－c＞0，a－b＋c＞0，a－b－c＜0.
∴(a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b＋c)(a－b－c)＜0，
即(a2＋b2－c2)2－4a2b2＜0.
故(a2＋b2－c2)2－4a2b2的值一定为负数．
9
观察下列各式：
12＋(1×2)2＋22＝9＝32，
22＋(2×3)2＋32＝49＝72，
32＋(3×4)2＋42＝169＝132，….
你发现了什么规律？请用含有字母n(n为正整数)的等式表示出来，并说明理由．
解：规律为n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2＝[n(n＋1)＋1]2.
理由如下：
n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2
＝[n(n＋1)]2＋2n2＋2n＋1
＝[n(n＋1)]2＋2n(n＋1)＋1
＝[n(n＋1)＋1]2.(共18张PPT)
整式乘法的基本运算
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第十四章
整式的乘法与因式分解
14.1.9
目标三 多项式除以单项式
A
A
1
2
3
4
5
B
C
6
7
8
10
B
答
案
呈
现
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9
D
C
B
11
1
A
计算(8a2b3－2a3b2＋ab)÷ab的结果是( )
A．8ab2－2a2b＋1
B．8ab2－2a2b
C．8a2b2－2a2b＋1
D．8ab－2a2b＋1
计算(－81xn＋5＋6xn＋3－3xn＋2)÷(－3xn－1)的结果等于( )
A．27x6－2x4＋x3
B．27x6＋2x4＋x
C．27x6－2x4－x3
D．27x4－2x2－x
A
2
3
B
长方形的面积是3a2－3ab＋6a，一边长是3a，则与其相邻的一边长是( )
A．2a－b＋2
B．a－b＋2
C．3a－b＋2
D．4a－b＋2
4
B
【点拨】因为长方形的面积是3a2－3ab＋6a，一边长是3a，所以与其相邻的一边长是(3a2－3ab＋6a)÷3a＝a－b＋2.
已知7x5y3与一个多项式之积是28x7y3＋98x6y5－21x5y5，则这个多项式是( )
A．4x2－3y2
B．4x2y－3xy2
C．4x2－3y2＋14xy2
D．4x2－3y2＋7xy3
5
C
【点拨】由7x5y3与一个多项式之积是28x7y3＋98x6y5－21x5y5，得这个多项式是(28x7y3＋98x6y5－21x5y5)÷7x5y3＝4x2＋14xy2－3y2.
【中考·玉林】下列运算正确的是( )
A．3a＋2a＝5a2
B．3a2－2a＝a
C．(－a)3·(－a2)＝－a5
D．(2a3b2－4ab4)÷(－2ab2)＝2b2－a2
D
6
【中考·河北】小明总结了以下结论：
①a(b＋c)＝ab＋ac；
②a(b－c)＝ab－ac；
③(b－c)÷a＝b÷a－c÷a(a≠0)；
④a÷(b＋c)＝a÷b＋a÷c(a≠0)．
其中一定成立的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
C
7
【点拨】①a(b＋c)＝ab＋ac，正确；
②a(b－c)＝ab－ac，正确；
③(b－c)÷a＝b÷a－c÷a(a≠0)，正确；
④a÷(b＋c)＝a÷b＋a÷c(a≠0)，错误．
故选C.
【2020·武汉】计算：[a3·a5＋(3a4)2]÷a2.
8
＝(a8＋9a8)÷a2
＝10a8÷a2
＝10a6.
9
B
【点拨】计算时要细心，不要弄错符号或者漏项．
A．(6x4－24x3)÷(－3x2)＝－2x2＋8x；
C．(4a2b3－2ab2)÷2ab2＝2ab－1；
D．(a4b5＋2a5b4)÷(－ab)4＝b＋2a．
10
老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如图：
(1)求所捂的多项式；
11
已知多项式x3－2x2＋ax－1除以bx－1，商式为x2－x＋2，余式为1.
(1)求a，b的值；
解：(bx－1)(x2－x＋2)＋1＝bx3－bx2＋2bx－x2＋x－2＋1＝bx3－(b＋1)x2＋(2b＋1)x－1.
根据题意，得x3－2x2＋ax－1＝bx3－(b＋1)x2＋(2b＋1)x－1，所以b＝1，－2＝－(b＋1)，a＝2b＋1.
所以a＝3，b＝1.
(2)求[(2a＋b)2－(2a＋b)(2a－b)]÷2b的值．
解：原式＝[4a2＋4ab＋b2－(4a2－b2)]÷2b＝(4ab＋2b2)÷2b＝2a＋b.
因为a＝3，b＝1，
所以原式＝2×3＋1＝7.(共18张PPT)
完全平方公式
人教版
八年级上
第十四章
整式的乘法与因式分解
14.2.2
目标一 认识完全平方公式
10或－10
B
1
2
3
4
5
B
C
6
7
8
10
A
答
案
呈
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9
C
D
C
11
1
若x2＋kx＋25＝(x±5)2，则k＝________．
10或－10
【2020·恩施州】下列计算正确的是( )
A．a2·a3＝a6 B．a(a＋1)＝a2＋a
C．(a－b)2＝a2－b2
D．2a＋3b＝5ab
B
2
下列变形中，错误的是( )
①(b－4c)2＝b2－16c2；
②(a－2bc)2＝a2＋4abc＋4b2c2；
③(x＋y)2＝x2＋xy＋y2；
④(4m－n)2＝16m2－8mn＋n2.
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
3
A
【2020·郴州】如图①，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分)，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图②所示的长方形．这两个图能解释下列哪个等式？( )
4
B
A．x2－2x＋1＝(x－1)2
B．x2－1＝(x＋1)(x－1)
C．x2＋2x＋1＝(x＋1)2
D．x2－x＝x(x－1)
【点拨】题图①的面积为x2－1，
题图②的面积为(x＋1)(x－1)，
所以x2－1＝(x＋1)(x－1)．
【中考·宜昌】化简(x－3)2－x(x－6)的结果为( )
A．6x－9
B．－12x＋9
C．9
D．3x＋9
C
5
若(a＋b)2＝(a－b)2＋A，则A为( )
A．2ab
B．－2ab
C．4ab
D．－4ab
6
C
若(y＋a)2＝y2－8y＋b，则a，b的值分别为( )
A．4，16
B．－4，－16
C．4，－16
D．－4，16
D
7
【点拨】∵(y＋a)2＝y2＋2ay＋a2＝y2－8y＋b，∴2a＝－8，a2＝b.
∴a＝－4，b＝16.
【中考·贵阳】下面是小颖化简整式的过程，仔细阅读后解答所提出的问题．
解：x(x＋2y)－(x＋1)2＋2x
＝x2＋2xy－x2＋2x＋1＋2x (第一步)
＝2xy＋4x＋1.
(第二步)
(1)小颖的化简过程从第______步开始出现错误；
(2)对此整式进行化简．
?
8
一
解：x(x＋2y)－(x＋1)2＋2x
＝x2＋2xy－x2－2x－1＋2x
＝2xy－1.
9
已知(a＋b)2＝25，ab＝6，则a－b等于( )
A．1
B．－1
C．1或－1
D．以上都不正确
C
【点拨】把(a＋b)2，ab分别看成一个整体，则(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝1，所以a－b＝1或a－b＝－1.本题不能确定a，b的大小关系，所以a－b可以为正，也可以为负．解题时容易错误地认为完全平方公式中的a－b(或a＋b)必须大于0，而漏掉a－b＝－1的情况．
10
(1)【2020·常州】先化简，再求值：(x＋1)2－x(x＋1)，其中x＝2.
解：原式＝x2＋2x＋1－x2－x＝x＋1.
当x＝2时，原式＝2＋1＝3.
(2)先化简，再求值：(x－1)(3x＋1)－(x＋2)2＋5，其中x2－3x－1＝0.
解：)原式＝3x2＋x－3x－1－x2－4x－4＋5＝2x2－6x.
因为x2－3x－1＝0，所以x2－3x＝1.
所以原式＝2(x2－3x)＝2×1＝2.
11
(2)若a＝2
020，b＝2
021，c＝2
022，你能很快求出a2＋b2＋c2－ab－bc－ac的值吗？试求出这个值．(共11张PPT)
素养训练
比较幂(含整式)的大小的八种技巧
课题2
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八年级上
第十四章
整式的乘法与因式分解
1
2
3
4
5
6
7
8
答
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已知a＝8131，b＝2741，c＝961，比较a，b，c的大小关系．
1
解：因为a＝8131＝(92)31＝[(32)2]31＝3124，
b＝2741＝(33)41＝3123，
c＝961＝(32)61＝3122，
所以a＞b＞c.
试比较35
555，44
444，53
333三个数的大小．
2
解：因为35
555＝35×1
111＝(35)1
111＝2431
111，
44
444＝44×1
111＝(44)1
111＝2561
111，
53
333＝53×1
111＝(53)1
111＝1251
111，
而125＜243＜256，
所以1251
111＜2431
111＜2561
111，
即53
333＜35
555＜44
444.
已知xa＝3，xb＝6，xc＝12，试比较a＋c与2b的大小．
3
阅读理解：若a3＝2，b5＝3，试比较a，b的大小关系．
解：∵a15＝(a3)5＝25＝32，b15＝(b5)3＝33＝27，而32>
27，∴a15>b15.∴a>b.
