课时作业(二十四) 指数函数的概念及其图象
[练基础]
1．已知f(x)＝3x－b(b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(4)的值为( )
A．3
B．6
C．9
D．81
2．当x∈[－1,1]时，函数f(x)＝3x－2的值域是( )
A.
B．[－1,1]
C.
D．[0,1]
3．函数y＝a|x|(a>1)的图象是( )
4．函数f(x)＝＋的定义域是________．
5．已知函数f(x)＝若f(f(－1))＝1，则a＝________.
6．设f(x)＝3x，g(x)＝x.
(1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；
(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？
[提能力]
7．[多选题]设指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则下列等式中正确的是( )
A．f(x＋y)＝f(x)f(y)
B．f(x－y)＝
C．f＝f(x)－f(y)
D．f(nx)＝[f(x)]n(n∈Q)
8．已知f(x)＝若a
9．若关于x的方程2x－a＋1＝0有负根，则a的取值范围是________．
[战疑难]
10．已知a>0，且a≠1，f(x)＝x2－ax.当x∈(－1,1)时，均有f(x)<，则实数a的取值范围是( )
A.∪[2，＋∞)
B.∪(1,4]
C.∪(1,2]
D.∪[4，＋∞)
课时作业(二十四) 指数函数的概念及其图象
1．解析：由f(x)过定点(2,1)可知b＝2，
所以f(x)＝3x－2，f(4)＝9.可知C正确．
答案：C
2．解析：因为指数函数y＝3x在区间[－1,1]上是增函数，所以3－1≤3x≤31，于是3－1－2≤3x－2≤31－2，即－≤f(x)≤1.故选C.
答案：C
3．解析：由题设知y＝∵a>1，∴由指数函数的图象易知选项B符合题意．
答案：B
4．解析：由题意知解得x≥2且x≠4，所以函数f(x)的定义域为[2,4)∪(4，＋∞)．
答案：[2,4)∪(4，＋∞)
5．解析：f(－1)＝2－(－1)＝2，∴f(f(－1))＝f(2)＝a·22＝1，
∴a＝.
答案：
6．解析：(1)函数f(x)与g(x)的图象如图所示：
(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝－1＝3；
f(π)＝3π，g(－π)＝－π＝3π；
f(m)＝3m，g(－m)＝－m＝3m.
从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．
7．解析：f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)，故A中的等式正确；f(x－y)＝ax－y＝axa－y＝＝，故B中的等式正确；f＝a＝(ax)，f(x)－f(y)＝ax－ay≠(ax)，故C中的等式错误；f(nx)＝anx＝(ax)n＝[f(x)]n，故D中的等式正确．
答案：ABD
8.
解析：画出函数f(x)的图象如图．结合图象可知要使得f(a)＝f(b)，关键是得做一条直线平行于x轴，能使得与f(x)有两个交点，则a≤1，答案：(－∞，8]
9．解析：因为2x＝a－1有负根，所以x<0，所以0<2x<1.
所以0答案：(1,2)
10.
解析：利用数形结合求解，题中f(x)<，即x2－1时，g(－1)＝，依题意，φ(－1)＝a－1≥g(－1)＝，所以1答案：C课时作业(二十三) 指数幂的运算性质
[练基础]
1．化简[]的结果为( )
A．5
B.
C．－
D．－5
2.0－(1－0.5－2)÷的值为( )
A．－
B
C.
D.
3．设a>0，将表示成分数指数幂，其结果是( )
A．a
B．a
C．a
D．a
4．化简()4·()4的结果是( )
A．a16
B．a8
C．a4
D．a2
5．设α，β为方程2x2＋3x＋1＝0的两个根，则α＋β＝________.
6．(1)计算：(－1.8)0＋－2×
－＋；
(2)化简：(2ab)(－6ab)÷(－3ab)．
[提能力]
7．[多选题]下列结论中，不正确的有( )
A．当a<0时，(a2)＝a3
B.＝|a|(n>0)
C．函数y＝(x－2)－(3x－7)0的定义域是(2，＋∞)
D．若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝1
8．已知a2m＋n＝2－2，am－n＝28(a>0且a≠1)，则a4m＋n的值为________．
9．已知a>0，若对于a≤r≤8，r∈N，式子()8－r·r能化为关于a的整数指数幂的可能情形有几种？
[战疑难]
10．已知ax3＝by3＝cz3，且＋＋＝1，求证：(ax2＋by2＋cz2)＝a＋b＋c.
课时作业(二十三) 指数幂的运算性质
1．解析：∵＝＝5，∴原式＝(5)＝5＝.故选B.
答案：B
2．解析：原式＝1－÷＝1－÷2＝1－(－3)×＝1＋＝.故选D.
