2021-2022学年北师大版九年级数学上册1.1菱形的性质与判定优生辅导提升训练（Word版，附答案解析）

2021年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的性质与判定》优生辅导提升训练（附答案）
一．菱形的性质
1．若菱形的两条对角线长分别是6和8，则它的周长为（　　）
A．20
B．24
C．40
D．48
2．在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠BAE＝（　　）
A．70°
B．40°
C．75°
D．30°
3．如图，菱形ABCD的周长为40cm，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AB，垂足为E，DE：AB＝4：5，则下列结论：①DE＝8cm；②BE＝4cm；③BD＝4cm；④AC＝8cm；⑤S菱形ABCD＝80cm2，正确的有（　　）
A．①②④⑤
B．①②③④
C．①③④⑤
D．①②③④⑤
4．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD、BD的中点，若EF＝2，则BC长为
　
　．
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，DE⊥BC，垂足为点E，则DE＝　
　．
6．如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD于E，过点B作BF⊥CD于F，求证：AE＝CF．
7．如图，菱形ABCD的周长为8，对角线BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点；且满足AE+CF＝2．
（1）求证：△BDE≌△BCF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由．
8．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点P从点B出发，沿折线BC﹣CD方向移动，移动到点D停止．在△ABP形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（　　）
A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形
B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
9．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD对角线的交点坐标是O（0，0），点B的坐标是（0，1），且BC＝，则点A的坐标是
　
　．
二．菱形的判定
10．如图，已知四边形ABCD的对角线互相垂直，若适当添加一个条件，就能判定该四边形是菱形．那么这个条件可以是（　　）
A．BA＝BC
B．AC＝BD
C．AB∥CD
D．AC、BD互相平分
11．如图：在四边形ABCD中，E是AB上的一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，点P、Q、M、N分别为AB、BC、CD、DA的中点，则四边形MNPQ是（　　）
A．等腰梯形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
12．下列条件中，能判断四边形是菱形的是（　　）
A．对角线相等的平行四边形
B．对角线互相垂直且相等的四边形
C．对角线互相平分且垂直的四边形
D．对角线互相垂直的四边形
13．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF，求证：四边形ADCF是菱形．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上的一点，连接CD，CE∥AB，BE∥CD，且CE＝AD．
（1）求证：四边形BDCE是菱形；
（2）过点E作EF⊥BD，垂足为点F，若点F是BD的中点，EB＝6，求BC的长．
15．如图，过?ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC、CD、DA于点P、M、Q、N．
（1）求证：△PBE≌△QDE；
（2）顺次连接点P、M、Q、N，求证：四边形PMQN是菱形．
三．菱形的判定与性质
16．如图，剪两张对边平行的纸片随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（　　）
A．∠DAB+∠ABC＝180°
B．AB＝BC
C．AB＝CD，AD＝BC
D．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD
17．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝6，则四边形AEDF的周长是（　　）
A．24
B．28
C．32
D．36
18．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝13，CF＝6，则BG＝　
　．
19．已知，如图，在?ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AE＝6，BF＝8，CE＝3，求四边形ABCD的面积．
20．如图所示，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD等于（　　）
A．4
B．3
C．2
D．1
21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．
（1）求证：四边形BNDM是菱形；
（2）若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．
参考答案
一．菱形的性质
1．解：如图所示，
根据题意得AO＝×8＝4，BO＝×6＝3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，
∴△AOB是直角三角形，
∴AB＝＝＝＝5，
∴此菱形的周长为：5×4＝20．
故选：A．
2．解：在菱形ABCD∵∠ABC＝80°，
∴∠ABD＝40°．
∵BA＝BE，∴∠BAE＝＝70°．
故选：A．
3．解：∵菱形ABCD的周长为40cm，
∴AB＝×4cm＝10cm，
∵DE：AB＝4：5，
∴DE＝8cm，
故①正确；
∵DE⊥AB，且AD＝10cm，DE＝8cm，
∴AE＝＝＝6（cm），
∴BE＝AB﹣AE＝10cm﹣6cm＝4cm，
故②正确；
∵DE＝8cm，BE＝4cm，
∴BD＝＝＝4（cm），
故③正确；
∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝BD＝2cm，且AC⊥BD，
∴AO＝＝＝4（cm），
∴AC＝2AO＝8cm，
故④正确；
∴S菱形ABCD＝AC?BD＝×8×4＝80（cm2），
故⑤不正确，单位错误；
∴正确的为①②③④，
故选：B．
4．解：∵点E，F分别是边AD、BD的中点，
∴AB＝2EF＝4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝4，
故答案为：4．
5．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AC⊥BD，AO＝OC，DO＝BO，
∵AC＝24，BD＝10，
∴AO＝12，OD＝5，由勾股定理得：AD＝13，
∴BC＝13，
∴S菱形ABCD＝AC?BD＝BC×DE，
∴×24×10＝13×DE，
解得：DE＝，
故答案为：．
6．证明：∵菱形ABCD，
∴BA＝BC，∠A＝∠C，
∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠BEA＝∠BFC＝90°，