解答上述问题逆用了幂的乘方法则，请你类比以上做法，解决问题：若x5＝2，y3＝3，试比较x与y的大小．
4
解：∵x15＝(x5)3＝23＝8，y15＝(y3)5＝35＝243，而243＞8，∴y15＞x15.∴y＞x.
5
6
7
若m为任意实数，比较(m－5)(m＋1)与－4m－5的大小．
?
解：(m－5)(m＋1)＝m2－4m－5.
∵m2≥0，
∴m2－4m－5≥－4m－5，
即(m－5)(m＋1)≥－4m－5.
8
若x＝123
456
789×123
456
786，y＝123
456
788×
123
456
787，试比较x，y的大小．
解：设123
456
788＝a，
则x＝(a＋1)(a－2)＝a2－a－2，
y＝a(a－1)＝a2－a.
∵x－y＝(a2－a－2)－(a2－a)＝－2＜0，
∴x＜y.(共17张PPT)
平方差公式
人教版
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第十四章
整式的乘法与因式分解
14.2.1
目标一 认识平方差公式
B
A
1
2
3
4
5
C
B
6
7
8
10
C
答
案
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9
D
A
D
1
下列各式能用平方差公式计算的是( )
A．(x－3)(3－x)
B．(－2x－1)(－2x＋1)
C．(x－3)(2x＋3)
D．(－x－3)(x＋3)
B
4x2－5y需要下列哪个式子，才能用平方差公式进行计算？( )
A．4x2＋5y
B．－4x2＋5y
C．(4x2－5y)2
D．(4x2＋5y)2
A
2
乘积等于a2－b2的式子是( )
A．(a＋b)(－a＋b)
B．(－a－b)(a－b)
C．(－a＋b)(－a－b)
D．以上都不对
3
C
【2020·鄂州】下列运算正确的是( )
A．2x＋3x＝5x2
B．(－2x)3＝－6x3
C．2x3·3x2＝6x5
D．(3x＋2)(2－3x)＝9x2－4
4
C
【中考·孝感】下列计算正确的是( )
A．b3·b3＝2b3
B．(a＋2)(a－2)＝a2－4
C．(ab2)3＝ab6
D．(8a－7b)－(4a－5b)＝4a－12b
B
5
已知a＋b＝12，a－b＝10，则a2－b2的值是( )
A．22
B．30
C．60
D．120
6
D
若(－5a＋M)(4b＋N)＝16b2－25a2，则M，N分别为( )
A．4b，5a
B．－4b，5a
C．4b，－5a
D．－4b，－5a
A
7
【点拨】因为16b2－25a2＝(4b)2－(5a)2＝(4b＋5a)(4b－5a)，
所以M＝4b，N＝5a.
下列运算正确的是( )
A．(a－2b)(a－2b)＝a2－4b2
B．(－a＋2b)(a－2b)＝－a2＋4b2
C．(a＋2b)(－a＋2b)＝a2－4b2
D．(－a－2b)(－a＋2b)＝a2－4b2
8
D
【点拨】本题易错之处在于对平方差公式的左右结构特征没有认识清楚，从而导致选错．
9
计算：
(1)【2020·嘉兴】(a＋2)(a－2)－a(a＋1)；
＝a2－4－a2－a
＝－4－a.
(3)(x＋y)(x2＋y2)(x－y)．
＝(x2－y2)(x2＋y2)
＝x4－y4.
10
(2)已知a－b＝2，b－c＝2，a＋c＝14，求a2－b2的值；
解：由b－c＝2，得c＝b－2.
将c＝b－2代入a＋c＝14，得a＋b＝16.
所以a2－b2＝(a－b)(a＋b)＝2×16＝32.
(3)【2020·北京】已知5x2－x－1＝0，求式子(3x＋2)(3x－2)＋x(x－2)的值．
解：(3x＋2)(3x－2)＋x(x－2)＝9x2－4＋x2－2x＝10x2－2x－4.
因为5x2－x－1＝0，
所以5x2－x＝1.
故原式＝2(5x2－x)－4＝2×1－4＝－2.(共14张PPT)
提公因式法
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八年级上
第十四章
整式的乘法与因式分解
14.3.1
目标三 变形后提公因式法
D
B
1
2
3
4
5
(x－2)(x－1)
C
6
7
8
10
A
答
案
呈
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9
B
A
11
B
1
多项式4a2b(a－b)－6ab2(b－a)中，各项的公因式是( )
A．4ab
B．2ab
C．ab(a－b)
D．2ab(a－b)
D
观察下列各组式子：
①2a＋b和a＋b;
②5m(a－b)和－a＋b；
③3(a＋b)和－a－b;
④x2－y2和x2＋y2.
其中有公因式的是( )
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
B
2
(x＋y－z)(x－y＋z)与(y＋z－x)(z－x－y)的公因式是( )
A．x＋y－z
B．x－y＋z
C．y＋z－x
D．不存在
3
A
【点拨】∵(y＋z－x)(z－x－y)＝[－(x－y－z)]·[－(x＋y－z)]＝(x－y－z)(x＋y－z)，
∴(x＋y－z)(x－y＋z)与(y＋z－x)(z－x－y)的公因式是x＋y－z.
【2020·聊城】因式分解：x(x－2)－x＋2＝
_____________.
4
(x－2)(x－1)
多项式(x＋2)(2x－1)－(x＋2)可以因式分解成2(x＋m)(x＋n)，则m－n的值是( )
A．0
B．4
C．3或－3
D．1
C
5
【点拨】∵(x＋2)(2x－1)－(x＋2)＝(x＋2)(2x－1－1)＝2(x＋2)(x－1)，∴2(x＋m)(x＋n)＝2(x＋2)(x－1)．
∴m＝2，n＝－1或m＝－1，n＝2.
∴m－n＝±3.
△ABC的三边长分别为a，b，c，且a＋2ab＝c＋2bc，则△ABC是( )
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
6
B
若m－n＝－1，则(m－n)2－2m＋2n的值是( )
A．3
B．2
C．1
D．－1
A
7
【点拨】(m－n)2－2m＋2n＝(m－n)2－2(m－n)＝(m－n)(m－n－2)＝(－1)×(－1－2)＝3.
8
B
把－a(x－y)－b(y－x)＋c(x－y)分解因式，正确的结果是( )
A．(x－y)(－a－b＋c)
B．(y－x)(a－b－c)
C．－(x－y)(a＋b＋c)
D．－(y－x)(a＋b－c)
【点拨】本题易错之处在于提取公因式后没有注意符号变化．
9
分解因式：m2x－3m＋mnx－3n.
?
＝m(mx－3)＋n(mx－3)
＝(mx－3)(m＋n)．
10
已知a，b，c为△ABC的三边长，且a3－a2b＋5ac－5bc＝0，试判断△ABC的形状．
?
解：∵a3－a2b＋5ac－5bc＝0，
∴a2(a－b)＋5c(a－b)＝0.∴(a－b)(a2＋5c)＝0.
∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴a2＋5c≠0.∴a－b＝0.∴a＝b.
∴△ABC是等腰三角形．
11
先阅读下面分解因式的过程，再回答所提出的问题：
1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2
＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]
＝(1＋x)2(1＋x)
＝(1＋x)3.
(1)上述分解因式的方法是__________________，共应用了________次；
提公因式法
两
(2)若分解因式1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2
022，则需应用上述方法________次，结果是________；
(3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n(n为正整数)．
2
023
(1＋x)2
023
解：原式＝(1＋x)n＋1.(共14张PPT)
添括号
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八年级上
第十四章
整式的乘法与因式分解
14.2.3
D
D
1
2
3
4
5
C
6
7
D
答
案
呈
现
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1
下列各式添括号正确的是( )
A．－x＋y＝－(y－x)
B．x－y＝－(x＋y)
C．10－m＝5(2－m)
D．3－2a＝－(2a－3)
D
为了应用平方差公式计算(a－b＋c)(a＋b－c)，必须先适当变形，下列各变形中，正确的是( )
A．[(a＋c)－b][(a－c)＋b]
B．[(a－b)＋c][(a＋b)－c]
C．[(b＋c)－a][(b－c)＋a]
D．[a－(b－c)][a＋(b－c)]
D
2
下列添括号错误的是( )
A．a2－b2－b＋a＝a2－b2＋(a－b)
B．(a＋b＋c)(a－b－c)＝[a＋(b＋c)][a－(b＋c)]
C．a－b＋c－d＝(a－d)＋(c－b)
D．a－b＝－(b＋a)
3
D
为了应用平方差公式计算(x＋3y－1)(x－3y＋1)，下列变形正确的是( )
A．[x－(3y＋1)]2
B．[x＋(3y＋1)]2
C．[x＋(3y－1)]
[x－(3y－1)]
D．[(x－3y)＋1]
[(x－3y)－1]
4
C
在等号右边的横线上填上适当的项：
(1)a－b＋c－d＝a－(__________)；
(2)x＋2y－2＝－(__________)；
(3)a2－b2＋a－b＝(a2－b2)＋(__________)；
(4)a2－b2－a－b＝a2－a－(__________)．
b－c＋d
5
－x－2y＋2
a－b
b2＋b
【点拨】添括号时，如果括号前是负号，括号内各项都要变号，要牢记这一点．
计算：
(1)(x－y＋z)2；
6
解：(x－y＋z)2＝[(x－y)＋z]2＝(x－y)2＋2(x－y)z＋z2＝x2＋y2－2xy＋2xz－2yz＋z2；
(2)(a－2b－3c)2；
＝[(a－2b)－3c]2
＝(a－2b)2－2(a－2b)·3c＋(3c)2＝a2＋4b2－4ab－6ac＋12bc＋9c2；
(3)(2x－y＋4)(2x＋y－4)；
＝[2x－(y－4)][2x＋(y－4)]
＝(2x)2－(y－4)2＝4x2－(y2－8y＋16)
＝4x2－y2＋8y－16；
(4)(a＋2b－c)(a－2b－c)．
＝[(a－c)＋2b][(a－c)－2b]
＝(a－c)2－(2b)2
＝a2＋c2－2ac－4b2.
