2021-2022学年苏科版九年级数学上册《1.2一元二次方程的解法》同步优生专题提升训练（word解析版）

2021年苏科版九年级数学上册《1.2一元二次方程的解法》同步优生专题提升训练（附答案）
1．若一元二次方程ax2+bx+c＝0的系数满足ac＜0，则方程根的情况是（　　）
A．没有实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．无法判断
2．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2（a、b、m为常数，a≠0），则方程a（x+m+1）2+b＝0的解是　
　．
3．已知一等腰三角形的底边长和腰长分别是方程x2﹣3x＝4（x﹣3）的两个实数根，则该等腰三角形的周长是　
　．
4．如果恰好只有一个实数a是方程（k2﹣9）x2﹣2（k+1）x+1＝0的根，则k的值为　
　．
5．已知关于x的一元二次方程ax2﹣（a+1）x﹣4＝0的两根分别为x1，x2，且﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，则实数a的取值范围是　
　．
6．解方程：
（1）（x+2）2﹣16＝0
（2）x2﹣2x﹣4＝0．
7．小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程x（x+4）＝6．
解：原方程可变形，得：[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6．
（x+2）2﹣22＝6，
（x+2）2＝6+22，
（x+2）2＝10．
直接开平方并整理，得．x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．
我们称小明这种解法为“平均数法”．
（1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+3）（x+7）＝5时写的解题过程．
解：原方程可变形，得：[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝5．
（x+a）2﹣b2＝5，
（x+a）2＝5+b2．
直接开平方并整理，得．x1＝c，x2＝d．
上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为　
　，　
　，　
　，　
　．
（2）请用“平均数法”解方程：（x﹣5）（x+3）＝6．
8．关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0．
（1）求出方程的根；
（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
9．阅读材料后，解答问题：
解方程：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，
解：可设x2﹣1＝y，即
（x2﹣1）2＝y2，
原方程可化为
y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1即x2﹣1＝1时，x2＝2，x＝±；
当y＝4即x2﹣1＝4时，x2＝5，x＝±；
请你依据此解法解方程：（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3＝0．
10．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）求此方程的两个根（若所求方程的根不是常数，就用含k的式子表示）；
（3）如果此方程的根刚好是某个等边三角形的边长，求k的值．
11．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，且该方程的两个根都是整数，求k的值并求出方程的两个整数根．
12．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2（m﹣3）x+m2+1＝0的两个根．
（1）当m取何值时，原方程有两个不相等的实数根？
（2）若以x1，x2为对角线的菱形边长是，试求m的值．
13．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22＝11，求k的值．
14．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）试说明：无论k取什么实数值，方程总有实数根．
