《第2章直角三角形的边角关系》单元培优提升训练2021-2022鲁教版（五四制）九年级数学上册（word版含解析）

2021年鲁教版九年级数学上册《第2章直角三角形的边角关系》单元综合
培优提升训练（附答案）
一．选择题（共13小题）
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝42°，BC＝8，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是（　　）
B．
C．
D．
2．如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，延长BC到D，使CD＝AC，则tan22.5°＝（　　）
A．
B．
C．+1
D．﹣1
4．如图，△ABC底边BC上的高为h1，△PQR底边QR上的高为h2，则有（　　）
A．h1＝h2
B．h1＜h2
C．h1＞h2
D．以上都有可能
5．如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（　　）
A．
B．2
C．
D．
6．如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，∠A＝α，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（　　）
A．30sinα米
B．米
C．30cosα米
D．米
7．黑龙江亚布力地区的滑雪场在国内享誉盛名，如图所示为该地区某滑雪场的一段赛道示意图，AB段为助滑段，长为12米，坡角α为16°，一个曲面平台BCD连接了助滑坡AB与着陆坡DE．已知着陆坡DE的坡度为i＝1：2.4，DE长度为19.5米，B，D之间的垂直距离为5.5米，则一人从A出发到E处下降的垂直距离约为（参考数据sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29，结果保留一位小数）（　　）
A．15.9米
B．16.0米
C．16.4米
D．24.5米
8．小宇和小轲两位同学准备利用所学数学知识对勖艾亭的高度进行测量．他们在临时搭建的一个坡度为12：5的钢板斜坡上的F点测得亭顶A点的仰角为13°，F点到地面的垂直高度FG＝1.8米，从钢板斜坡底的E点向前走16.2米到D点，测得亭前阶梯CD的长度为2.5米，坡度为3：4．C点到亭中心O点的距离为1米．根据测量结果，勖艾亭的高度AO大约为（　　）米．
（参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23，A，B，C，D，E，F，G各点均在同一平面内）
A．4.9
B．4.6
C．6.4
D．6.1
9．如图，某栋教学楼AB顶部竖有一块宣传牌BC，某同学从建筑物底端A点出发，沿水平方向向右走12米到达D点，在D处测得宣传牌底部B点的仰角是54°，再经过一段坡比为1：2.4，坡长为6.5米的斜坡DE到达E点（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得宣传牌的顶部C点的仰角是45°，则宣传牌BC的高度为（　　）（参考数据：sin54°≈0.80，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，结果精确到0.1米）
A．1.4米
B．3.9米
C．4.0米
D．16.6米
10．如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即EF＝15米，在点E处看点D的仰角为64°，则CD的长用三角函数表示为（　　）
A．15sin32°
B．15tan64°
C．15sin64°
D．15tan32°
11．如图，测量人员计划测量山坡上一信号塔的高度，测量人员在山脚点C处，测得塔顶A的仰角为45°，测量人员沿着坡度i＝1：的山坡BC向上行走100米到达点E处，再测得塔顶A的仰角为53°，则山坡的高度BD约为（　　）
（精确到0.1米，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，≈1.73，≈1.41）
A．100.5米
B．110.5米
C．113.5米
D．116.5米
12．如图，为了测量某建筑物BC的高度，某数学兴趣小组采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，先沿斜坡AD行走390米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行一定距离后至点E处，在E点处测得该建筑物顶端C的仰角为68°，建筑物底端B的俯角为57°，其中A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4，根据数学兴趣小组的测量数据，计算得出建筑物BC的高度约为（　　）（计算结果精确到0.1米，参考数据：sin68°≈0.93，tan68°≈2.48，sin57°≈0.84，tan57°≈1.54）
A．241.6米
B．391.6米
C．422.9米