(1)设m＋n＝10，mn＝24，求m2＋n2和(m－n)2的值．
7
解：m2＋n2＝(m＋n)2－2mn，①
(m－n)2＝(m＋n)2－4mn.②
将m＋n＝10，mn＝24分别代入①②两式，
得m2＋n2＝102－2×24＝52，
(m－n)2＝102－4×24＝4.
(2)已知x－2y＝3，x2－2xy＋4y2＝13，求下列各式的值：
①xy；
?
解：因为x－2y＝3，所以(x－2y)2＝32，
即x2－4xy＋4y2＝9.
又因为x2－2xy＋4y2＝13，
两式相减，得2xy＝4，
所以xy＝2.
解：因为xy＝2，x－2y＝3，
所以x2y－2xy2＝xy(x－2y)＝2×3＝6.
②x2y－2xy2.(共20张PPT)
公式法——平方差公式
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八年级上
第十四章
整式的乘法与因式分解
14.3.2
(m＋5)(m－5)
C
1
2
3
4
5
A
A
6
7
8
10
C
答
案
呈
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9
C
A
11
A
1
【2020·温州】分解因式：m2－25＝_______________________________.
(m＋5)(m－5)
【2020·金华】下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是( )
A．a2＋b2
B．2a－b2
C．a2－b2
D．－a2－b2
C
2
【2019·无锡】分解因式4x2－y2的结果是( )
A．(4x＋y)(4x－y)
B．4(x＋y)(x－y)
C.
(2x＋y)(2x－y)
D．2(x＋y)(x－y)
3
C
对于任何整数m，多项式(4m＋5)2－9都能( )
A．被8整除
B．被m整除
C．被m－1整除
D．被2m－1整除
4
A
【点拨】(4m＋5)2－9＝(4m＋5＋3)(4m＋5－3)＝(4m＋8)(4m＋2)＝8(m＋2)(2m＋1)，
∴能被8整除．
若n为任意整数，(n＋11)2－n2的值总可以被k整除，则k等于( )
A．11
B．22
C．11或22
D．11的倍数
A
5
【2019·泸州】把2a2－8分解因式，结果正确的是( )
A．2(a2－4)
B．2(a－2)2
C．2(a＋2)(a－2)
D．2(a＋2)2
6
C
一次课堂练习，小颖同学做了以下几道因式分解题，你认为她做得不够完整的是( )
A．x3－x＝x(x2－1)
B．x2y－y3＝y(x＋y)(x－y)
C．－m2＋4n2＝(2n＋m)(2n－m)
D．3p2－27q2＝3(p＋3q)(p－3q)
A
7
8
A
9
分解因式：(2x－y)2－(4x＋3y)2＝___________________________.
－4(3x＋y)(x＋2y)
【点拨】原式＝[(2x－y)＋(4x＋3y)][(2x－y)－(4x＋3y)]＝(6x＋2y)(－2x－4y)＝－4(3x＋y)(x＋2y)．
本题易犯的错误是分解不彻底，要注意(6x＋2y)(－2x－4y)还能继续分解．
10
把下列各式分解因式：
?
(1)(3a－2b)2－(2a＋3b)2；
(2)x4－81y4；
(3)a4－9a2b2;
【点拨】本题的思路是有公因式的先提公因式，再用平方差公式分解因式，结果一定要分解彻底．
(5)【2020·齐齐哈尔】3a2－48；
(1)(3a－2b)2－(2a＋3b)2；
＝[(3a－2b)＋(2a＋3b)][(3a－2b)－(2a＋3b)]
＝(3a－2b＋2a＋3b)(3a－2b－2a－3b)
＝(5a＋b)(a－5b)．
(2)x4－81y4；
＝(x2＋9y2)(x2－9y2)
＝(x2＋9y2)(x＋3y)(x－3y)．
(3)a4－9a2b2;
＝a2(a2－9b2)
＝a2(a＋3b)(a－3b)．
(5)【2020·齐齐哈尔】3a2－48；
?
＝3(a2－16)
＝3(a＋4)(a－4)．
11
(1)已知x－2y＝3，2x＋4y＝5，求整式x2－4y2的值．
?
(2)已知|a－b－3|＋(a＋b－2)2＝0，求a2－b2的值．
解：∵|a－b－3|＋(a＋b－2)2＝0，
∴a－b－3＝0，a＋b－2＝0，
∴a－b＝3，a＋b＝2.
∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝2×3＝6.
(3)已知m，n互为相反数，且(m＋2)2－(n＋2)2＝4，求m，n的值．(共28张PPT)
素质品鉴
整式的乘除
课题2
集训课堂
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八年级上
第十四章
整式的乘法与因式分解
1
2
3
4
5
6
7
8
答
案
呈
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9
10
11
12
D
D
B
C
D
C
B
D
－2a2
a12
13
14
15
16
17
18
19
答
案
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计算a2·a4－4(a2)3的结果是( )
A．a6－2a5
B．－a6
C．a6－4a5
D．－3a6
1
D
【中考·南宁】下列运算正确的是( )
A．a(a＋1)＝a2＋1
B．(a2)3＝a5
C．3a2＋a＝4a3
D．a5÷a2＝a3
2
D
3
D
4
B
若3x＝a，3y＝b，则32x＋y等于( )
A．－a2b
B．a2b
C．2ab
D．a2＋b
任意给定一个非零数m，按下列程序计算：m→平方→－m→÷m→＋2→结果，最后输出的结果是( )
A．m
B．m2
C．m＋1
D．m－1
5
C
6
C
7
D
若(x2＋ax＋2)(x2＋3x－b)中不含x2和x3项，则a，b的值分别为( )
A．0，0
B．－3，－7
C．3，8
D．－3，1
B
8
9
－2a2
10
计算：2(a2)6－(－a3)4＝________.
a12
11
如果在计算(8a3b－5a2b2)÷4ab时把括号内的减号不小心抄成加号，那么正确结果和错误结果的差是________．
12
13
已知2x－3y－2＝0，则(10x)2÷(10y)3＝________．
100
观察(1)中的杨辉三角及(2)中的等式：
?
…
(1)
(a＋b)1＝a＋b
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
14
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4
…
(2)
根据(2)中各式的规律，得(a＋b)6＝____________________________________________．
a6＋6a5b＋15a4b2＋20a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6
15
(1)(a＋1)(a－1)－(a＋2)(a－3)．
＝a2－a＋a－1－
(a2－3a＋2a－6)
＝a2－1－a2＋a＋6
＝a＋5.
(2)(3x2y)2·(－15xy3)÷(－9x4y2)．
＝9x4y2·(－15xy3)÷(－9x4y2)
＝－135x5y5÷(－9x4y2)
＝15xy3.
16
(2)[2y(x－1)8－3y2(x－1)7＋4y3(x－1)6]÷[－3y(x－1)2]，其中x＝2，y＝－1.
(8分)解方程或不等式：
(1)(x－3)(x＋8)＝(x＋4)(x－7)＋2(x＋5)；
17
解：(x－3)(x＋8)＝(x＋4)(x－7)＋2(x＋5)，
x2＋5x－24＝x2－3x－28＋2x＋10，
5x＋3x－2x＝－28＋10＋24，
6x＝6，
x＝1.
(2)2x(x－4)>(x＋4)(x＋2)＋(x－3)(x＋6)．
18
(6分)求证：式子[(x－y)2－(x＋y)(x－y)]÷(－2y)＋y的值与y无关．
证明：原式＝(x2－2xy＋y2－x2＋xy－xy＋y2)÷(－2y)＋y＝x－y＋y＝x.
故此式子的值与y无关．
(10分)如图，某校有一块长为(3a＋b)m、宽为(2a＋b)m的长方形空地，中间是边长为(a＋b)m的正方形草坪，其余为活动场地，学校计划将活动场地(阴影部分)进行硬化．
(1)用含a，b的式子表示需要硬化的面积并化简；
19
解：需要硬化的面积为(3a＋b)·(2a＋b)－(a＋b)2＝6a2＋3ab＋2ab＋b2－(a2＋2ab＋b2)＝6a2＋3ab＋2ab＋b2－a2－2ab－b2＝5a2＋3ab(m2)．
(2)当a＝5，b＝2时，求需要硬化的面积．
解：当a＝5，b＝2时，5a2＋3ab＝5×25＋3×5×2＝155.