（2）若等腰△ABC的一边长a为1，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长？
15．设a，b，c是△ABC三边的长，且关于x的方程c（x2+n）+b（x2﹣n）﹣2ax＝0（n＞0）有两个相等的实数根，求证：△ABC是直角三角形．
16．在等腰三角形△ABC中，三边分别为a、b、c，其中ɑ＝4，若b、c是关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0的两个实数根，求△ABC的周长．
17．已知关于x
的一元二次方程x2﹣5x+m＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m
的取值范围；
（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足3x1﹣2x2＝5，求实数m
的值．
18．用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2+1就有最小值1，即3a2+1≥1，只有当a＝0时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为﹣3a2≤0，所以﹣3a2+1有最大值1，即﹣3a2+1≤1，只有在a＝0时，才能得到这个式子的最大值1．
（1）当x＝　
　时，代数式3（x+3）2+4有最　
　（填写大或小）值为　
　．
（2）当x＝　
　时，代数式﹣2x2+4x+3有最　
　（填写大或小）值为　
　．
（3）矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？
19．先阅读，再解决问题．
阅读：材料一
配方法可用来解一元二次方程．例如，对于方程x2+2x﹣1＝0可先配方（x+1）2＝2，然后再利用直接开平方法求解方程．其实，配方还可以用它来解决很多问题．
材料二
对于代数式3a2+1，因为3a2≥0，所以3a2+1≥1，即3a2+1有最小值1，且当a＝0时，3a2+1取得最小值为1．
类似地，对于代数式﹣3a2+1，因为﹣3a2≤0，所以﹣3a2+1≤1，即﹣3a2+1有最大值1，且当a＝0时，﹣3a2+1取得最大值为1．
解答下列问题：
（1）填空：①当x＝　
　时，代数式2x2﹣1有最小值为　
　；
②当x＝　
　时，代数式﹣2（x+1）2+1有最大值为　
　．
（2）试求代数式2x2﹣4x+1的最小值，并求出代数式取得最小值时的x的值．
（要求写出必要的运算推理过程）
20．关于x的方程：2（x﹣k）＝x﹣4①和关于x的一元二次方程：（k﹣1）x2+2mx+（3﹣k）+n＝0②（k、m、n均为实数），方程①的解为非正数．
（1）求k的取值范围；
（2）如果方程②的解为负整数，k﹣m＝2，2k﹣n＝6且k为整数，求整数m的值；
（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足（x1+x2）（x1﹣x2）+2m（x1﹣x2+m）＝n+5，且k为正整数，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
参考答案
1．解：△＝b2﹣4ac，
∵ac＜0，
∴﹣ac＞0，
而b2≥0，
∴△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
2．解：把方程a（x+m+1）2+b＝0看作关于x+1的一元二次方程，
而关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2，
所以x+1＝﹣3，x+1＝2，
所以x1＝﹣4，x2＝1．
故答案为x1＝﹣4，x2＝1．
3．解：解方程x2﹣3x＝4（x﹣3），即（x﹣3）（x﹣4）＝0得x＝3或x＝4，
若腰长为3时，周长为3+3+4＝10，
若腰长为4时，周长为4+4+3＝11，
故答案为：10或11．
4．解：当原方程是一个一元一次方程时，方程只有一个实数根，
则k2﹣9＝0，
解得k＝±3，
当原方程是一元二次方程时，
△＝b2﹣4ac＝0，
即：4（k+1）2﹣4（k2﹣9）＝0
解得：k＝﹣5．
故答案为±3或﹣5．
解：把关于x的一元二次方程ax2﹣（a+1）x﹣4＝0的两根分别为x1，x2，
∴﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，