D．572.9米
13．如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1：0.75，坡长BC＝25米，则此时AB的长约为（　　）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
A．10.4米
B．12.4米
C．27.4米
D．22.4米
二．填空题（共7小题）
14．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠ACB的值为
　
　．
15．如图，△ABC的顶点B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是
　
　．
16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为点D，线段AE与线段CD相交于点F，且AE＝AB，连接DE，∠E＝∠C，若AD＝3DE，则cosE的值为
　
　．
17．某型号的飞机的机翼形状如图所示，根据图中的数据，可求AB的长度为
　
　m．（≈1.732，结果保留两位小数）
18．如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为
　
　米（结果保留根号）．
19．如图，从飞机A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，飞机A与楼的水平距离为240m，这栋楼的高度BC是
　
　m（≈1.732，结果取整数）．
20．如图，测高仪CD距建筑物AB底部5m，DC⊥BC，AB⊥BC，在测高仪D处观测建筑物顶端的仰角为50°，测高仪高度为1.5m，则建筑物AB的高度为
　
　m．（精确到0.1m，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
三．解答题（共4小题）
21．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝AB．
（1）若AE＝1，求△ABD的周长；
（2）若AD＝BD，求tan∠ABC的值．
22．如图，一架无人机在空中A处观测到山顶B的仰角为36.87°，山顶B在水中的倒影C的俯角为63.44°，此时无人机距水面的距离AD＝50米，求点B到水面距离BM的高度．
（参考数据：sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75，sin63.44°≈0.89，cos63.44°≈0.45，tan63.44°≈2.00）
23．如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行．为测量其宽度，小明在南岸边B处测得对岸边A处一棵大树位于北偏东60°方向，他以1.5m/s的速度沿着河岸向东步行40s后到达C处，此时测得大树位于北偏东45°方向，试计算此段河面的宽度（结果取整数，参考数据：≈1.732）
24．如图，斜坡AB的坡角∠BAC＝13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A，过其另一端D安装支架DE，DE所在的直线垂直于水平线AC，垂足为点F，E为DF与AB的交点．已知AD＝100cm，前排光伏板的坡角∠DAC＝28°．
（1）求AE的长（结果取整数）；
（2）冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA＝32°，后排光伏板的前端H在AB上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少（结果取整数）？
参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45．
锐角A三角函数
13°
28°
32°
sinA
0.22
0.47
0.53
cosA
0.97
0.88
0.85
tanA
0.23
0.53
0.62
参考答案
一．选择题（共13小题）
1．解：在△ABC中，因为∠C＝90°，
所以tan∠B＝，
因为∠B＝42°，BC＝8，
所以AC＝BC?tanB＝8×tan42°．
故选：D．
2．解：作PA⊥x轴于A，如右图．
∵P（3，4），
∴OA＝3，AP＝4，
∴OP＝＝5，
∴sinα＝．
故选：D．
3．解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，
∴∠ACB＝45°，
∵CD＝AC，
∴∠D＝22.5°，
设AB＝BC＝x，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AC＝＝x，
∴AC＝CD＝x，
∴BD＝BC+CD＝（+1）x，
∴tanD＝tan22.5°＝＝＝﹣1，
故选：D．
4．解：如图，分别作出△ABC底边BC上的高为AD即h1，△PQR底边QR上的高为PE即h2，
在Rt△ADC中，h1＝AD＝5×sin55°，
在Rt△PER中，h2＝PE＝5×sin55°，