答：需要硬化的面积为155
m2.(共18张PPT)
多项式与多项式相乘
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第十四章
整式的乘法与因式分解
14.1.7
B
C
1
2
3
4
5
D
B
6
7
8
10
B
答
案
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9
C
B
A
1
【中考·武汉】计算(a－2)(a＋3)的结果是( )
A．a2－6
B．a2＋a－6
C．a2＋6
D．a2－a＋6
B
下列多项式相乘的结果为a2－3a－18的是( )
A．(a－2)(a＋9)
B．(a＋2)(a－9)
C．(a＋3)(a－6)
D．(a－3)(a＋6)
C
2
3
B
下列各式计算结果是m2－7m＋10的是( )
A．(m－2)(m＋5)
B．(m＋2)(m＋5)
C．(m＋2)(m－5)
D．(m－2)(m－5)
D
4
如图，长方形的长为a，宽为b，横、纵向阴影部分均为长方形，它们的宽都为c，则空白部分的面积是( )
A．ab－bc＋ac－c2
B．ab－bc－ac＋c2
C．ab－ac－bc
D．ab－ac－bc－c2
B
5
【中考·佛山】若(x＋2)(x－1)＝x2＋mx＋n，则m＋n的值为( )
A．1
B．－2
C．－1
D．2
6
C
已知m＋n＝2，mn＝－2，则(2－m)(2－n)的值为( )
A．2
B．－2
C．0
D．3
7
B
【点拨】(2－m)(2－n)＝4－2(m＋n)＋mn.因为m＋n＝2，mn＝－2，所以原式＝4－4－2＝－2.
若多项式(x2＋mx＋n)(x2－3x＋4)展开后不含x3和x2项，则m，n的值分别是( )
A．3，5
B．5，3
C．4，2
D．2，4
8
A
9
计算下列各式，然后回答问题：
(x＋3)(x＋4)＝_______________________；
(x＋3)(x－4)＝_________________________；
(x－3)(x＋4)＝_________________________；
(x－3)(x－4)＝_________________________.
x2＋7x＋12
x2－x－12
x2＋x－12
x2－7x＋12
(1)根据以上的计算总结出规律：
(x＋m)(x＋n)＝___________________________；
x2＋(m＋n)x＋mn
(2)运用(1)中的规律，直接写出下列各式的结果：
①(a＋1)(a＋4)；
②(x－1)(x＋3)；
?
＝a2＋5a＋4.
＝x2＋2x－3.
③(y＋5)(y－6)；
??
④(m－4)(m－5)．
＝y2－y－30.
＝m2－9m＋20.
10
在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：(2x＋a)(3x＋b)，甲由于抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为6x2＋11x－10；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为2x2－9x＋10.
(1)试求出式子中a，b的值；
解：由题意得(2x－a)(3x＋b)＝6x2＋(2b－3a)x－ab＝6x2＋11x－10，(2x＋a)(x＋b)＝2x2＋(a＋2b)x＋ab＝2x2－9x＋10，
所以2b－3a＝11，①
a＋2b＝－9.②
由②得2b＝－9－a，代入①得－9－a－3a＝11，所以a＝－5.
所以2b＝－4.
所以b＝－2.
(2)请你计算出这道整式乘法的正确结果．
解：由(1)得(2x＋a)(3x＋b)＝(2x－5)(3x－2)＝6x2－19x＋10.(共13张PPT)
单项式与单项式相乘
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八年级上
第十四章
整式的乘法与因式分解
14.1.5
C
C
1
2
3
4
5
A
C
6
7
8
10
D
答
案
呈
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9
B
1
【2020·台州】计算2a2·3a4的结果是( )
A．5a6
B．5a8
C．6a6
D．6a8
C
【2020·玉林改编】下列计算正确的是( )
A．8a－a＝7
B．a2＋a2＝2a4
C．2a·3a＝6a2
D．(a6)2＝a8
C
2
3
D
若(8×106)×(5×102)×(2×10)＝M×10a(1A．M＝8，a＝10
B．M＝8，a＝8
C．M＝2，a＝9
D．M＝5，a＝10
4
A
已知x3ym－1·xm＋ny2n＋2＝x9y9，则4m－3n等于( )
A．8
B．9
C．10
D．11
C
5
如果单项式－2xa－2by2a＋b与x3y8b是同类项，那么这两个单项式的积是( )
A．－2x6y16
B．－2x6y32
C．－2x3y8
D．－4x6y16
6
B
解：因为a2m＝2，b3n＝3，
所以(b2n)3－a3m·b3n·a5m＝(b3n)2－a8m·b3n＝32－(a2m)4×3＝32－24×3＝9－16×3＝9－48＝－39.
已知a2m＝2，b3n＝3，求(b2n)3－a3m·b3n·a5m的值．
7
计算：(－3xy2)3·(－x2yz3)＝__________.
8
27x5y7z3
【点拨】原式＝33·x3＋2y6＋1z3＝27x5y7z3.
9
计算：
(1)
5a3b·(－3b)2＋(－6ab)2·(－ab)－ab3·(－4a)2；
?
解：原式＝5a3b·9b2＋36a2b2·(－ab)－ab3·16a2＝45a3b3－36a3b3－16a3b3＝－7a3b3.
10
三角
表示3abc，方框
表示
－4xywz，求
的值．
解：
＝9mn·(－4n2m5)＝－36m6n3.(共28张PPT)
素质品鉴
乘法公式
课题2
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第十四章
整式的乘法与因式分解
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5
6
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8
答
案
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9
10
11
12
D
A
C
C
B
B
C
C
2x2－4x＋5
9
n3－n
13
14
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17
18
19
答
案
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【2019·河南改编】下列计算正确的是( )
A．2a＋3a＝6a
B．(－3a)2＝6a2
C．(x－y)2＝x2－y2
D．2x·(－3y)＝－6xy
1
D
若(x＋m)与(x＋3)的乘积中不含x的一次项，则m的值为( )
A．－3
B．3
C．0
D．1
2
A
计算(1－m)(－m－1)，结果正确的是( )
A．m2－2m－1
B．m2－1
C．1－m2
D．m2－2m＋1
3
B
4
C
下列式子中不能用乘法公式计算的是( )
A．(a＋b－c)(a－b＋c)
B．(a－b－c)2
C．(2a＋b＋2)(a－2b－2)
D．(2a＋3b－1)(1－2a－3b)
5
C
计算(x4＋1)(x2＋1)(x＋1)(x－1)的结果是( )
A．x2＋1
B．x8－1
C．(x＋1)8
D．(x－1)8
6
B
利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，根据图①，我们可以得到两数和的平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.根据图②，你能得到的数学公式是( )
A．a2－b2＝(a－b)2
B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
D．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
7
C
C
8
3x3－2x2＋4x－5＝3x3－(______________)．
9
2x2－4x＋5
10
化简x2－(x＋3)(x－3)的结果是________．
9
11
三个连续的整数，中间的一个是n，则这三个整数的积是________．
n3－n
将图①中阴影部分的小长方形变换到图②位置，你根据两个图形的面积关系得到的数学公式是____________________．
12
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
13
方程2(x－3)(x＋3)＝2(x－1)2＋2x的解是__________．
x＝10
观察下列各式，探索发现规律：
32－1＝8＝2×4；
62－1＝35＝5×7；
92－1＝80＝8×10；
122－1＝143＝11×13；
152－1＝224＝14×16；
…
14
用含正整数n的等式表示你发现的规律：
____________________________.
(3n)2－1＝(3n－1)(3n＋1)
15
(8分)计算：
(1)(3x＋1)(3x－1)－(x＋3)2；
＝9x2－1－(x2＋6x＋9)
＝9x2－1－x2－6x－9
＝8x2－6x－10；
(2)(2x－y－1)(2x＋y－1)．
＝[(2x－1)－y][(2x－1)＋y]
＝(2x－1)2－y2
＝4x2－4x＋1－y2.
16
(2)2002－400×199＋1992.
＝2002－2×200×199＋1992
＝(200－199)2
＝1.
(8分)先化简，再求值：
[(x－2y)2＋(x－2y)(x＋2y)－2x(2x－y)]÷2x，
其中x＝5，y＝－6.
17
解：原式＝(x2－4xy＋4y2＋x2－4y2－4x2＋2xy)÷2x＝(－2x2－2xy)÷2x＝－x－y.
当x＝5，y＝－6时，原式＝－5－(－6)＝－5＋6＝1.
18
(10分)已知x2－4x－1＝0，求式子(2x－3)2－(x＋y)(x－y)－y2的值．
解：原式＝4x2－12x＋9－x2＋y2－y2＝3x2－12x＋9.
∵x2－4x－1＝0，
∴x2－4x＝1.
∴3x2－12x＝3.
当3x2－12x＝3时，原式＝3x2－12x＋9＝3＋9＝12.
(10分)【中考·衢州】有一张边长为a
cm的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b
cm，木工师傅设计了如图所示的三种方案．?
小明发现这三种方案都能验证公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.
19
对于方案一，小明是这样验证的：
a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
方案二：
解：由题意可得，方案二：a2＋ab＋(a＋b)b＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2；
方案三：(共21张PPT)
素养训练
活用乘法公式的八种技巧
课题2
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第十四章
整式的乘法与因式分解
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已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝4，求a2＋b2和ab的值．
1
2
计算：
(1)2042＋204×192＋962；
3
＝2042＋2×204×96＋962
＝(204＋96)2
＝3002
＝90
000；
(4)1002－992＋982－972＋…＋42－32＋22－12.
