人教版数学八年级上册12.3 角的平分线的性质课后培优（word解析版）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级上册12.3 角的平分线的性质课后培优（word解析版） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 624.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-30 19:01:07 | ||
图片预览
文档简介
12.3 角的平分线的性质
一、单选题
1．false内一点false到三边距离相等，则点false一定是false（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条高的交点 D．三条中线的交点
2．如图，点false是false内一点，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，且false，则点false是（ ）
A．false三边垂直平分线的交点 B．false三条角平分线的交点
C．false三条高所在直线的交点 D．false三条中线的交点
3．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，且DE＝DG，S△ADG＝24，S△AED＝18，则△DEF的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
4．如图，false中，false，false平分false，交false于点false，false，false，则false的长为（ ）
A．4 B．8 C．3 D．6
5．如图，四边形false中，false，与false、false相邻的两外角平分线交于点E，若false，则false的度数为（ ）
A．45° B．60° C．40° D．50°
6．如图①，已知false，用尺规作它的角平分线．
如图②，步骤如下：
第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线false，false于点D，E；
第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在false内部交于点P；
第三步；画射线false，射线false即为所求．
下列叙述不正确的是（ ）
A．false B．作图的原理是构造false三角形全等
C．由第二步可知，false D．false的长
7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规分别截取BE，BD，使BE＝BD，分别以D、E为圆心、以大于false的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（ ）
A．无法确定 B．false C．1 D．2
8．如图，在false中，false平分false，交false于点D，false，垂足为点E，若false，则false的长为（ ）
A．false B．1 C．2 D．6
9．如图，四边形ABCD中，对角线AD平分∠BAC，false，false，则∠ADB的度数为（ ）
A．54° B．50° C．48° D．46°
10．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它的三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
11．如图，在false中，false的外角平分线与false的外角平分线相交于点false．则下列结论正确的是（ ）
A．false平分false B．false平分false C．false平分false D．false
12．如图，用一把长方形直尺的一边压住射线OB，再用另一把完全相同的长方形直尺的一边压住射线OA，两把直尺的另一边交于点P，则射线OP就是∠BOA的平分线的依据是（ ）
A．等腰三角形中线、角平分线、高线三线合一
B．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
C．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
D．在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
二、填空题
13．如图，false平分false，false在false上，false于false，false于false．若false，则false____false．
14．如图，在false中，false，利用尺规在false，false上分别截取false；分别以点false，false为圆心，以大于false的长为半径作弧，两弧在false内部交于点false；作射线false交false于点false．若false，点false为线段false上的一动点，则false的最小值是______．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于falseMN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是_______．
16．如图，在false中，false和false的平分线交于点false，得false；false和false的平分线交于点false，得false；……false和false的平分线交于点false，则false________度．
17．如图，在false中，false的平分线交于点O，false于D，如果false，false，false，且S△ABC＝150cm2，那么false_____false．
18．false中，false是直角，false是两内角平分线的交点，false，false，false，false到三边的距离是______.
三、解答题
19．在直线BC上找一点O修建加油站，使加油站到公路AB和公路AC的距离相等，请用尺规作图法确定这个加油站O的位置．（保留作图痕迹，不写做法）
20．已知：如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且∠ABD+∠ACD＝180°．
求证：BD＝CD．
21．如图所示，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BF=CE，求证：AD平分∠BAC．
22．如图，在false中，false平分false，false，false于点false，点false在false上，false．
（1）求证：false；
（2）若false，false，求false的长．
23．如图，CA平分∠BCD，AB=AD，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F．
（1）若∠ABE=60°，求∠CDA的大小；
（2）若AE=2，BE=1，CD=3，求四边形AECD的面积．
参考答案
1．A
解：∵点P到三边距离相等，
∴点P一定在三条角平分线的交点上，
故选：A．
2．B
解：连接PA、PB、PC．
∵PD＝PF，
∴PB是∠ABC的角平分线，
同理PA、PC分别是∠BAC，∠ACB的角平分线，
故P是△ABC角平分线交点，
故选：B．
3．B
解：过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，
∴DH=DF，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