答案：D
3．解析：由题意，＝a＝a.故选C.
答案：C
4．解析：()4·()4
＝()·()
＝(a)·(a)＝a·a＝a4.
答案：C
5．解析：由根与系数关系得α＋β＝－，所以α＋β＝＝(2－2)
＝23＝8.
答案：8
6．解析：(1)原式＝1＋2×
－＋＝1＋×2－10＋33＝1＋1－10＋27＝19.
(2)原式＝[2×(－6)÷(－3)]ab＝4ab0＝4a.
7．解析：A错，∵(a2)
>0，而a3<0；B错，当a<0，且n为奇数时不成立；C.由得x>2且x≠，故C错；D由100a＝5得102a＝5，又10b＝2，∴102a·10b＝5×2＝10，∴102a＋b＝10.∴2a＋b＝1.∴D正确．故选ABC.
答案：ABC
8．解析：由
①×②得a3m＝26，
所以am＝22，将am＝22代入②，
得22×a－n＝28，所以an＝2－6，
所以a4m＋n＝a4m·an＝(22)4×2－6＝22＝4.
答案：4
9．解析：()8－r·r＝a·a＝a.
∵a>0，a≤r≤8，r∈N＋，
∴r＝4,8时，上式能化为关于a的整数指数幂，故符合要求的情形有两种．
10．证明：令ax3＝by3＝cz3＝t，
则ax2＝，by2＝，cz2＝，
∵＋＋＝1，∴＋＋＝t，
即ax2＋by2＋cz2＝t，
∴(ax2＋by2＋cz2)
＝t＝t
＝＋＋
＝a＋b＋c.课时作业(二十二) 指数幂的拓展
[练基础]
1．若b－3n＝5m(m，n∈N＋)，则b＝( )
A．5
B．5
C．5
D．5
2.＋＝( )
A．－16
B．16
C．－2
D．2
3．将
化为分数指数幂，其形式是( )
A．2 B．－2
C．2
D．－2
4．化简的结果是( )
A．－
B.
C．－
D.
5.
－＋的值为________．
6．计算：(1)
＋；
(2)[(－2)3]2×.
[提能力]
7．[多选题]下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
A．－＝(－x)
B.＝y
(y<0)
C．x＝
(x>0)
D.＝x
(x>0)
8．若＝－4a－1，则实数a的取值范围是________．
9．已知＋|b－3|＝0.
(1)求a，b的值；
(2)计算0.064－0＋(－2)－a；
(3)判断函数f(x)＝xa的奇偶性．
[战疑难]
10．若n∈N
，且n>1，化简＋()n＋1.
课时作业(二十二) 指数幂的拓展
1．解析：若bn＝am(m，n∈N＋，a>0，b>0)，则b＝a，所以b＝5.
答案：B
2．解析：＋＝－7＋9＝2，故选D.
答案：D
3．解析：
＝(－2)＝(－2×2)＝(－2)＝－2.
答案：B
4．解析：依题意知x<0，所以＝－＝－.
答案：A
5．解析：原式＝
－
＋
＝－＋＝.
答案：
6．解析：(1)原式＝＋＝＋＝1.
(2)原式＝(－8)2×＝64×＝64×＝144.
7．解析：A错，－＝－x
(x≥0)，而(－x)
＝，(x≤0)；B错，＝－y
(y<0)；C正确；D正确，[]＝x＝x
(x>0)．故选CD.
答案：CD
8．解析：由＝|4a＋1|＝－4a－1，得4a＋1≤0，
即a≤－.
答案：
9．解析：(1)因为与|b－3|是非负数，且＋|b－3|＝0，
所以解得a＝－2，b＝3.
(2)由(1)知，原式＝0.064－0＋(－2)2＝0.4－1＋4＝3.4.
(3)由(1)知，f(x)＝x－2，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
且f(－x)＝(－x)－2＝＝＝f(x)，
所以f(x)是偶函数．
10．解析：当n是偶数时，n＋1是奇数，此时a∈R.
原式＝|a|＋a＝
当n是奇数时，n＋1是偶数，此时a≥0.原式＝a＋a＝2a.课时作业(二十五) 指数函数的性质应用
[练基础]
1．设f(x)＝|x|，x∈R，那么f(x)是( )
A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数
C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数
D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数
2．若2a＋1＜3－2a，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞)
B.
C．(－∞，1)
D.
3．已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝x·2x＋a－1，若f(－1)＝，则a等于( )
A．－3
B．－2
C．－1
D．0
4．若函数y＝ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值的差为，则a的值为( )
A.
B.