对任意正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)能不能被10整除？为什么？
4
解：对任意正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)能被10整除．
理由：(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)＝(3n)2－1－(32－n2)＝9n2－1－9＋n2＝10n2－10＝10(n2－1)．
因为对任意正整数n，10(n2－1)能被10整除，所以(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)能被10整除．
5
(1)观察下列各式的规律：
(a－b)(a＋b)＝a2－b2；
(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；
(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4；
…
可得到(a－b)(a2
022＋a2
021b＋…＋ab2
021＋b2
022)＝__________.
a2
023－b2
023
(2)猜想：
(a－b)(an－1＋an－2b＋…＋abn－2＋bn－1)＝__________(其中n为正整数，且n≥2)．
(3)利用(2)猜想的结论计算：
29－28＋27－…＋23－22＋2.
an－bn
6
有一系列等式：
1×2×3×4＋1＝52＝(12＋3×1＋1)2；
2×3×4×5＋1＝112＝(22＋3×2＋1)2；
3×4×5×6＋1＝192＝(32＋3×3＋1)2；
4×5×6×7＋1＝292＝(42＋3×4＋1)2；
…
(1)根据你观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11＋1的结果为________；
7
892
(2)试猜想n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1是哪一个数的平方，并予以说明．
解：猜想：n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1＝(n2＋3n＋1)2.说明如下：
等式左边＝(n2＋n)(n2＋5n＋6)＋1＝n4＋5n3＋6n2＋n3＋5n2＋6n＋1＝n4＋6n3＋11n2＋6n＋1.
等式右边＝(n2＋3n＋1)2＝(n2＋1)2＋2·3n·(n2＋1)＋9n2＝n4＋2n2＋1＋6n3＋6n＋9n2＝n4＋6n3＋11n2＋6n＋1.
因为左边＝右边，所以n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1＝(n2＋3n＋1)2.
8
王老师在一次团体操队列队形设计中，先让全体队员排成一方阵(行与列的人数一样多的队形，且总人数不少于25人)，人数正好够用，然后再进行各种队形变化，其中一个队形需分为5人一组，手执彩带变换队形．在讨论分组方案时，有人说现在的队员人数按5人一组分将多出3人，你说这可能吗？
解：不可能．理由如下：
人数可能为(5n)2人，(5n＋1)2人，(5n＋2)2人，(5n＋3)2人，(5n＋4)2人，n为正整数．
(5n)2＝5×5n2，
(5n＋1)2＝25n2＋10n＋1＝5(5n2＋2n)＋1，
(5n＋2)2＝25n2＋20n＋4＝5(5n2＋4n)＋4，
(5n＋3)2＝25n2＋30n＋9＝5(5n2＋6n＋1)＋4，
(5n＋4)2＝25n2＋40n＋16＝5(5n2＋8n＋3)＋1.
由此可见，无论哪一种情况，总人数按每组5人分，要么不多出人数，要么多出的人数是1人或4人，不可能是3人．
9
先仔细阅读材料，再尝试解决问题：
x2±2xy＋y2＝(x±y)2及(x±y)2的值恒为非负数的特点在数学中有着广泛的应用，比如探求多项式2x2＋12x－4的最小值时，我们可以这样处理：
解：原式＝2(x2＋6x－2)＝2(x2＋6x＋9－9－2)＝2[(x＋3)2－11]＝2(x＋3)2－22.
因为无论x取什么数，都有2(x＋3)2≥0，即2(x＋3)2的最小值为0，此时x＝－3，
所以当x＝－3时，原多项式的最小值是－22.
请根据上面的解题思路，探求多项式3x2－6x＋12的最小值，并写出相应的x的取值．
?
解：原式＝3(x2－2x＋4)＝3(x2－2x＋1－1＋4)＝3(x－1)2＋9.
因为无论x取什么数，都有3(x－1)2≥0，即3(x－1)2的最小值为0，此时x＝1.
所以当x＝1时，原多项式的最小值是9.(共11张PPT)
提公因式法
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第十四章
整式的乘法与因式分解
14.3.1
目标一 因式分解
B
C
1
2
3
4
5
B
6
C
答
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1
【中考·海南】下列式子从左到右的变形是因式分解的是( )
A．a2＋4a－21＝a(a＋4)－21
B．a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7)
C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21
D．a2＋4a－21＝(a＋2)2－25
B
【中考·常德】下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A．a(m＋n)＝am＋an
B．a2－b2－c2＝(a－b)(a＋b)－c2
C．10x2－5x＝5x(2x－1)
D．x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x
C
2
【2020·河北】对于①x－3xy＝x(1－3y)，②(x＋3)(x－1)＝x2＋2x－3，从左到右的变形，表述正确的是( )
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算
D．①是乘法运算，②是因式分解
3
C
把多项式x2＋ax＋b分解因式得(x＋1)(x－3)，则a，b的值分别是( )
A．a＝2，b＝3
B．a＝－2，b＝－3
C．a＝－2，b＝3
D．a＝2，b＝－3
4
B
计算下列各式：
(1)(a＋b)(a－b)＝__________；
(2)(a＋b)2＝____________；
(3)8y(y＋1)＝__________；
(4)a(x＋y＋1)＝____________．
a2－b2
5
a2＋2ab＋b2
8y2＋8y
ax＋ay＋a
根据上面的算式把下列多项式分解因式：
(5)ax＋ay＋a；
?
?
?(6)a2－b2；
＝a(x＋y＋1)；
＝(a＋b)(a－b)；
(7)a2＋2ab＋b2；
?
?
?
(8)8y2＋8y.
＝(a＋b)2；
＝8y(y＋1)．
仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2－4x＋m有一个因式是x＋3，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为x＋n，则x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)，
即x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n，
6
故另一个因式为x－7，m的值为－21.
仿照上面的方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2＋3x－k有一个因式是2x－5，求另一个因式以及k的值．(共30张PPT)
素质品鉴
因式分解
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第十四章
整式的乘法与因式分解
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答
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11
12
D
A
D
A
B
D
D
D
15
－2
0或－6
13
14
15
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17
18
19
答
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下列式子从左到右的变形是因式分解的是( )
A．(a－2)(a＋3)＝a2＋a－6
B．x2－1＋y2＝(x－1)(x＋1)＋y2
C．a(x＋y)＝ax＋ay
D．a2＋4a＝a(a＋4)
1
D
把多项式－6a3b2－3a2b2＋12a2b3分解因式时，应提取的公因式是( )
A．－3a2b2
B．－3ab
C．－3a2b
D．－3a3b3
2
A
把多项式3m(x－y)－2(y－x)2分解因式的结果是( )
A．(x－y)(3m－2x－2y)
B．(x－y)(3m－2x＋2y)
C．(x－y)(3m＋2x－2y)
D．(y－x)(3m＋2x－2y)
3
B
若多项式x2＋mx－28可因式分解为(x－4)(x＋7)，则m的值为( )
A．－3
B．11
C．－11
D．3
4
D
下列因式分解正确的是( )
A．2x2－2＝2(x＋1)(x－1)
B．x2＋2x－1＝(x－1)2
C．x2＋1＝(x＋1)2
D．x2－x＋2＝x(x－1)＋2
5
A
已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
6
D
利用因式分解可以知道，174－154能够被某个数整除，这个数是( )
A．18
B．28
C．36
D．64
7
D
如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是( )
A．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
B．a(a－b)＝a2－ab
C．(a－b)2＝a2－b2
D．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
D
8
9
a(x＋7)(x－7)
分解因式：ax2－49a＝________________．
10
已知x2－2(m＋3)x＋9是一个完全平方式，则m＝__________．
0或－6
11
若ab＝3，a－2b＝5，则a2b－2ab2＝________．
15
已知m2＋n2－6m＋10n＋34＝0，则m＋n＝__________________.
12
－2
13
如图，根据图形把多项式a2＋5ab＋4b2因式分解为________________．
(a＋b)(a＋4b)
甲、乙两个农户各有2块土地，如图所示．今年，这两个农户决定共同投资饲养业，为此，他们准备将这4块土地换成1块土地，所换的那块土地的长为(a＋b)m，为了使所换土地的面积与原来4块土地的总面积相等，交换之后的土地的宽应该是______________m.
14
(a＋c)
(12分)分解因式：
(1)a2b－abc；
15
＝ab(a－c)．
(2)3x2－27；
＝3(x2－9)
＝3(x＋3)(x－3)．
16
(6分)利用因式分解说明：257－512能被120整除．
解：257－512＝(52)7－512＝514－512＝512×(52－1)＝512×24＝511×5×24＝511×120，
故257－512能被120整除．
(6分)已知a，b，c为△ABC的三边长，利用因式分解判断b2－a2＋2ac－c2的符号．
17
解：原式＝b2－(a2－2ac＋c2)＝b2－(a－c)2＝(b＋a－c)(b－a＋c)．
∵a，b，c为△ABC的三边长，∴a＋b＞c，b＋c＞a.
∴a＋b－c＞0，－a＋b＋c＞0.∴(b＋a－c)(b－a＋c)＞0，
即原式的符号为正．
18
(10分)观察猜想：
如图，大长方形是由三个小长方形和一个正方形拼成的，请根据此图填空：
x2＋(p＋q)x＋pq＝x2＋px＋qx＋pq＝(__________)·(__________)．
x＋p
x＋q
说理验证：
事实上，我们也可以用如下方法进行变形：
x2＋(p＋q)x＋pq＝x2＋px＋qx＋pq＝(x2＋px)＋(qx＋pq)＝______________________＝(________)(________)．
于是，我们可以利用上面的方法进行多项式的因式分解．
尝试运用：
例题：把x2＋3x＋2分解因式．
解：x2＋3x＋2＝x2＋(2＋1)x＋2×1＝(x＋2)(x＋1)．
x(x＋p)＋q(x＋p)
x＋p
x＋q
请利用上述方法把下列多项式分解因式：
(1)x2－7x＋12；
?
