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北师版九年级上册数学2.1.1
认识一元二次方程教学设计
课题
2.1.1
认识一元二次方程
单元
第二单元
学科
数学
年级
九
学习目标
1.了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0(a≠0)及其派生的概念；应用一元二次方程的概念解决一些简单题目．2．解决一些概念性的题目.3．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
重点
一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．
难点
通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
教师提问：1.方程的定义是什么？_________________________________2.什么是一元一次方程？________________________________________________________________【思考】下列方程中是一元一次方程的是______①x－5＝0；②x2－5＝0；③x2－5y＝0；④x4＋2x2－5＝0；
学生思考回答问题。
回顾旧知，易于学生接受。
讲授新课
1.幼儿园某教室矩形地面的长为8
m，宽为5
m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18
m2的地毯（如图），四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？如果设所求的宽为
x
m，怎样列方程？2.观察下面等式：102+112+122=132+142.你能找出五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？如果将五个连续整数中的第一个数设为x，根据题意，该列出怎样的方程？x2
+
(x
+
1)2
+
(x
+
2)2
=
(x
+
3)2
+
(x
+
4)23.如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m。如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？滑动前梯子底端距墙的距离是多少？如果设梯子底端滑动x
m，怎样列方程？观察上述问题中列出的方程：（1）(8-2x)(5-2x)=
18（2）x2
+
(x
+
1)2
+
(x
+
2)2
=
(x
+
3)2
+
(x
+
4)2（3）72+(x+6)2=102小组合作：化简上面三个方程。教师出示答案：（1）2x2
-
13x
+
11
=
0
；（2）x2
-
8x
-
20＝0；（3）x2
+
12
x
-
15
=
0.提问：这些方程是一元一次方程吗？这些方程有哪些共同特点？师生总结：1.整式方程2.只含有一个未知数3.未知数的最高次数是2说一说一元二次方程的定义：只含有一个未知数x，并且可以化成ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的整式方程叫做一元二次方程.【做一做】判断下列方程是否为一元二次方程：①10x2=9
(
)
②2(x-1)=3x
(
)
③2x2-3x-1=0
(
)
④
(
)
一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0的形式，我们把ax2+bx+c=0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.师：说一说式子中的二次项、一次项、常数项和二次项系数、一次项系数。例：把方程(3x+2)2=4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.解：化成一元二次方程的一般形式为：
5x2+36x-32=0二次项系数为5，一次项系数36，常数项-32.特别提醒:确定一元二次方程的各项和各项系数时注意不要丢掉各项的符号，一般情况下，将一元二次方程整理为一般形式时，若二次项系数为负数，要把它转化为正数，若各项系数或常数项是分数，要把它们转化为整数.【思考】ax2+bx+c=0
(a,b,c为常数，a≠0）中，为什么a≠0？
b,c可以为0吗?若a=0，则ax2=0，方程中只剩下bx+c=0，是一个一元一次方程，∴a≠0.∵ax2=0依旧是一个一元二次方程，∴b，c可以为0.
学生根据教师提示回答问题。学生读题找等量关系列方程.
