课时作业(二十) 函数的奇偶性
[练基础]
1．下列函数中是偶函数，且在区间(0,1)上为增函数是( )
A．y＝|x|
B．y＝3－x
C．y＝
D．y＝－x2＋4
2．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
3．f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，且f(1)
A．f(0)B．f(－3)>f(1)
C．f(2)D．f(－1)>f(0)
4．已知f(x)＝ax3＋bx＋1(ab≠0)．若f(2
020)＝k，则f(－2
020)＝( )
A．k
B．－k
C．1－k
D．2－k
5．已知f(x)为R上的奇函数，x>0时，f(x)＝x2＋2x，则f(－1)＝________.
6．定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f＝0，则满足f(x)>0的x的集合为_____________．
[提能力]
7．函数f(x)的定义域为R，对?x1，x2∈[1，＋∞)(x1≠x2)，有<0，且函数f(x＋1)为偶函数，则( )
A．f(1)B．f(－2)C．f(－2)D．f(3)8．[多选题]若y＝f(x)，x∈R是奇函数，则下列点一定在函数y＝f(x)图象上的是( )
A．(0,0)
B．(－a，－f(a))
C．(－a，－f(－a))
D．(a，f(－a))
9．已知函数f(x)＝(p，q为常数)是定义在[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)判断f(x)在[－1,1]上的单调性，并用定义证明；
(3)解关于x的不等式f(x－1)＋f(x)<0.
[战疑难]
10．已知函数y＝f(x)(x∈R且x≠0)对任意实数x1，x2满足f(x1)＋f(x2)＝f(x1x2)．
(1)求f(1)和f(－1)的值；
(2)求证：y＝f(x)为偶函数；
(3)若y＝f(x)在(0，＋∞)上为减函数，试求满足不等式f(2x－1)>f(1)的x的取值范围．
课时作业(二十) 函数的奇偶性
1．解析：选项A中，函数y＝|x|为偶函数，且在区间(0,1)上为增函数，故A符合题意；选项B中，函数y＝3－x为非奇非偶函数，且在区间(0,1)上为减函数，故B不符合题意；选项C中，函数y＝为奇函数，且在区间(0,1)上为减函数，故C不符合题意；选项D,
函数y＝－x2＋4为偶函数，且在区间(0,1)上为减函数，故D不符合题意．
答案：A
2．解析：∵f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，即a(－x)2－bx＋c＝ax2＋bx＋c，∴b＝0，
∴g(x)＝ax3＋cx，
∴g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，
∴g(x)是奇函数．故选A.
答案：A
3．解析：由于函数y＝f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，且f(1)f(1)，该不等式成立；对于C选项，f(2)与f(3)的大小无法判断；对于D选项，f(－1)＝f(1)，f(0)与f(1)的大小无法判断．故选B.
答案：B
4．解析：令g(x)＝ax3＋bx，则g(x)为奇函数，∵f(2
020)＝g(2
020)＋1＝k，∴g(2
020)＝k－1，∴f(－2
020)＝g(－2
020)＋1＝－g(2
020)＋1＝－(k－1)＋1＝2－k.
答案：D
5．解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－(1＋2)＝－3.
答案：－3
6．解析：由奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f＝0，得函数y＝f(x)在(－∞，0)上递增，且f＝0，∴x>或－答案：
7．解析：对任意的x1，x2∈[1，＋∞)(x1≠x2)，有<0，即对任意的x1，x2∈[1，＋∞)(x1≠x2)，设x1f(x2)，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递减．又函数f(x＋1)为偶函数，即f(x＋1)＝f(1－x)．则f(x)的图象关于直线x＝1对称．所以f(－2)＝f(4)，则f(－2)＝f(4)答案：B
8．解析：因为y＝f(x)，x∈R是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，又x∈R，所以令x＝0，则f(－0)＝－f(0)，得f(0)＝0，所以点(0,0)，(－a，－f(a))一定在y＝f(x)的图象上．故选AB.
答案：AB
9．解析：(1)依题意，函数f(x)＝(p，q为常数)是定义在[－1,1]上的奇函数，则有f(0)＝q＝0，则f(x)＝.又由f(1)＝，得＝，解得p＝1.所以f(x)＝.
(2)函数f(x)在[－1,1]上单调递增．
证明如下：任取－1≤x1从而f(x1)－f(x2)＝－＝<0，
所以f(x1)所以函数f(x)在[－1,1]上单调递增．
(3)原不等式可化为f(x－1)<－f(x)，
即f(x－1)由(2)可得，函数f(x)在[－1,1]上单调递增，
所以有解得0≤x<，
即原不等式的解集为.
10．解析：(1)当x1＝x2＝1时，f(1)＋f(1)＝f(1)，得f(1)＝0；
当x1＝x2＝－1时，f(－1)＋f(－1)＝f[(－1)×(－1)]＝f(1)＝0，
∴2f(－1)＝0，∴f(－1)＝0.