??
(2)(y2＋y)2＋7(y2＋y)－18.
＝(x－3)(x－4)；
＝(y2＋y＋9)(y2＋y－2)
＝(y2＋y＋9)(y＋2)(y－1)．
(10分)观察下列式子因式分解的做法：
①x2－1＝(x－1)(x＋1)；
②x3－1
＝x3－x＋x－1
＝x(x2－1)＋x－1
＝x(x－1)(x＋1)＋(x－1)
＝(x－1)[x(x＋1)＋1]
＝(x－1)(x2＋x＋1)；
19
③x4－1
＝x4－x＋x－1
＝x(x3－1)＋x－1
＝x(x－1)(x2＋x＋1)＋(x－1)
＝(x－1)[x(x2＋x＋1)＋1]
＝(x－1)(x3＋x2＋x＋1)；
…
(1)模仿以上做法，尝试对x5－1进行因式分解；
解：x5－1
＝x5－x＋x－1
＝x(x4－1)＋x－1
＝x(x－1)(x3＋x2＋x＋1)＋(x－1)
＝(x－1)[x(x3＋x2＋x＋1)＋1]
＝(x－1)(x4＋x3＋x2＋x＋1)．
(2)观察以上结果，猜想xn－1＝
_________________________________(n为正整数，直接写结果，不用验证)；
(x－1)(xn－1＋xn－2＋…＋x2＋x＋1)
(3)根据以上结论，试求45＋44＋43＋42＋4＋1的值．(共20张PPT)
幂的乘方
课题2
人教版
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第十四章
整式的乘法与因式分解
14.1.2
B
A
1
2
3
4
5
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A
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A
C
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案
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1
【2020·衢州】计算(a2)3，正确的结果是( )
A．a5
B．a6
C．a8
D．a9
B
x18不能写成( )
A．(x2)16
B．(x2)9
C．(x3)6
D．x9·x9
A
2
【2020·泸州】下列各式运算正确的是( )
A．x2＋x3＝x5
B．x3－x2＝x
C．x2·x3＝x6
D．(x3)2＝x6
3
D
【2020·宜昌】数学讲究记忆方法，如计算(a5)2时若忘记了法则，可以借助(a5)2＝a5×a5＝a5＋5＝a10，得到正确答案．你计算(a2)5－a3×a7的结果是________．
4
0
(am)m·(am)2不等于( )
A．(am＋2)m
B．(am·a2)m
C．am2＋m2
D．(am)3·(am－1)m
C
5
已知5x＝m，5y＝n，则52x＋3y等于( )
A．2m＋3n
B．m2＋n3
C．6mn
D．m2n3
6
D
【点拨】因为5x＝m，5y＝n，所以
52x＋3y＝52x·53y＝(5x)2·(5y)3＝m2n3.
若(a3)2＝64，则a等于( )
A．2
B．－2
C．±2
D．以上都不对
7
C
【点拨】因为(a3)2＝64，
所以a6＝64.
所以a＝±2.
【2019·绵阳】已知4m＝a，8n＝b，其中m，n为正整数，则22m＋6n＝( )
A．ab2
B．a＋b2
C．a2b3
D．a2＋b3
8
A
【点拨】22m＋6n＝22m×26n＝(22)m·(23)2n＝4m·82n＝4m·(8n)2＝ab2.
9
若3×9m×27m＝321，则m的值为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
B
【2020·河北】若k为正整数，则
等于( )
A．k2k
B．k2k＋1
C．2kk
D．k2＋k
10
【点拨】原式＝(k·k)k＝(k2)k＝k2k.
A
11
下列四个算式中正确的有( )
①(a4)4＝a4＋4＝a8；
②[(b2)2]2＝b2×2×2＝b8；
③[(－x)3]2＝(－x)6＝x6；
④(－y2)3＝y6.
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
C
【点拨】本题易错之处在于混淆幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则．②③正确．
12
计算：
(1)(－a2)3·a3＋(－a)2·a7－5(a3)3；
＝－a2×3·a3＋a2·a7－5a3×3
＝－a6＋3＋a2＋7－5a9
＝－a9＋a9－5a9
＝－5a9.
(2)x5·x7＋x6·(－x3)2＋2(x3)4.
＝x5＋7＋x6·x3×2＋2x3×4
＝x12＋x6＋6＋2x12
＝x12＋x12＋2x12
＝4x12.
13
(1)已知2×8x×16＝223，求x的值．
【点拨】综合运用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则将等式进行转化，运用方程思想确定字母的值是解决这类问题的常用方法．
(2)已知3m＋2×92m－1×27m＝98，求m的值．
(1)已知2×8x×16＝223，求x的值．
解：因为2×8x×16＝223，
所以23x＋5＝223.
所以3x＋5＝23.
所以x＝6.
(2)已知3m＋2×92m－1×27m＝98，求m的值．
解：因为3m＋2×92m－1×27m＝98，
所以38m＝316.
所以8m＝16.
所以m＝2.(共28张PPT)
公式法——平方差公式
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八年级上
第十四章
整式的乘法与因式分解
14.3.3
目标二 因式分解的方法
1
2
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4
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9
1
分解因式：
(1)－3ma3＋6ma2－12ma；
＝－3ma(a2－2a＋4)．
(2)(m－n)(2m＋n)＋(m－n)(4m＋3n)；
＝(m－n)(2m＋n＋4m＋3n)
＝(m－n)(6m＋4n)
＝2(m－n)(3m＋2n)．
(3)x(x－y)(a－b)－y(y－x)(b－a)．
＝x(x－y)(a－b)－y(x－y)(a－b)
＝(x－y)(a－b)(x－y)
＝(x－y)2(a－b)．
用简便方法计算：22
022－5×22
021＋6×22
020＋2
023.
＝22
020(22－5×2＋6)＋2
023
＝0＋2
023
＝2
023.
2
分解因式：
(1)4(a－b)2－12a(a－b)＋9a2；
3
＝[2(a－b)－3a]2
＝(2b＋a)2.
(2)(x2＋1)2－4x2；
＝(x2＋1＋2x)(x2＋1－2x)
＝(x＋1)2(x－1)2.
(3)(m＋n)2－4(m＋n－1)．
＝(m＋n)2－4(m＋n)＋4
＝(m＋n－2)2.
用简便方法计算：662－6
600＋2
500.
4
＝662－2×66×50＋502
＝(66－50)2
＝256.
观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的因式分解：
甲：x2－xy＋4x－4y
＝(x2－xy)＋(4x－4y)(分成两组)
＝x(x－y)＋4(x－y)(分别提公因式)
＝(x－y)(x＋4)．
乙：a2－b2－c2＋2bc
＝a2－(b2＋c2－2bc)(分成两组)
5
＝a2－(b－c)2(直接运用公式)
＝(a＋b－c)(a－b＋c)．
请你在他们的解法的启发下，把下列各式分解因式：
(1)m3－2m2－4m＋8；
＝m2(m－2)－4(m－2)
＝(m－2)(m2－4)
＝(m－2)(m＋2)(m－2)
＝(m＋2)(m－2)2.
(2)x2－2xy＋y2－9.
＝(x－y)2－32
＝(x－y＋3)(x－y－3)．
把下列各式分解因式：
(1)1＋x＋x2＋x；
6
＝(1＋x)＋(x2＋x)?
＝(1＋x)＋x(x＋1)
＝(1＋x)(1＋x)
＝(1＋x)2.
(2)xy2－2xy＋2y－4；
＝(xy2－2xy)＋(2y－4)
＝xy(y－2)＋2(y－2)
＝(y－2)(xy＋2)．
(3)a2－b2＋2a＋1.
＝(a2＋2a＋1)－b2
＝(a＋1)2－b2
＝(a＋1＋b)(a＋1－b)
＝(a＋b＋1)(a－b＋1)．
阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2－x－3的方法．
(1)二次项系数2＝1×2；
(2)常数项－3＝－1×3＝1×(－3)，验算：“交叉相乘之和”；
7
1×3＋2×(－1)＝1
1×(－1)＋2×3＝5
1×(－3)＋2×1＝－1
1×1＋2×(－3)＝－5
(3)发现第③个“交叉相乘之和”的结果为－1，等于一次项系数－1.
即：(x＋1)(2x－3)＝2x2－3x＋2x－3＝2x2－x－3，则2x2－x－3＝(x＋1)(2x－3)．
像这样，通过十字交叉线的帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x2＋5x－12＝_______________________.
(x＋3)(3x－4)
下面是某同学对多项式(x2－4x＋2)(x2－4x＋6)＋4进行因式分解的过程．
解：设x2－4x＝y，
则原式＝(y＋2)(y＋6)＋4 (第一步)
＝y2＋8y＋16
(第二步)
＝(y＋4)2
(第三步)
＝(x2－4x＋4)2.
(第四步)
8
回答下列问题：
(1)该同学因式分解的结果是否彻底？________(填“彻底”或“不彻底”)．
若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果：__________．
不彻底
(x－2)4
(2)请你模仿以上方法尝试对多项式(m2－2m)(m2－2m＋2)＋1进行因式分解．
解：设m2－2m＝n，
则原式＝n(n＋2)＋1
＝n2＋2n＋1
＝(n＋1)2
＝(m2－2m＋1)2
＝(m－1)4.