∴h1＝h2，
故选：A．
5．解：如图：
作OF⊥AB于F，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC．
∴∠ODB＝90°．BD＝CD＝6．
∴根据勾股定理得：AD＝＝8．
∵BE平分∠ABC．
∴OF＝OD，BF＝BD＝6，AF＝10﹣6＝4．
设OD＝OF＝x，则AO＝8﹣x，在Rt△AOF中，根据勾股定理得：
（8﹣x）2＝x2+42．
∴x＝3．
∴OD＝3．
在Rt△OBD中，tan∠OBD＝＝＝．
故选：A．
6．解：由图可知，在△ABC中，AC⊥BC，
∴sinα＝＝，
∴BC＝30sinα米．
故选：A．
7．解：作BF⊥AP于F，DG⊥AP于G，DH⊥PE于H，
在Rt△AFB中，sinα＝，AB＝12米，
∴AF＝AB?sinα≈12×0.28＝3.36，
设DH＝x米，
∵DE的坡度为i＝1：2.4，
∴HE＝2.4x，
由勾股定理得，（2.4x）2+x2＝19.52，
解得，x＝7.5，
∴一人从A出发到E处下降的垂直距离＝3.36+5.5+7.5≈16.4（米），
故选：C．
8．解：由题意可知，∠AFM＝13°，CD＝2.5．CD的坡比是3：4，EF的坡比是12：5，FG＝1.8，DE＝16.2，MF∥NG，ON⊥NG，CH⊥NG，FG⊥NG，OC＝NH＝1（米），
∴四边形MNGF是矩形，
∴FM＝NG，
在Rt△CDH中，设CH＝3x，DH＝4x，
∴CD＝2.5，
∴（3x）2+（4x）2＝2.52，
∴x＝0.5，
∴DH＝2（米），CH＝1.5（米），
在Rt△EFG中，，FG＝1.8，
∴，
∴EG＝0.75（米），
∴FM＝GN＝EG+DE+DH+NH＝19.95（米），
在Rt△AMF中，tan∠AFM＝＝tan13°，
∴AM≈19.95×0.23＝4.5885（米），
∴AO＝AM+MO＝AM+（FG﹣CH）≈4.9（米），
故选：A．
9．解：（1）过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F，作EG⊥AB于G．
∴则四边形EFAG是矩形，
∴AG＝EF，AF＝EG，
Rt△DEF中，i＝tan∠EDF＝1：2.4，
∵DE＝6.5米，
∴EF＝2.5米，DF＝6米，
∵AD＝12米，
∴AF＝EG＝AD+DF＝18米，
在Rt△CEG中，∠CEG＝45°，
∴CG＝EG＝18米，
Rt△ABD中，∠ADB＝54°，AD＝12米，
∴AB＝AD?tan54°≈12×1.38＝16.56（米），
∴BC＝CG+GA﹣AB＝18+2.5﹣16.56＝3.94（米）≈3.9米，
即宣传牌BC的高度为3.9米．
故选：B．
10．解：∵∠CED＝64°，∠F＝32°，∠CED＝∠F+∠EDF，
∴∠EDF＝∠CED﹣∠F＝64°﹣32°＝32°，
∴∠EDF＝∠F，
∴DE＝EF，
∵EF＝15米，
∴DE＝15米，
在Rt△CDE中，
∵sin∠CED＝，
∴CD＝DEsin∠CED＝15sin64°，
故选：C．
11．解：如图作EF⊥AD于F，EH⊥CD于H．
在Rt△ADC中，∠ACD＝45°，
∴AD＝CD，
在Rt△CEH中，EC＝100米，EH：CH＝1：，
∴EH＝50米，CH＝50米，
∵四边形EFDH是矩形，
∴EF＝DH，EH＝DF＝50米，
设BF＝x，则EF＝x，
∴CD＝AD＝50+x，BD＝x+50，AF＝50+x﹣50，
在Rt△AEF中，tan53°＝，
∴≈，
∴x＝150﹣50≈63.5（米），
∴BD＝BF+DF＝63.5+50≈113.5（米）．
故选：C．
12．解：如图作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．
在Rt△ADH中，AD＝390米，DH：AH＝1：2.4，
∴DH＝150（米），
∵四边形DHBF是矩形，
∴BF＝DH＝150米，
在Rt△EFB中，tan57°＝，
∴EF＝，
在Rt△EFC中，FC＝EF?tan68°，
∴CF≈×2.48≈241.6（米），
∴BC＝BF+CF＝391.6米．
故选：B．
13．解：如图，延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP于点Q，
∵CE∥AP，
∴DP⊥AP，
∴四边形CEPQ为矩形，
∴CE＝PQ＝2（米），CQ＝PE，
∵i＝＝＝，
∴设CQ＝4x、BQ＝3x，
由BQ2+CQ2＝BC2可得（4x）2+（3x）2＝252，
解得：x＝5或x＝﹣5（舍），
则CQ＝PE＝20（米），BQ＝15（米），
∴DP＝DE+PE＝23（米），
在Rt△ADP中，∵AP＝＝≈27.4（米），
∴AB＝AP﹣BQ﹣PQ＝27.4﹣15﹣2＝10.4（米）
故选：C．
二．填空题（共7小题）
14．解：作如图所示的辅助线，则BD⊥AC，
∵BC＝，BD＝，
∴sin∠ACB＝，
故答案为．
15．解：过点A作AG⊥x轴，交x轴于点G．
∵B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），
∴OC＝，OB＝1，
∴BC＝＝2．