学生读题找等量关系列方程.学生读题找等量关系列方程.学生观察所列方程整理后的特点,把握方程结构,初步感知一元二次方程概念.学生尝试叙述，然后师生归纳。学生根据对一元二次方程的理解进行判断。学生总结一元二次方程的一般形式，并根据课本内容回答问题。学生独立完成，教师提问，共同总结。
通过对相关问题的解决,帮助学生从实际问题中提炼出数学问题,培养学生的抽象思维能力。情景分析中学生自然会想到用方程来解决问题,但所列的方程不是以前学过的,从而激发学生的求知欲望,顺利地进入新课。关注学生对概念的理解,通过具体的例子来归纳一元二次方程的概念,加深对概念的理解。问题中学生对于化成一元二次方程的一般形式感觉困难不大,但写出它的二次项系数、一次项系数和常数项时,部分学生可能容易忽视符号,作为第一次学习,这是难免的。当然,教学中也可以给出各项系数。学生基本能识别一元二次方程及各个部分。培养学生的解题规范、过程完整、条理清晰的解题习惯。
课堂练习
1.关于x的方程(a－1)x2＋3x－2＝0是一元二次方程的条件是( C )A．a≠0
B．a＝1
C．a≠1
D．a为任意实数2.如果方程(m－3)xm2－7－x＋3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为( C )A．±3
B．3C．－3
D．以上都不对3.把一元二次方程(1－x)(2－x)＝3－x2化成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中a，b，c分别为( B )A．2，3，－1
B．2，－3，－1C．2，－3，1
D．2，3，14.若关于x的方程2x2＋mx＝4x＋2中不含一次项，则m＝( B ).A．0
B．4
C．－4
D．±45.已知关于x的方程(2k＋1)x2＋4kx＋k－1＝0.(1)当k为何值时，此方程是一元一次方程？解：当2k＋1＝0，且4k≠0，即k＝－时，方程(2k＋1)x2＋4kx＋k－1＝0可化为－2x－＝0，此时为一元一次方程．(2)k为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．解：当2k＋1≠0，即k≠－时，此方程为一元二次方程，其二次项系数是2k＋1，一次项系数是4k，常数项是k－1.6.【中考·福建】一元二次方程4x2＋x＝1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( C )A．4，0，1
B．4，1，1C．4，1，－1
D．4，1，07.【2020·衢州】某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示，设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的月平均增长率为x，根据题意可得方程为( B )A．180(1－x)2＝461
B．180(1＋x)2＝461C．368(1－x)2＝442
D．368(1＋x)2＝442
学生根据所学知识完成随堂练习。
同步练习,检测学生的掌握情况,及时回授,强化知识点的应用。
课堂小结
这节课你学到了什么？1.方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的方程，叫做一元二次方程．2.判别一元二次方程的“两个方法”：(1)根据定义要把握三点：一是整式方程；二是含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2.(2)根据一般形式要把握两点：一是能化成ax2＋bx＋c＝0的形式，且a一定不能为0，而b，c都可以为0；二是判断是否为一元二次方程与其解的情况无关．
学生归纳整理知识点。
有利于学生理清本节课的知识点,深化对一元二次方程的理解。启发引导学生进行归纳整理,培养学生宏观掌握知识的能力。
板书
课题：2.1.1
认识一元二次方程一、一元二次方程定义二、一元二次方程的一般形式
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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2.1.1
认识一元二次方程
北师大版
九年级上册
新知导入
1.方程的定义是什么？
2.什么是一元一次方程？
含有未知数的等式叫方程;
含有一个未知数，而且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程。
新知导入
【思考】下列方程中是一元一次方程的是______
①x－5＝0；
②x2－5＝0；
③x2－5y＝0；
④x4＋2x2－5＝0；
这个方程是一元一次方程吗？
合作探究
幼儿园某教室矩形地面的长为8
m，宽为5
m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18
m2的地毯（如图），四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？
如果设所求的宽为
x
m，怎样列方程？
8
-
2x
5
-
2x
(8-2x)(5-2x)=
18
S=18
m2
合作探究
观察下面等式：102+112+122=132+142.
你能找出五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？
如果将五个连续整数中的第一个数设为x，根据题意，该列出怎样的方程？
x2
+
(x
+
1)2
+
(x
+
2)2
=
(x
+
3)2
+
(x
+
4)2
合作探究
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m。如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？
滑动前梯子底端距墙的距离是多少？
6m
如果设梯子底端滑动x
m，怎样列方程？
72
+
(x
+
6)2
=
102
合作探究
观察上述问题中列出的方程：
（1）(8-2x)(5-2x)=
18
（2）x2+(x+1)2+(x+2)2
=(x+3)2+(x+4)2
（3）72+(x+6)2=102
小组合作，将它们化简。
（1）2x2
-
13x
+
11
=
0
；
（2）x2
-
8x
-
20＝0；
（3）x2
+
12
x
-
15
=
0.