9
阅读并解答．
在分解因式x2－4x－5时，李老师是这样做的：
x2－4x－5
＝x2－4x＋4－9 (第一步)
＝(x－2)2－32(第二步)
＝(x－2＋3)(x－2－3)(第三步)
＝(x＋1)(x－5)．(第四步)
(1)从第一步到第二步运用了________公式；
(2)从第二步到第三步运用了________公式；
(3)仿照上面分解因式x2＋2x－3.
完全平方
平方差
解：x2＋2x－3
＝x2＋2x＋1－4
＝(x＋1)2－22
＝(x＋1＋2)(x＋1－2)
＝(x＋3)(x－1)．
10
阅读下面文字内容：
对于形如x2＋2ax＋a2的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成(x＋a)2的形式．但对于二次三项式x2＋4x－5，就不能直接用完全平方公式分解了．对此，我们可以添上一项4，使它与x2＋4x构成一个完全平方式，然后再减去4，这样整个多项式的值不变，即x2＋4x－5＝(x2＋4x＋4)－4－5＝(x＋2)2－9＝(x＋2＋3)(x＋2－3)＝(x＋5)(x－1)．像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法．
请用配方法来解下列问题：
(1)已知x2＋y2－8x＋12y＋52＝0，求(x＋y)2的值；
解：由x2＋y2－8x＋12y＋52＝0，得(x2－8x＋16)＋(y2＋12y＋36)＝0，(x－4)2＋(y＋6)2＝0.
所以x－4＝0且y＋6＝0，
解得x＝4，y＝－6.
所以(x＋y)2＝[4＋(－6)]2＝(－2)2＝4.
(2)求x2＋8x＋7的最小值．
解：x2＋8x＋7＝(x2＋8x＋16)－16＋7＝(x＋4)2－9.
因为(x＋4)2≥0，
所以(x＋4)2－9≥－9.
所以x2＋8x＋7的最小值是－9.(共17张PPT)
积的乘方
课题2
人教版
八年级上
第十四章
整式的乘法与因式分解
14.1.3
C
B
1
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4
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243
B
6
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D
D
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9
D
B
1
C
【2020·深圳】下列计算正确的是( )
A．a＋2a＝3a2
B．a2·a3＝a5
C．(ab)3＝ab3
D．(－a3)2＝－a6
B
2
下列计算正确的是( )
A．(ab3)2＝ab6
B．(3xy)2＝6x2y2
C．(－2a3)2＝－4a6
D．(－x2yz)3＝－x6y3z3
3
D
若n为正整数，且x2n＝3，则(3x3n)2＝________.
4
243
如果(anbm)3＝a9b15，那么m，n的值为( )
A．m＝3，n＝6
B．m＝5，n＝3
C．m＝12，n＝3
D．m＝9，n＝3
B
5
6
D
若(2an)3＝40，则a6n等于( )
A．5
B．10
C．15
D．25
7
D
【点拨】因为(2an)3＝40，
所以8a3n＝40，解得a3n＝5.
所以a6n＝(a3n)2＝52＝25.
计算(－4×103)2×(－2×103)3的结果为( )
A．1.28×1017
B．－1.28×1017
C．4.8×1016
D．－2.4×1016
?
8
B
【点拨】原式＝(－4)2×(－2)3×103×2×103×3＝－128×1015＝－1.28×1017.
9
计算：
(1)【2019·武汉】(2x2)3－x2·x4；
?
＝8x6－x6
＝7x6.
(2)(－an)3(－bn)2－(a3b2)n；
＝－a3nb2n－a3nb2n
＝－2a3nb2n.
(3)(－3a3)2·a3＋(－4a)2·a7－(－5a3)3；
＝(－3)2×a3×2·a3＋16a2·a7－(－5)3·a3×3
＝9a6＋3＋16a9＋125a9
＝9a9＋16a9＋125a9
＝150a9.
(1)已知an＝2，b2n＝3，求(a3b4)2n的值．
10
【点拨】本题先运用积的乘方法则进行计算，然后将结果转化为含有已知条件式的左边的幂的乘方的乘积形式，最后代入求值，体现了整体思想的运用．
解：原式＝a6nb8n＝(an)6(b2n)4＝26×34＝5
184.
(2)若59＝a，95＝b，用a，b表示4545的值．
解：因为a5＝(59)5＝545，
b9＝(95)9＝945，
所以4545＝(5×9)45＝545×945＝a5b9.
(3)若n为正整数，且x2n＝7，求(3x3n)2－13(x2)2n的值．
解：原式＝9x6n－13x4n＝9(x2n)3－13(x2n)2.
因为x2n＝7，
所以原式＝9×73－13×72＝2
450.(共15张PPT)
单项式与多项式相乘
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八年级上
第十四章
整式的乘法与因式分解
14.1.6
x2
A
1
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3
4
5
A
A
6
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8
10
D
答
案
呈
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9
C
4
D
1
【2020·贵阳】化简x(x－1)＋x的结果是________．
x2
【中考·青岛】计算(－2m)2·(－m·m2＋3m3)的结果是( )
A．8m5
B．－8m5
C．8m6
D．－4m4＋12m5
A
2
计算：(2x2)3－6x3(x3＋2x2＋x)＝( )
A．－12x5－6x4
B．2x6＋12x5＋6x4
C．x2－6x－3
D．2x6－12x5－6x4
3
D
【2020·达州】如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m，下列式子表示正方体上小球总数，则表达错误的是( )
A．12(m－1)
B．4m＋8(m－2)
C．12(m－2)＋8
D．12m－16
?
4
A
【点拨】正方体有12条棱，每条棱上的小球数为m，则正方体棱上的所有小球数为12m－8×2＝12m－16.分析各选项即可判断．
A
5
已知ab2＝－1，则－ab(a2b5－ab3－b)的值等于( )
A．－1
B．0
C．1
D．无法确定
6
C
【点拨】利用整体思想求解．
原式＝－a3b6＋a2b4＋ab2＝－(ab2)3＋(ab2)2＋ab2＝－(－1)3＋(－1)2＋(－1)＝1.
4
【2020·岳阳】已知x2＋2x＝－1，则代数式5＋x(x＋2)的值为________．
7
【点拨】因为x2＋2x＝－1，所以5＋x(x＋2)＝5＋(x2＋2x)＝5－1＝4.
【2019·邵阳】以下计算正确的是( )
A．(－2ab2)3＝8a3b6
B．3ab＋2b＝5ab
C．(－x2)·(－2x)3＝－8x5
D．2m(mn2－3m2)＝2m2n2－6m3
?
8
D
9
(2)如图，一块长方形地用来建造住宅、广场和商厦，求这块地的面积．
解：长方形地的长为(3a＋2b)＋(2a－b)＝5a＋b，宽为4a，
这块地的面积为4a·(5a＋b)＝20a2＋4ab.
10
【2020·铜仁】观察下列等式：
2＋22＝23－2；
2＋22＋23＝24－2；
2＋22＋23＋24＝25－2；
2＋22＋23＋24＋25＝26－2；
…
已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220＝m，则220＋221＋222＋223＋224＋…＋238＋239＋240＝____________(结果用含m的式子表示)．
【点拨】因为220＝m，
所以220＋221＋222＋223＋224＋…＋238＋239＋240
＝220(1＋2＋22＋…＋219＋220)
＝220(1＋221－2)＝m(2m－1).
m(2m－1)(共21张PPT)
幂的运算六大技法
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八年级上
第十四章
整式的乘法与因式分解
14.1.4
1
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计算：(－a2)3·(b3)2·(－ab)4.
1
＝(－a6)·b6·a4b4
＝－a10b10.
计算：(x－y)3·(y－x)5·[－(x－y)2]4·(y－x)．
2
＝(x－y)3·[－(x－y)5]·(x－y)8·[－(x－y)]
＝(x－y)17.
计算：(2×102)2×(3×103)3×(1×104)4.
3
＝(4×104)×(27×109)×(1×1016)
＝108×1029
＝1.08×1031.
4
(2)0.1252
022×(－82
023)．
5
已知2n·xn＝22n(n为正整数)，求正数x的值．
解：由题意知(2x)n＝22n＝4n，
所以2x＝4.所以x＝2.
6
已知3x＋2·5x＋2＝153x－4，求x的值．
解：由题意知15x＋2＝153x－4，
所以x＋2＝3x－4.所以x＝3.
先化简，再求值：[－3(m＋n)]3·(m－n)[－2(m＋n)(m－n)]2，其中m＝－3，n＝2.
?
7
解：原式＝－27(m＋n)3·(m－n)·4(m＋n)2·(m－n)2＝－108(m＋n)5·(m－n)3.
当m＝－3，n＝2时，－108(m＋n)5·(m－n)3＝－108×(－3＋2)5×(－3－2)3＝－108×(－1)5×(－5)3＝－108×53＝－13
500.
8
阅读下面解题过程：
试比较2100与375的大小．
解：因为2100＝(24)25＝1625，
375＝(33)25＝2725，
16＜27，
所以2100＜375.
请根据上述方法解答问题：比较255，344，433的大小．
解：因为255＝(25)11＝3211，
344＝(34)11＝8111，
433＝(43)11＝6411，32＜64＜81，
所以255＜433＜344.