C.或2
D.或
5．三个数，，中，最大的是________，最小的是________．
6．函数y＝的单调增区间是________．
[提能力]
7．[多选题]已知函数f(x)＝，则下面几个结论正确的有( )
A．f(x)的图象关于原点对称
B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的值域为(－1,1)
D．?x1，x2∈R，且x1≠x2，<0恒成立
8．设函数f(x)＝＋aex(a为常数)．若f(x)为偶函数，则实数a＝____________；若对?x∈R，f(x)≥1恒成立，则实数a的取值范围是________．
9．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2x.
(1)求当x<0时f(x)的解析式；
(2)求不等式f(x)<1的解集．
[战疑难]
10．设函数f(x)＝ax＋(k－1)a－x＋k2(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．
(1)求k的值；
(2)若f(1)>0，求使不等式f(x2＋x)＋f(t－2x)>0恒成立的t的取值范围；
(3)若f(1)＝，设g(x)＝a2x＋a－2x－2mf(x)，g(x)在[1，＋∞)上的最小值为－1，求m的值．
课时作业(二十五) 指数函数的性质应用
1．解析：因为f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
又当x＞0时，f(x)＝x在(0，＋∞)上是减函数，
故选D.
答案：D
2．解析：函数y＝x在R上为减函数，所以2a＋1＞3－2a，所以a＞.
答案：B
3．解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，又f(－1)＝，
∴f(1)＝－f(－1)＝－，即21＋a－1＝－，∴21＋a＝＝2－2，∴1＋a＝－2，∴a＝－3.
答案：A
4．解析：当a>1时，y＝ax在[1,2]上递增，ymax＝a2，ymin＝a，∴a2－a＝，解得a＝或a＝0(舍去)．当0答案：D
5．解析：因为函数y＝x在R上是减函数，
所以＞，
又在y轴右侧函数y＝x的图象始终在函数y＝x的图象的下方，
所以＞.即＞＞.
答案：
6．解析：令t＝x2－4x＋3，则其对称轴为x＝2.
当x≤2时，t随x增大而减小，
则y增大，即y＝的单调增区间为(－∞，2]．
答案：(－∞，2]
7．解析：A.f(x)＝，则f(－x)＝＝＝－f(x)，则f(x)的图象关于原点对称；B.计算f(1)＝－，f(－1)＝≠f(1)，故f(x)的图象不关于y轴对称；C.f(x)＝＝－1＋，令1＋2x＝t，t∈(1，＋∞)，y＝f(x)＝－1＋，易知：－1＋∈(－1,1)，故f(x)的值域为(－1,1)；D.f(x)＝＝－1＋，在定义域上单调递减，故?x1，x2∈R，且x1≠x2，<0恒成立．故选ACD.
答案：ACD
8．解析：由题意＋aex＝＋ae－x?＋aex＝ex＋?(a－1)＝0.故a＝1.
因为＋aex≥1恒成立，故a≥－恒成立．设t＝>0，则a≥t－t2在t>0时恒成立．又y＝t－t2＝－2＋≤.故a≥.
答案：1
9．解析：(1)∵当x>0时，f(x)＝1－2x，
当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝1－2－x.
又y＝f(x)是R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)＝－f(－x)＝－(1－2－x)＝2－x－1，即x<0时，f(x)＝2－x－1.
(2)当x>0时，不等式f(x)<1可化为1－2x<1，∴2x>0，显然成立；
当x＝0时，y＝f(x)是奇函数，f(0)＝0<1成立；
当x<0时，不等式可化为2－x－1<1，∴2－x<2，∴－x<1，得－1综上可知，不等式f(x)<1的解集为(－1，＋∞)．
10．解析：(1)因为f(x)是定义域为R的奇函数，
所以f(0)＝0，即1＋k－1＋k2＝0，k＝0或k＝－1，
当k＝－1时，f(x)不是奇函数；
当k＝0时，f(x)＝ax－a－x，满足f(－x)＋f(x)＝0，f(x)是奇函数．所以k＝0.
(2)因为f(1)＝a－>0，a>0，所以a2－1>0，a>1，
所以f(x)在R上为增函数．
由f(x2＋x)＋f(t－2x)>0得f(x2＋x)>f(2x－t)，x2＋x>2x－t，即t>－x2＋x恒成立，
又因为－x2＋x的最大值为，所以t>.
(3)由f(1)＝a－＝，解得a＝2或a＝－，
又a>0，所以a＝2.
g(x)＝22x＋2－2x－2m(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－2m(2x－2－x)＋2.
设u＝2x－2－x，当x∈[1，＋∞)时，u∈，y＝u2－2mu＋2在u∈上的最小值为－1.
所以或
解得m＝.