(2)证明：当x2＝－1时，f(x1)＋f(－1)＝f(－x1)，
又f(－1)＝0，∴f(x1)＝f(－x1)．
∵x∈R且x≠0，
∴f(x)的定义域关于原点对称，
∴f(x)是偶函数．
(3)∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(x)是偶函数，
∴f(x)在(－∞，0)上为增函数，
又f(2x－1)>f(1)，∴f(|2x－1|)>f(1)，
∴|2x－1|<1，即0又2x－1≠0，∴x≠，∴0∴x的取值范围是∪.课时作业(二十一) 简单幂函数的图象和性质
[练基础]
1．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且函数y＝xα为奇函数的所有α的值为( )
A．－1,3
B．－1,1
C．1,3
D．－1,1,3
2．函数y＝x在[－1,1]上是( )
A．增函数且是奇函数
B．增函数且是偶函数
C．减函数且是奇函数
D．减函数且是偶函数
3．幂函数f(x)＝xα的图象过点(－2,4)，那么函数f(x)的单调递增区间是( )
A．(－∞，＋∞)
B．[0，＋∞)
C．(－∞，0]
D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
4．幂函数y＝f(x)的图象经过点(4,2)，若0A．f(a)B．fC．f(a)D．f5．已知幂函数f(x)＝xm2－1(m∈Z)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是________．
6．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时f(x)：
(1)是幂函数；
(2)是正比例函数；
(3)是反比例函数；
(4)是二次函数．
[提能力]
7．函数f(x)＝(m2－m－1)x是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0，若a，b∈R，且a＋b>0，ab<0，则f(a)＋f(b)的值( )
A．恒大于0
B．恒小于0
C．等于0
D．无法判断
8．[多选题]已知函数f(x)＝xα图象经过点(4,2)，则下列命题正确的有( )
A．函数为增函数
B．函数为偶函数
C．若x>1，则f(x)>1
D．若09．已知幂函数y＝(m2－5m－5)x2m＋1在(0，＋∞)上为减函数，则实数m＝________.
[战疑难]
10．已知幂函数f(x)＝(k2＋k－1)x(2－k)(1＋k)在(0，＋∞)上单调递增．
(1)求实数k的值，并写出f(x)的解析式．
(2)对于(1)中的函数f(x)，试判断是否存在整数m，使函数g(x)＝1－mf(x)＋(2m－1)x在区间[0,1]上的最大值为5，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
课时作业(二十一) 简单幂函数的图象和性质
1．解析：y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1是常见的五个幂函数，显然y＝xα为奇函数时，α＝－1,1,3，又函数的定义域为R，所以α≠－1，故α＝1,3.
答案：C
2．解析：由幂函数的性质知，当α>0时，y＝xα在第一象限内是增函数，所以y＝x在(0,1]上是增函数．设f(x)＝x，x∈[－1,1]，则f(－x)＝(－x)
＝－x＝－f(x)，所以f(x)＝x是奇函数．
因为奇函数的图象关于原点对称，所以x∈[－1,0)时，y＝x也是增函数．
当x＝0时，y＝0，故y＝x在[－1,1]上是增函数且是奇函数．
答案：A
3．解析：由题意：4＝(－2)α，∴α＝2，∴f(x)＝x2，∴f(x)＝x2的单调递增区间是[0，＋∞)．
答案：B
4．解析：设幂函数y＝f(x)＝xα.
由题意知：4α＝2，∴α＝，∴f(x)＝x.
∵0>1>b>a>0，
∴f(a)答案：A
5．解析：∵函数的图象与x轴，y轴都无交点，
∴m2－1<0，解得－1∵图象关于原点对称，且m∈Z，
∴m＝0，∴f(x)＝x－1.
答案：f(x)＝x－1
6．解析：(1)∵f(x)是幂函数，
故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，
解得m＝2或m＝－1.
(2)若f(x)是正比例函数，
则－5m－3＝1，解得m＝－.
此时m2－m－1≠0，故m＝－.
(3)若f(x)是反比例函数，则－5m－3＝－1，
则m＝－，此时m2－m－1≠0，
故m＝－.
(4)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，
即m＝－1，此时m2－m－1≠0，故m＝－1.
7．解析：令m2－m－1＝1得m＝－1或m＝2，
由于对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，
满足>0，所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
当m＝－1时，f(x)＝x－3，不合题意．
当m＝2时，f(x)＝x3，满足题意．
∴f(a)＋f(b)＝a3＋b3，∵a＋b>0，ab<0，
∴f(a)＋f(b)>0.故选A.
答案：A
8．解析：将点(4,2)代入f(x)＝xα，得：2＝4α，则α＝，所以f(x)＝x.显然f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数，所以A正确．f(x)的定义域为[0，＋∞)，所以f(x)不具有奇偶性，所以B不正确；当x>1时，>1，即f(x)>1，所以C正确；当若0答案：ACD
9．解析：∵y＝(m2－5m－5)x2m＋1是幂函数，∴m2－5m－5＝1，解得m＝6或m＝－1.当m＝6时，y＝x13，不满足在(0，＋∞)上为减函数；当m＝－1时，y＝x－1，满足在(0，＋∞)上为减函数，∴m＝－1.
答案：－1
10．解析：(1)由幂函数f(x)＝(k2＋k－1)x(2－k)(1＋k)在(0，＋∞)上单调递增，可得(2－k)(1＋k)>0，解得－1(2)存在．由(1)可知，g(x)＝－mx2＋(2m－1)x＋1，当m＝0时，g(x)＝1－x在[0,1]上单调递减，可得g(0)为最大值，且为1，不成立．
当m<0时，g(x)的图象开口向上，对称轴方程为x＝>1，
所以g(x)的最大值为g(0)，
而g(0)＝1，所以不成立．
当m>0，即－m<0时，g(x)＝－m2＋.
①若≤0，即0②若≥1，则易知m不存在；
③若0<<1，即m>，则g(x)在x＝处取得最大值，所以g＝＝5，解得m＝或m＝(舍去)．
综上可知，满足条件的m存在，m＝.