9
已知a＝833，b＝1625，c＝3219，试比较a，b，c的大小．
解：因为a＝833＝(23)33＝299，
b＝1625＝(24)25＝2100，
c＝3219＝(25)19＝295，
95＜99＜100，所以c＜a＜b.
10
阅读下面解题过程：
若a5＝10，b3＝4，比较a，b的大小．
解：因为a15＝(a5)3＝103＝1
000，
b15＝(b3)5＝45＝1
024，
1
024＞1
000，
所以a15＜b15.
所以a＜b.
依照上述方法解答问题：
已知x7＝2，y9＝3，试比较x与y的大小．
【点拨】利用幂的乘方比较大小的技巧：(1)底数比较法：运用幂的乘方变形为指数相等，底数不同的形式进行比较．(2)指数比较法：运用幂的乘方变形为底数相等，指数不同的形式进行比较．(3)乘方比较法：将幂同时乘方化为同指数幂，计算幂的结果，比较幂的大小，从而比较底数的大小．
解：因为x63＝(x7)9＝29＝512，
y63＝(y9)7＝37＝2
187，
512<2
187，
所以x63＜y63.所以x＜y.
11
解：因为212×58＝24×(2×5)8＝1.6×109，
所以212×58的结果是一个十位正整数．
试判断212×58的结果是一个几位正整数．
12
求32
023的个位数字．
解：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，…，它们的个位数字按3，9，7，1的规律依次循环出现，2
023÷4＝505……3，
所以32
023的个位数字是7.
13
52·32n＋1·2n－3n·6n＋2(n为正整数)能被13整除吗？请说明理由．
?
解：52·32n＋1·2n－3n·6n＋2能被13整除．理由如下：
52·32n＋1·2n－3n·6n＋2
＝52·(32n·3)·2n－3n·(6n·62)
＝75·18n－36·18n
＝39·18n＝13×3·18n.
因为n为正整数，所以3·18n是正整数．
所以52·32n＋1·2n－3n·6n＋2能被13整除．(共19张PPT)
提公因式法
人教版
八年级上
第十四章
整式的乘法与因式分解
14.3.1
目标二 直接提公因式法
B
C
1
2
3
4
5
x(x＋3)
C
6
7
8
10
D
答
案
呈
现
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9
B
B
B
11
A
12
1
多项式8x2y2－14x2y＋4xy3各项的公因式是( )
A．8xy
B．2xy
C．4xy
D．2y
B
式子15a3b3(a－b)，5a2b(a－b)的公因式是( )
A．5ab(a－b)
B．5a2b2(a－b)
C．5a2b(a－b)
D．以上均不正确
C
2
多项式8xmyn－1－12x3myn各项的公因式是( )
A．xmyn
B．xmyn－1
C．4xmyn
D．4xmyn－1
3
D
【点拨】分别找出公因式的系数、字母及次数，得4xmyn－1.
【2020·成都】分解因式：x2＋3x＝__________.
4
x(x＋3)
将3a(x－y)－b(x－y)用提公因式法分解因式，应提出的公因式是( )
A．3a－b
B．3(x－y)
C．x－y
D．3a＋b
C
5
如果多项式－6mn＋18mnx＋24mny因式分解后所含的一个因式是－6mn，那么另一个因式是( )
A．－1－3x－4y
B．1－3x－4y
C．－1－3x＋4y
D．1＋3x－4y
6
B
【点拨】－6mn＋18mnx＋24mny＝－6mn－6mn·(－3x)－6mn·(－4y)＝－6mn(1－3x－4y)．
下列多项式因式分解正确的是( )
A．8abx－12a2x2＝4abx(2－3ax)
B．－6x3＋6x2－12x＝－6x(x2－x＋2)
C．4x2－6xy＋2x＝2x(2x－3y)
D．－3a2y＋9ay－6y＝－3y(a2＋3a－2)
B
7
8
A
9
下列分解因式正确的个数是( )
①3x2－6xy＋x＝x(3x－6y)＝3x(x－2y)；
②－5x＋5xy＝－5x(1＋y)；
③4x3－2x2y＝2x2(2x－y)；
④6a3b3＋4a2b2＋2ab＝2ab(3a2b2＋2ab)．
A．0
B．1
C．2
D．3
B
【点拨】提公因式后，可以利用整式乘法检查是否正确．此外，提取的公因式有“－”号时，要注意括号内各项要变号．
①3x2－6xy＋x＝x(3x－6y＋1)；
②－5x＋5xy＝－5x(1－y)；
③正确；
④6a3b3＋4a2b2＋2ab＝2ab(3a2b2＋2ab＋1)．
10
用提公因式法分解因式：
(1)9x2－6xy＋3x；
(2)(a－b)3－(a－b)2；
＝3x·3x－3x·2y＋3x·1
＝3x(3x－2y＋1)．
＝(a－b)2(a－b－1)．
(3)－3an＋2＋2an＋1－5an.
＝－an·3a2－an·(－2a)－an·5
＝－an(3a2－2a＋5)．
11
利用简便方法计算：
(1)3.2×202.2＋4.7×202.2＋2.1×202.2；
＝202.2×(3.2＋4.7＋2.1)
＝202.2×10
＝2
022.
12
阅读下面分解因式的过程：
把多项式am＋an＋bm＋bn分解因式．
解法一：am＋an＋bm＋bn＝(am＋an)＋(bm＋bn)＝a(m＋n)＋b(m＋n)＝(m＋n)(a＋b)．
解法二：am＋an＋bm＋bn＝(am＋bm)＋(an＋bn)＝m(a＋b)＋n(a＋b)＝(a＋b)(m＋n)．
根据你的发现，选择一种方法把下列多项式分解因式：
(1)mx－my＋nx－ny；
解：mx－my＋nx－ny
＝(mx－my)＋(nx－ny)
＝m(x－y)＋n(x－y)
＝(x－y)(m＋n)．
(2)2a＋4b－3ma－6mb.
解：2a＋4b－3ma－6mb
＝(2a－3ma)＋(4b－6mb)
＝a(2－3m)＋2b(2－3m)
＝(2－3m)(a＋2b)．(共16张PPT)
平方差公式
人教版
八年级上
第十四章
整式的乘法与因式分解
14.2.1
目标二 平方差公式的应用
1；1
1
2
3
4
答
案
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1
99×101＝(100－________)×(100＋________)．
1
1
计算：
(1)1
007×993；
2
＝(1
000＋7)×(1
000－7)
＝1
0002－72
＝999
951.
(3)2
022×2
024－2
0232；
＝(2
023－1)×(2
023＋1)－2
0232
＝2
0232－1－2
0232
＝－1.
3
探究应用
(1)计算：
①(a－2)(a2＋2a＋4)；
4
解：(a－2)(a2＋2a＋4)＝a3＋2a2＋4a－2a2－4a－8＝a3－8.
②(2x－y)(4x2＋2xy＋y2)．
解：(2x－y)(4x2＋2xy＋y2)＝8x3＋4x2y＋2xy2－4x2y－2xy2－y3＝8x3－y3.
(2)上面的整式乘法计算结果很简洁，通过观察写出一个新的乘法公式：________________________(请用含a，b的等式表示)．
(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3
(3)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是( )
A．(a－3)(a2－3a＋9)
B．(2m－n)(2m2＋2mn＋n2)
C．(4－x)(16＋4x＋x2)
D．(m－n)(m2＋2mn＋n2)
C
(4)直接用公式计算下列各式：
①(3x－2y)(9x2＋6xy＋4y2)；
?
＝27x3－8y3.
②(2m－3)(4m2＋6m＋9)．
＝8m3－27.(共13张PPT)
整式乘法的基本运算
人教版
八年级上
第十四章
整式的乘法与因式分解
14.1.9
目标二 单项式除以单项式
D
C
1
2
3
4
5
C
A
6
7
8
B
答
案
呈
现
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9
D
1
D
【2020·成都】下列计算正确的是( )
A．3a＋2b＝5ab
B．a3·a2＝a6
C．(－a3b)2＝a6b2
D．a2b3÷a＝b3
C
2
【2019·新疆】下列计算正确的是( )
A．a2·a3＝a6
B．(－2ab)2＝4a2b2
C．x2＋3x2＝4x4
D．－6a6÷2a2＝－3a3
3
B
已知28a3bm÷28anb2＝b2，那么m，n的值分别为( )
A．4，3
B．4，1
C．1，3
D．2，3
C
4
【中考·威海】下列运算正确的是( )
A．(－3mn)2＝－6m2n2
B．4x4＋2x4＋x4＝6x4
C．(xy)2÷(－xy)＝－xy
D．(a－b)(－a－b)＝a2－b2
5
A
已知a＝1.6×109，b＝4×103，则a2÷b的结果为( )
A．4×107
B．8×1014
C．6.4×105
D．6.4×1014
6
D
【点拨】a2÷b＝(1.6×109)2÷(4×103)＝(1.62×1018)÷(4×103)＝0.64×1015＝6.4×1014.
计算：
(1)(3a2b)3·(－2ab4)2÷6a5b3；
7
【点拨】单项式的乘方、乘除混合运算要注意运算顺序，先乘方后乘除，有括号的先算括号里面的．
(1)(3a2b)3·(－2ab4)2÷6a5b3；
＝27a6b3·4a2b8÷6a5b3
＝108a8b11÷6a5b3
＝18a3b8.
8
若n为正整数，且a2n＝3，求(3a3n)2÷27a4n的值．
9