false，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴△DEF的面积=△DGH的面积，
设△DEF的面积=△DGH的面积=S，
同理可证，Rt△ADF≌Rt△ADH，
∴△ADF的面积=△ADH的面积，
∴24-S=18+S，
解得，S=3，
故选：B．
4．C
解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴DE=CD，
∴S△ABD=falseAB?DE=false×18?DE=27，
解得：DE=3，
∴CD=3．
故选：C．
5．C
解：如图，连接false并延长，
∵false，false，
∴false，
∵false、false相邻的两外角平分线交于点false，
∴false，
∵false，false，
即false
∴false．
故选：false．
6．D
解：A、∵以a为半径画弧，∴false，故正确
B、根据作图步骤可知BD=BE，PD=PE，BP=BP，∴△BDP≌△BEP（SSS），故正确
C、∵分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在false内部交于点P，∴false，故正确
D、分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，其中false，否则两个圆弧没有交点，故错误
故选：D
7．C
解：如图，过点G作GH⊥AB于H．
由作图可知，GB平分∠ABC，
∵GH⊥BA，GC⊥BC，
∴GH=GC=1，
根据垂线段最短可知，GP的最小值为1，
故选：C．
8．B
解：∵false，∴false，又∵false平分false，false，∴由角平分线的性质得false．
故选：B
9．C
解：如图所示，过false作false于false，false于false，false于false，
false平分false，false于false，false于false，
false，
，
，
false平分false，
又false于false，false于false，
false，
false，
false平分false，
，
false平分false，
false，
，
故选：C．
10．D
解：如图，作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P2、P3、P4，内角平分线相交于点P1，根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等．
故选：D．
11．B
解：过false点分别作false、false、false的垂线，垂足分别为false、false、false，
false、false外角的平分线相交于点false，
false，false，
false，
false平分false．
故选：false．
12．D
解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥BO，PF⊥AO，
∵两把完全相同的长方形直尺的宽度相等，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（在角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选：D．
13．3
解：∵OC平分∠AOB，点P在OC上，且PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=3cm，
∴PE=PD=3．
故答案为：3．
14．2
解：如图，过点F作FG⊥AB于G．
由作图可知，FB平分∠ABC，
∵GF⊥BA，FC⊥BC，
∴GF=FC=2，
根据垂线段最短可知，HF的最小值为2，
故答案为：2．
15．30
解：作false于E，如图，
由作法得AP平分∠BAC，
∴false，
∴△ABD的面积=false．
故答案为：30．
16．false
解：∵false和false的平分线交于点false，
∴false，
又∵false，
∴false，
∵false，
∴false；
同理：false；
false；
……
按照这个规律可得：false，
故答案为：false．
17．5
解：连接OA，过点O分别作AC，AB的垂线，垂足分别为E、F，
∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于D，
∴OD＝OE＝OF，
∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝falseAB?OF＋falseBC?OD＋falseAC?OE＝falseOD（AB＋BC＋AC）＝false×OD×（25＋20＋15）＝150，解得：OD＝5cm．
故答案为：5．
18．2
解：过O作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，OF⊥AB于F，连接OC，
∵O为∠A、∠B的平分线的交点，
∴OD＝OF，OE＝OF，
∴OD＝OE＝OF，
设OD＝OE＝OF＝R，
∵S△ACB＝S△AOC＋S△BCO＋S△ABO，
则false×6×8＝false×6R＋false×8R＋false×10R，
解得R＝2，
即OD＝OE＝OF＝2，
∴点O到三边的距离为2，
故答案为：2．
19．见解析
解：∵公路AB和公路AC是∠BAC的两边，
∴根据∠BAC平分线上点性质，使加油站到公路AB和公路AC的距离相等， 可得加油站在∠BAC平分线上，
又∵在直线BC上找一点O修建加油站，
∴∠BAC的平分线与BC的交点满足条件，
以点A为圆心，任意长为半径，与角的两边交于两点，再以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，过A与这点作射线，交BC于O，
则点O为所求．
20．见解析．
∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90° ，
∵∠ABD+∠ACD=180°，且∠ABD+∠EBD=180° ，
∴∠EBD=∠ACD ，
在△BED和△CFD中
false
∴△BED≌△CFD(AAS) ，
∴BD=CD．
21．见解析
解：证明：false，false，
false，
在false和false中
false
false，
false，
false，false，
false平分false．
22．（1）见解析；（2）3
解：（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于E，
∴DE=DC．
在Rt△CDF与Rt△EDB中，
false，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF=EB．
（2）设CF=x，则AE=14-x，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD=DE．
在Rt△ACD与Rt△AED中，
false，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，即8+x=14-x，
解得x=3，即CF=3．
23．（1）120°；（2）7
解：（1）false平分false，false，false，false
false，false，
在Rt△AFD和Rt△AEB中，
false，
∴Rt△AFD≌Rt△AEB（HL），
false，
false，
false；
（2）∵Rt△AFD≌Rt△AEB，
false，false，
false，
false平分false，