这些方程是一元一次方程吗？这些方程有哪些共同特点？
新知讲解
（1）2x2
-
13x
+
11
=
0
；
（2）x2
-
8x
-
20＝0；
（3）x2
+
12
x
-
15
=
0.
1.整式方程
2.只含有一个未知数
3.未知数的最高次数是2
一元二次方程的定义：
只含有一个未知数x，并且可以化成ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的整式方程叫做一元二次方程.
新知讲解
【做一做】判断下列方程是否为一元二次方程：
①
10x2=9
(
)
②2(x-1)=3x
(
)
③2x2-3x-1=0
(
)
④
(
)
√
×
√
×
新知讲解
一元二次方程的一般形式：
一般地，任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0的形式，我们把ax2+bx+c=0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.
ax2
+
bx
+
c
=
0
(a，b，c为常数，a≠0)
二次项
一次项
常数项
二次项系数
一次项系数
新知讲解
把方程(3x+2)2=4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
解：化成一元二次方程的一般形式为：
5x2+36x-32=0
二次项系数为5，
一次项系数36，
常数项-32.
特别提醒:
确定一元二次方程的各项和各项系数时注意不要丢掉各项的符号，一般情况下，将一元二次方程整理为一般形式时，若二次项系数为负数，要把它转化为正数，若各项系数或常数项是分数，要把它们转化为整数.
合作探究
【思考】ax2+bx+c=0
(a,b,c为常数，a≠0）中，为什么a≠0？
b,c可以为0吗?
若a=0，则ax2=0，方程中只剩下bx+c=0，是一个一元一次方程，
∴a≠0.
∵ax2=0依旧是一个一元二次方程，
∴b，c可以为0.
课堂练习
1.关于x的方程(a－1)x2＋3x－2＝0是一元二次方程的条件是( )
A．a≠0
B．a＝1
C．a≠1
D．a为任意实数
C
2.如果方程(m－3)xm2－7－x＋3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为( )
A．±3
B．3
C．－3
D．以上都不对
C
课堂练习
3.把一元二次方程(1－x)(2－x)＝3－x2化成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中a，b，c分别为( )
A．2，3，－1
B．2，－3，－1
C．2，－3，1
D．2，3，1
B
4.若关于x的方程2x2＋mx＝4x＋2中不含一次项，则m＝( ).
A．0
B．4
C．－4
D．±4
B
拓展提高
5.已知关于x的方程(2k＋1)x2＋4kx＋k－1＝0.
(1)当k为何值时，此方程是一元一次方程？
拓展提高
5.已知关于x的方程(2k＋1)x2＋4kx＋k－1＝0.
(2)k为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
中考链接
6.【中考·福建】一元二次方程4x2＋x＝1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )
A．4，0，1
B．4，1，1
C．4，1，－1
D．4，1，0
C
中考链接
7.【2020·衢州】某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示，设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的月平均增长率为x，根据题意可得方程为( )
A．180(1－x)2＝461
B．180(1＋x)2＝461
C．368(1－x)2＝442
D．368(1＋x)2＝442
B
课堂总结
这节课你学到了什么？
1.方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的方程，叫做一元二次方程．
2.判别一元二次方程的“两个方法”：
(1)根据定义要把握三点：一是整式方程；二是含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2.
(2)根据一般形式要把握两点：一是能化成ax2＋bx＋c＝0的形式，且a一定不能为0，而b，c都可以为0；二是判断是否为一元二次方程与其解的情况无关．
板书设计
课题：2.1.1
认识一元二次方程
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教师板演区
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学生展示区
一、一元二次方程定义二、一元二次方程的一般形式
作业布置
课本
P32
练习题
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