∵x＝﹣1时，即a+a+1﹣4＞0，解得a＞；
x＝2时，即4a﹣2a﹣2﹣4＜0，解得a＜3；
x＝3时，即9a﹣3a﹣3﹣4＞0，解得a＞；
∴实数a的取值范围为＜a＜3．
故答案为＜a＜3．
6．解：（1）（x+2）2＝16，
x+2＝±4，
所以x1＝2，x2＝﹣6；
（2）x2﹣2x＝4，
x2﹣2x+1＝5，
（x﹣1）2＝5，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣．
7．解：（1）原方程可变形，得：[（x+5）﹣2][（x+5）+2]＝5．
（x+5）2﹣22＝5，
（x+5）2＝5+22．
直接开平方并整理，得．x1＝﹣2，x2＝﹣8．
上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为5、±2、﹣2、﹣8，
故答案为：5、2、﹣2、﹣8；
（2）原方程可变形，得：[（x﹣1）﹣4][（x﹣1）+4]＝6．
（x﹣1）2﹣42＝6，
（x﹣1）2＝6+42．
x﹣1＝±，
∴x＝1±，
直接开平方并整理，得．x1＝1+，x2＝1﹣．
8．解：（1）[（m﹣1）x﹣（m+1）]（x﹣1）＝0，
（m﹣1）x﹣（m+1）＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝，x2＝1；
（2）x＝＝1+，
由于m为整数，
所以当m﹣1＝1或2时，x＝为正整数，此时m＝2或m＝3，
所以m为2或3时，此方程的两个根都为正整数．
9．解：设t＝x2﹣2x，则原方程可化为：t2﹣2t﹣3＝0，
（t﹣3）（t+1）＝0，
∴t＝﹣1或3，
即x2﹣2x＝﹣1或x2﹣2x＝3，
解得x1＝x2＝1，x3＝3，x4＝﹣1．
10．解：（1）依题意，得△＝[﹣（k+1）]2﹣4×1×（2k﹣2）
＝k2+2k+1﹣8k+8
＝k2﹣6k+9
＝（k﹣3）2≥0，
∴此方程总有两个实数根．
（2）将方程左边因式分解得（x﹣2）[x﹣（k﹣1）]＝0，
则x﹣2＝0或x﹣（k﹣1）＝0，
解得x1＝2，x2＝k﹣1；
（3）∵此方程的根刚好是某个等边三角形的边长，
∴k﹣1＝2．
∴k＝3．
11．解：（1）根据题意得：△＝4﹣4（2k﹣4）＝20﹣8k＞0，
解得：k＜；
（2）由k为正整数，得到k＝1或2，
利用求根公式表示出方程的解为x＝﹣1±，
∵方程的解为整数，
∴5﹣2k为完全平方数，
则k的值为2，
将k＝2代入x＝﹣1±，
得x1＝0，x2＝﹣2．
12．解：（1）由题意得△＝[2（m﹣3）]2﹣4（m2+1）＝32﹣24m，
要使方程有两个不相等的实数根，需要△＞0，
即32﹣24m＞0，解得m＜，
即m＜时，方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2（m﹣3）x+m2+1＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣2（m﹣3），x1?x2＝m2+1．
∵x1，x2为菱形的对角线，
∴x1，x2互相垂直并且平分，
∴（
x1）2+（
x2）2＝3，
∴x12+x22＝12，
∴（x1+x2）2﹣2x1?x2＝12，
∴（x1+x2）2﹣2x1?x2＝12，
∴[﹣2（m﹣3）]2﹣2（m2+1）＝12，
∴m2﹣12m+11＝0，
解得，m1＝1，m2＝11．
∵m＜，
∴m2＝11不合题意，舍去，
∴m的值为1．
13．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1＝0有实数根，
∴△≥0，即[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）＝﹣8k+5≥0，
解得k≤．
（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2+k﹣1，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（2k﹣1）2﹣2（k2+k﹣1）＝2k2﹣6k+3，
∵x12+x22＝11，
∴2k2﹣6k+3＝11，解得k＝4，或k＝﹣1，
∵k≤，
∴k＝4（舍去），
∴k＝﹣1．
14．（1）证明：
∵△＝b2﹣4ac＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2≥0，
∴无论k取任意实数值，方程总有实数根；