false，
false，false，
false，
在Rt△AFC和Rt△AEC中，
false，
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），
false，
false四边形false的面积false．
一、单选题
1．false内一点false到三边距离相等，则点false一定是false（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条高的交点 D．三条中线的交点
2．如图，点false是false内一点，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，且false，则点false是（ ）
A．false三边垂直平分线的交点 B．false三条角平分线的交点
C．false三条高所在直线的交点 D．false三条中线的交点
3．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，且DE＝DG，S△ADG＝24，S△AED＝18，则△DEF的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
4．如图，false中，false，false平分false，交false于点false，false，false，则false的长为（ ）
A．4 B．8 C．3 D．6
5．如图，四边形false中，false，与false、false相邻的两外角平分线交于点E，若false，则false的度数为（ ）
A．45° B．60° C．40° D．50°
6．如图①，已知false，用尺规作它的角平分线．
如图②，步骤如下：
第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线false，false于点D，E；
第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在false内部交于点P；
第三步；画射线false，射线false即为所求．
下列叙述不正确的是（ ）
A．false B．作图的原理是构造false三角形全等
C．由第二步可知，false D．false的长
7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规分别截取BE，BD，使BE＝BD，分别以D、E为圆心、以大于false的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（ ）
A．无法确定 B．false C．1 D．2
8．如图，在false中，false平分false，交false于点D，false，垂足为点E，若false，则false的长为（ ）
A．false B．1 C．2 D．6
9．如图，四边形ABCD中，对角线AD平分∠BAC，false，false，则∠ADB的度数为（ ）
A．54° B．50° C．48° D．46°
10．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它的三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
11．如图，在false中，false的外角平分线与false的外角平分线相交于点false．则下列结论正确的是（ ）
A．false平分false B．false平分false C．false平分false D．false
12．如图，用一把长方形直尺的一边压住射线OB，再用另一把完全相同的长方形直尺的一边压住射线OA，两把直尺的另一边交于点P，则射线OP就是∠BOA的平分线的依据是（ ）
A．等腰三角形中线、角平分线、高线三线合一
B．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
C．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
D．在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
二、填空题
13．如图，false平分false，false在false上，false于false，false于false．若false，则false____false．
14．如图，在false中，false，利用尺规在false，false上分别截取false；分别以点false，false为圆心，以大于false的长为半径作弧，两弧在false内部交于点false；作射线false交false于点false．若false，点false为线段false上的一动点，则false的最小值是______．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于falseMN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是_______．
16．如图，在false中，false和false的平分线交于点false，得false；false和false的平分线交于点false，得false；……false和false的平分线交于点false，则false________度．
17．如图，在false中，false的平分线交于点O，false于D，如果false，false，false，且S△ABC＝150cm2，那么false_____false．
18．false中，false是直角，false是两内角平分线的交点，false，false，false，false到三边的距离是______.
三、解答题
19．在直线BC上找一点O修建加油站，使加油站到公路AB和公路AC的距离相等，请用尺规作图法确定这个加油站O的位置．（保留作图痕迹，不写做法）
20．已知：如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且∠ABD+∠ACD＝180°．
求证：BD＝CD．
21．如图所示，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BF=CE，求证：AD平分∠BAC．
22．如图，在false中，false平分false，false，false于点false，点false在false上，false．
（1）求证：false；
（2）若false，false，求false的长．
23．如图，CA平分∠BCD，AB=AD，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F．
（1）若∠ABE=60°，求∠CDA的大小；
（2）若AE=2，BE=1，CD=3，求四边形AECD的面积．
参考答案
1．A
解：∵点P到三边距离相等，
∴点P一定在三条角平分线的交点上，
故选：A．
2．B
解：连接PA、PB、PC．
∵PD＝PF，
∴PB是∠ABC的角平分线，
同理PA、PC分别是∠BAC，∠ACB的角平分线，
故P是△ABC角平分线交点，
故选：B．
3．B
解：过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，
∴DH=DF，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
false，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴△DEF的面积=△DGH的面积，
设△DEF的面积=△DGH的面积=S，
同理可证，Rt△ADF≌Rt△ADH，
∴△ADF的面积=△ADH的面积，