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，
∴AB＝＝＝＝2．
∵∠ABG+∠CBO＝90°，∠BCO+∠CBO＝90°，
∴∠ABG＝∠BCO．
∴sin∠ABG＝＝＝，cos∠ABG＝＝＝，
∴AG＝，BG＝3．
∴OG＝1+3＝4，
∴顶点A的坐标是（4，）．
故答案为：（4，）．
16．解：在AD上取一点G，使AG＝DE，连接BG，如图所示：
∵AD＝3DE，
∴DG＝2AG，
∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠ABC+∠C＝∠ABC+∠BAG＝90°，
∴∠C＝∠BAG，
∵∠C＝∠E，
∴∠BAG＝∠E，
在△ABG和△EAD中，，
∴△ABG≌△EAD（SAS），
∴BG＝AD＝3DE＝3AG，
∴BD＝，
∴AB＝＝AG，
∴cosE＝cos∠BAD＝；
故答案为：．
17．解：如图，延长BA交过点C的水平线于点E，作DF⊥BE于点F，
在Rt△CEA中，∠ACE＝45°，
∴AE＝CE＝5（m），
在Rt△BDF中，∠BDF＝30°，
∵cos∠BDF＝，
∴DB＝＝10（m），
∴BF＝BD＝5（m），
∵AB+AE＝EF+BF，
∴AB＝5.40+5﹣5≈1.74（m）．
故答案为：1.74．
18．解：由题意可得，∠ADB＝60°，∠ACB＝45°，AB＝30m，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝45°，
∴AB＝BC，
在Rt△ABD中，
∵∠ADB＝60°，
∴BD＝AB＝10（m），
∴CD＝BC﹣BD＝（30﹣10）m，
故答案为：（30﹣10）．
19．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
根据题意有∠DAC＝60°，∠BAD＝30°，AD＝240m，
在Rt△ADC中，
∵∠DAC＝60°，AD＝240m，
∴DC＝tan60°?AD＝240（m），
在Rt△ADB中，
∵∠DAB＝30°，AD＝240m，
∴DB＝tan30°?AD＝80（m），
∴BC＝240+80＝320≈554（m），
故答案为：554．
20．解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，
∵∠DCB＝∠CBE＝∠DEB＝90°，
∴四边形BEDC是矩形，
∴DE＝BC＝5m，DC＝BE＝1.5m，
在Rt△ADE中，
∵tan∠ADE＝，
∴AE＝DE?tan∠ADE＝5tan50°≈5×1.19＝5.95（m），
∴AB＝AE+BE＝5.95+1.5≈7.5（m），
答：建筑物AB的高度约为7.5m，
故答案为：7.5．
三．解答题（共4小题）
21．解：（1）如图，连接BD，设BC垂直平分线交BC于点F，
∴BD＝CD，
C△ABD＝AB+AD+BD
＝AB+AD+DC
＝AB+AC，
∵AB＝CE，
∴C△ABD＝AC+CE＝AE＝1，
故△ABD的周长为1．
（2）设AD＝x，
∴BD＝3x，
又∵BD＝CD，
∴AC＝AD+CD＝4x，
在Rt△ABD中，AB＝＝＝2．
∴tan∠ABC＝＝＝．
22．解：过点A作AH⊥BM交于点H，由题意可得：AD＝HM＝50米，
设BM＝x米，则MC＝BM＝x米
∵BH＝BM﹣HM
∴BH＝（x﹣50）米，
∴在Rt△ABH中，
∵HC＝HM+MC
∴HC＝（50+x）米，
在Rt△AHC中，，
∴，
解得x＝110，
即BM＝110米，
答：点B到水面距离BM的高度约为110米．
23．解：如图，作AD⊥BC于D．
由题意可知：BC＝1.5×40＝60（m），∠ABD＝90°﹣60°＝30°，∠ACD＝90°﹣45°＝45°，
在Rt△ACD中，∵tan∠ACD＝tan45°＝＝1，
∴AD＝CD，
在Rt△ABD中，∵tan∠ABD＝tan30°＝，
∴BD＝，
∵BC＝BD﹣CD＝﹣AD＝60（m），
∴AD＝30（+1）≈82（m），
答：此段河面的宽度约82m．
24．解：（1）在Rt△ADF中，cos∠DAF＝，
∴AF＝AD?cos∠DAF＝100×cos28°＝100×0.88＝88（cm），
在Rt△AEF中，cos∠EAF＝，
∴AE＝＝＝≈91（cm）；
（2）设DG交AB于M，过点A作AN⊥DG于N，如图所示：
∴∠AMN＝∠MAG+∠DGA＝13°+32°＝45°，
在Rt△ADF中，DF＝AD?sin∠DAC＝100×sin28°＝100×0.47＝47（cm），
在Rt△DFG中，tan∠DGA＝，
∴tan32°＝，
∴FG＝＝≈75.8（cm），
∴AG＝AF+FG＝88+75.8＝163.8（cm），
在Rt△AGN中，AN＝AG?sin∠DGA＝163.8×sin32°＝163.8×0.53≈86.8（cm），
∵∠AMN＝45°，
∴△AMN为等腰直角三角形，
∴AM＝AN≈1.41×86.8≈122.4（cm），
∴EM＝AM﹣AE≈122.4﹣91≈31（cm），
当M、H重合时，EH的值最小，
∴EH的最小值约为31cm．