在△ABE与△CBF中
，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF．
7．（1）证明：∵菱形ABCD的边长为2，对角线BD＝2，
∴AB＝AD＝BD＝2，BC＝CD＝BD＝2，
∴△ABD与△BCD都是等边三角形，
∴∠BDE＝∠C＝60°，
∵AE+CF＝2，
∴CF＝2﹣AE，
又∵DE＝AD﹣AE＝2﹣AE，
∴DE＝CF，
在△BDE和△BCF中，
，
∴△BDE≌△BCF（SAS）；
（2）解：△BEF是等边三角形．理由如下：
由（1）可知△BDE≌△BCF，
∴BE＝BF，∠DBE＝∠CBF，
∴∠EBF＝∠DBE+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝∠DBC＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
由图可知，△BDE绕点B顺时针旋转60°即可得到△BCF；
8．解：∵∠B＝60°，故菱形由两个等边三角形组合而成，
当AP⊥BC时，此时△ABP为直角三角形；
当点P到达点C处时，此时△ABP为等边三角形；
当P为CD中点时，△ABP为直角三角形；
当点P与点D重合时，此时△ABP为等腰三角形，
故选：C．
9．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC＝90°，OC＝OA，
∵点B的坐标是（0，1），
∴OB＝1，
在直角三角形BOC中，BC＝，
∴OC＝＝2，
∴点C的坐标（﹣2，0），
∵OA与OC关于原点对称，
∴点A的坐标（2，0）．
故答案为：（2，0）．
二．菱形的判定
10．解：四边形ABCD中，AC、BD互相垂直，
若四边形ABCD是菱形，需添加的条件是：
AC、BD互相平分；（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形）
故选：D．
11．解：连接BD、AC；
∵△ADE、△ECB是等边三角形，
∴AE＝DE，EC＝BE，∠AED＝∠BEC＝60°；
∴∠AEC＝∠DEB＝120°；
∴△AEC≌△DEB（SAS）；
∴AC＝BD；
∵M、N是CD、AD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，即MN＝AC；
同理可证得：NP＝DB，QP＝AC，MQ＝BD；
∴MN＝NP＝PQ＝MQ，
∴四边形NPQM是菱形；
故选：C．
12．解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项A错误；
B、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是菱形，故选项B错误；
C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故选项C正确；
D、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故选项D错误；
故选：C．
13．证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
∴AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形．
14．（1）证明：∵CE∥AB，BE∥CD，
∴四边形BDCE是平行四边形，
∴CE＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝AD，
又∵∠ACB＝90°，
∴CD＝AB＝BD，
∴四边形BDCE是菱形；
（2）解：连接DE，如图所示：
由（1）得：四边形BDCE是菱形，
∴BC⊥DE，BD＝BE，OB＝OC，
∵EF⊥BD，点F是BD的中点，
∴BE＝DE，
∴BE＝DE＝BD，
∴∠DBE＝60°，∠EBC＝∠EBD＝30°，
∴OE＝EB＝3，
∴OB＝＝＝3，
∴BC＝2OB＝6．
15．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴EB＝ED，AB∥CD，
∴∠EBP＝∠EDQ，
在△PBE和△QDE中，，
∴△PBE≌△QDE（ASA）；
（2）证明：如图所示：
∵△PBE≌△QDE，
∴EP＝EQ，
同理：△BME≌△DNE（ASA），
∴EM＝EN，
∴四边形PMQN是平行四边形，
∵PQ⊥MN，
∴四边形PMQN是菱形．
三．菱形的判定与性质
16．解：根据题意可得AB∥CD，AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，AB＝CD，∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，∠DAB+∠ABC＝180°
故选：B．
17．解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，∠EAD＝∠FDA．
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD＝∠FDA，
∴FA＝FD，
∴平行四边形AEDF为菱形．
∵AF＝6，
∴C菱形AEDF＝4AF＝4×6＝24．
故选：A．
18．解：∵AG∥BD，BD＝FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，
∴BD＝DF＝AC，
∴四边形BGFD是菱形，
设GF＝x，则AF＝13﹣x，AC＝2x，
∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°，
∴AF2+CF2＝AC2，即（13﹣x）2+62＝（2x）2，
解得：x＝5，
即BG＝5．
故答案是：5．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，
∴∠EBF＝∠AFB，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AB＝AF，
∵BO⊥AE，
∴∠AOB＝∠EOB＝90°，
∵BO＝BO，
∴△BOA≌△BOE（ASA），
∴AB＝BE，
∴BE＝AF，BE∥AF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF．
∴四边形ABEF是菱形．
（2）解：作FG⊥BC于G，
∵四边形ABEF是菱形，AE＝6，BF＝8，
∴AE⊥BF，OE＝AE＝3，OB＝BF＝4，
∴BE＝＝5，
∵S菱形ABEF＝?AE?BF＝BE?FG，
∴GF＝，
∴S平行四边形ABCD＝BC?FG＝．
20．解：如图：过点P做PM∥CO交AO于M，PM∥CO
∴∠CPO＝∠POD，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA
∴四边形COMP为菱形，PM＝4
PM∥CO?∠PMD＝∠AOP+∠BOP＝30°，
又∵PD⊥OA
∴PD＝PC＝2．
另解：作CN⊥OA．
∴CN＝OC＝2，
又∵∠CNO＝∠PDO，
∴CN∥PD，
∵PC∥OD，
∴四边形CNDP是长方形，
∴PD＝CN＝2
故选：C．
21．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DMO＝∠BNO，
∵MN是对角线BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，，
∴△MOD≌△NOB（AAS），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴四边形BNDM是菱形；
（2）解：∵四边形BNDM是菱形，BD＝24，MN＝10，
∴BM＝BN＝DM＝DN，OB＝BD＝12，OM＝MN＝5，
在Rt△BOM中，由勾股定理得：BM＝＝＝13，
∴菱形BNDM的周长＝4BM＝4×13＝52．