∴24-S=18+S，
解得，S=3，
故选：B．
4．C
解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴DE=CD，
∴S△ABD=falseAB?DE=false×18?DE=27，
解得：DE=3，
∴CD=3．
故选：C．
5．C
解：如图，连接false并延长，
∵false，false，
∴false，
∵false、false相邻的两外角平分线交于点false，
∴false，
∵false，false，
即false
∴false．
故选：false．
6．D
解：A、∵以a为半径画弧，∴false，故正确
B、根据作图步骤可知BD=BE，PD=PE，BP=BP，∴△BDP≌△BEP（SSS），故正确
C、∵分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在false内部交于点P，∴false，故正确
D、分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，其中false，否则两个圆弧没有交点，故错误
故选：D
7．C
解：如图，过点G作GH⊥AB于H．
由作图可知，GB平分∠ABC，
∵GH⊥BA，GC⊥BC，
∴GH=GC=1，
根据垂线段最短可知，GP的最小值为1，
故选：C．
8．B
解：∵false，∴false，又∵false平分false，false，∴由角平分线的性质得false．
故选：B
9．C
解：如图所示，过false作false于false，false于false，false于false，
false平分false，false于false，false于false，
false，
，
，
false平分false，
又false于false，false于false，
false，
false，
false平分false，
，
false平分false，
false，
，
故选：C．
10．D
解：如图，作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P2、P3、P4，内角平分线相交于点P1，根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等．
故选：D．
11．B
解：过false点分别作false、false、false的垂线，垂足分别为false、false、false，
false、false外角的平分线相交于点false，
false，false，
false，
false平分false．
故选：false．
12．D
解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥BO，PF⊥AO，
∵两把完全相同的长方形直尺的宽度相等，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（在角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选：D．
13．3
解：∵OC平分∠AOB，点P在OC上，且PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=3cm，
∴PE=PD=3．
故答案为：3．
14．2
解：如图，过点F作FG⊥AB于G．
由作图可知，FB平分∠ABC，
∵GF⊥BA，FC⊥BC，
∴GF=FC=2，
根据垂线段最短可知，HF的最小值为2，
故答案为：2．
15．30
解：作false于E，如图，
由作法得AP平分∠BAC，
∴false，
∴△ABD的面积=false．
故答案为：30．
16．false
解：∵false和false的平分线交于点false，
∴false，
又∵false，
∴false，
∵false，
∴false；
同理：false；
false；
……
按照这个规律可得：false，
故答案为：false．
17．5
解：连接OA，过点O分别作AC，AB的垂线，垂足分别为E、F，
∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于D，
∴OD＝OE＝OF，
∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝falseAB?OF＋falseBC?OD＋falseAC?OE＝falseOD（AB＋BC＋AC）＝false×OD×（25＋20＋15）＝150，解得：OD＝5cm．
故答案为：5．
18．2
解：过O作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，OF⊥AB于F，连接OC，
∵O为∠A、∠B的平分线的交点，
∴OD＝OF，OE＝OF，
∴OD＝OE＝OF，
设OD＝OE＝OF＝R，
∵S△ACB＝S△AOC＋S△BCO＋S△ABO，
则false×6×8＝false×6R＋false×8R＋false×10R，
解得R＝2，
即OD＝OE＝OF＝2，
∴点O到三边的距离为2，
故答案为：2．
19．见解析
解：∵公路AB和公路AC是∠BAC的两边，
∴根据∠BAC平分线上点性质，使加油站到公路AB和公路AC的距离相等， 可得加油站在∠BAC平分线上，
又∵在直线BC上找一点O修建加油站，
∴∠BAC的平分线与BC的交点满足条件，
以点A为圆心，任意长为半径，与角的两边交于两点，再以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，过A与这点作射线，交BC于O，
则点O为所求．
20．见解析．
∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90° ，
∵∠ABD+∠ACD=180°，且∠ABD+∠EBD=180° ，
∴∠EBD=∠ACD ，
在△BED和△CFD中
false
∴△BED≌△CFD(AAS) ，
∴BD=CD．
21．见解析
解：证明：false，false，
false，
在false和false中
false
false，
false，
false，false，
false平分false．
22．（1）见解析；（2）3
解：（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于E，
∴DE=DC．
在Rt△CDF与Rt△EDB中，
false，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF=EB．
（2）设CF=x，则AE=14-x，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD=DE．
在Rt△ACD与Rt△AED中，
false，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，即8+x=14-x，
解得x=3，即CF=3．
23．（1）120°；（2）7
解：（1）false平分false，false，false，false
false，false，
在Rt△AFD和Rt△AEB中，
false，
∴Rt△AFD≌Rt△AEB（HL），
false，
false，
false；
（2）∵Rt△AFD≌Rt△AEB，
false，false，
false，
false平分false，
false，
false，false，
false，
在Rt△AFC和Rt△AEC中，
false，
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），
false，
false四边形false的面积false．