（2）解：分两种情况：
①若b＝c，
∵方程x2﹣（k+2）x+2k＝0有两个相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝（k﹣2）2＝0，解得k＝2，
∴此时方程为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，
∴△ABC的周长为5；
②若b≠c，则b＝a＝1或c＝a＝1，即方程有一根为1，
∵把x＝1代入方程x2﹣（k+2）x+2k＝0，得1﹣（k+2）+2k＝0，
解得k＝1，
∴此时方程为x2﹣3x+2＝0，
解得x1＝1，x2＝2，
∴方程另一根为2，
∵1、1、2不能构成三角形，
∴所求△ABC的周长为5．
综上所述，△ABC的周长为5．
15．证明：关于x的方程c（x2+n）+b（x2﹣n）﹣2ax＝0（n＞0）可化为（c+b）x2﹣2ax+（c﹣b）n＝0，
∵方程有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣2a）2﹣4n（c+b）（c﹣b）＝0，即a2＝b2+c2，
∵a，b，c是△ABC三边的长，
∴△ABC是直角三角形．
16．解：当a＝4为腰长时，将x＝4代入原方程，得：42﹣4（2k+1）+4（k﹣）＝0，
解得：k＝，
当k＝时，原方程为x2﹣6x+8＝0，
解得：x1＝2，x2＝4，
∴此时△ABC的周长为4+4+2＝10；
当a＝4为底长时，△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×4（k﹣）＝（2k﹣3）2＝0，
解得：k＝，
∴b+c＝2k+1＝4．
∵b+c＝4＝a，
∴此时，边长为a，b，c的三条线段不能围成三角形．
∴△ABC的周长为10．
17．解：（1）∵方程有实数根，
∴△＝25﹣4m≥0，
解得，m≤；
（2）由一元二次方程根与系数的关系可知，x1+x2＝5，x1?x2＝m，
∵3x1﹣2x2＝5，
∴3x1+3x2﹣5x2＝5，
∴﹣5x2＝﹣10，
解得，x2＝2，
把x＝2代入原方程得，m＝6．
18．解：（1）∵（x+3）2≥0，
∴当x＝﹣3时，（x+3）2的最小值为0，
则当x＝﹣3时，代数式3（x+3）2+4的最小值为4；
（2）代数式﹣2x2+4x+3＝﹣2（x﹣1）2+5，
则当x＝1时，代数式﹣2x2+4x+3的最大值为5；
（3）设垂直于墙的一边为xm，则平行于墙的一边为（16﹣2x）m，
∴花园的面积为x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x＝﹣2（x2﹣8x+16）+32＝﹣2（x﹣4）2+32，
则当边长为4米时，花园面积最大为32m2．
故答案为：（1）﹣3，小，4；
（2）1，大，5；
19．解：（1）根据题意得：
①当x＝0时，代数式2x2﹣1有最小值为﹣1；
②当x＝﹣1时，代数式﹣2（x+1）2+1有最大值为1；
故答案为：0，﹣1；﹣1，1．
（2）∵2x2﹣4
x+1＝2（x2﹣2x）+1＝2（x2﹣2x+1﹣1）+1＝2（x﹣1）2﹣1，
2（x﹣1）2≥0，
∴2（x﹣1）2﹣1≥﹣1，
即2（x﹣1）2﹣1有最小值﹣1，
当x＝1时，2（x﹣1）2﹣1取得最小值﹣1．
20．解：（1）∵关于x的方程：2（x﹣k）＝x﹣4．
解得x＝2k﹣4
∵关于x的方程：2（x﹣k）＝x﹣4的解为非正数．
∴2k﹣4≤0，
∴解得k≤2，
∵由方程②可知k≠1，
∴k≤2且k≠1．
（2）∵一元二次方程一元二次方程：（k﹣1）x2+2mx+（3﹣k）+n＝0中k﹣m＝2，2k﹣n＝6，
∴k＝m+2，n＝2k﹣6＝2m+4﹣6＝2m﹣2，
∴把k＝m+2，n＝2m﹣2代入原方程得：（m+1）x2+2mx+m﹣1＝0，
因式分解得，[（m+1）x+（m﹣1）]（x+1）＝0，
∴x1＝﹣，x2＝﹣1，
∵方程②的解为负整数，﹣＝﹣1，
∴m+1＝﹣1或﹣2，
∴m＝﹣2或﹣3．
（3）|m|≤2成立，理由是：
由（1）知：k≤2且k≠1，
∵k是正整数，
∴k＝2，
（k﹣1）x2+2mx+（3﹣k）+n＝0有两个实数根x1、x2，
∴x1+x2＝﹣＝﹣2m，x1x2＝＝1+n，
∵（x1+x2）（x1﹣x2）+2m（x1﹣x2+m）＝n+5，
∴2m2＝n+5，
△＝（2m）2﹣4（k﹣1）[（3﹣k）+n]＝4m2﹣（n+1）≥0②，
把①代入②得：4m2﹣4（2m2﹣4）≥0，
m2≤4，
则|m|≤2，
∴|m|≤2成立．