2.1 等式性质与不等式性质
基础过关练
题组一 用不等式(组)表示不等关系
1.下列说法正确的是( )
A.某人的月收入x元不高于2
000元可表示为“x<2
000”
B.小明身高x
cm,小华身高y
cm,则小明比小华矮可表示为“x>y”
C.某变量x至少是a可表示为“x≥a”
D.某变量y不超过a可表示为“y≥a”
2.(2020福建莆田二中期末)某同学参加期末模拟考试,考后对自己的语文和数学成绩进行了估计:语文成绩x高于85分,数学成绩y不低于80分,用不等式组可以表示为( )
A.
B.
C.
D.
3.(2020山东威海期中)一辆汽车原来每天行驶x
km,如果该汽车现在每天行驶的路程比原来多19
km,那么现在在8天内它的行程将超过2
200
km,用不等式表示为 .?
题组二 实数的大小比较
4.(2020河北正定一中期中)已知a1,a2∈{x|0
A.MB.M>N
C.M=N
D.不确定
5.(2020安徽六安中学月考)若x≠-2且y≠1,则M=x2+y2+4x-2y的值与-5的大小关系是( )
A.M>-5
B.M<-5
C.M≥-5
D.M≤-5
6.若x∈R,则与的大小关系为 .?
7.设P=,Q=-,R=-,则将P,Q,R按从大到小的顺序排列为 .?
8.某家庭准备利用假期到某地旅游,有甲、乙两家旅行社提供两种优惠方案.甲旅行社的方案是:如果户主买全票一张,其余人可享受五五折优惠.乙旅行社的方案是:家庭旅游算集体票,可按七五折优惠.如果这两家旅行社一张全票的票价相同,那么该家庭选择哪家旅行社外出旅游合算?
题组三 不等式的性质及应用
9.(2020北京人大附中高二期中)已知a<0A.a+b<0
B.<1
C.>1
D.>
10.(2020天津南开高一期末)“<”是“bA.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
11.(2020广东东莞高一期末)已知实数a,b,c满足0A.a+c>b+c
B.ac>bc
C.acD.bc12.若<<0,则下列结论不正确的是( )
A.a2B.abC.a+b<0
D.|a|+|b|>|a+b|
13.若a<0,-1A.a>ab>ab2
B.ab>a>ab2
C.ab2>ab>a
D.ab>ab2>a
题组四 求代数式的取值范围
14.(2020北京师大附中高二期中)设实数x,y满足3A.4B.4C.5D.515.已知1216.已知217.已知-3能力提升练
题组一 实数的大小比较
1.(2020吉林长春榆树一中五校高二期末,)实数x,y,z满足x+y+z=0,xyz>0,若T=++,则( )
A.T>0
B.T<0
C.T=0
D.T≥0
2.()若p=-,q=-,其中a≥0,则p,q的大小关系是( )
A.pB.p=q
C.p>q
D.不确定
3.(2020吉林省实验中学高二期中,)已知a,b,x均为正数,且a>b,则 ?.(填“>”“<”或“=”)
4.(2020辽宁大连二十四中高三模拟,)已知a+b>0,则+与+的大小关系是 .?
5.(2019山东济宁一中高二阶段检测,)已知a,b都是正数,并且a≠b,求证:a5+b5>a2b3+a3b2.
题组二 不等式的性质及应用
6.(2020北京朝阳高一期末,)下列命题为真命题的是( )
A.若a>b>0,则ac2>bc2
B.若a>b,则a2>b2
C.若aD.若a
7.(多选)(2020山东济南高一期末,)若a>b>0,dA.ac>bc
B.a-d>b-c
C.<
D.a3>b3
8.(多选)(2020福建三明一中高一期中,)已知实数a,b,c满足cA.ab>ac
B.c(b-a)>0
C.ac(a-c)<0
D.cb29.(多选)()设a,b为正实数,则下列命题正确的是( )
A.若a2-b2=1,则a-b<1
B.若-=1,则a-b<1
C.若|-|=1,则|a-b|<1
D.若|a|≤1,|b|≤1,则|a-b|≤|1-ab|
10.(2020陕西咸阳中学高一检测,)已知不等式:①a2b0>;③a30>b且a2>b2,则其中正确的不等式的个数是 .?
题组三 求代数式的取值范围
11.()已知2A.①③④
B.①②④
C.①②⑤
D.①③⑥
12.(2020浙江绍兴一中高一月考,)已知实数x,y满足-4≤x-y≤-1,-1≤4x-y≤5,则M=9x-y的取值范围是( )
A.-7≤M≤26
B.-1≤M≤20
C.4≤M≤15
D.1≤M≤15
13.()若实数m,n满足求3m+4n的取值范围.
答案全解全析
基础过关练
1.C 对于A,x应满足x≤2
000,故A错误;对于B,x,y应满足x2.A ∵语文成绩x高于85分,∴x>85.
∵数学成绩y不低于80分,∴y≥80,
∴故选A.
3.答案 8(x+19)>2
200
解析 ∵汽车原来每天行驶x
km,现在每天行驶的路程比原来多19
km,
∴现在汽车每天行驶的路程为(x+19)km,则现在在8天内它的行程为8(x+19)km,又8天内它的行程将超过2
200
km,则满足8(x+19)>2
200.故答案为8(x+19)>2
200.
4.B 由题意得00,故M>N.故选B.
5.A M-(-5)=x2+y2+4x-2y+5=(x+2)2+(y-1)2.
∵x≠-2,y≠1,∴(x+2)2>0,(y-1)2>0,因此(x+2)2+(y-1)2>0.故M>-5.
6.答案 ≤
解析 ∵-==≤0,∴≤.
7.答案 P>R>Q
解析 ∵P-R=-(-)=2->0,∴P>R.
R-Q=--(-)=(+)-(+),
∵(+)2=9+2,(+)2=9+2,
∴+>+,∴R>Q,
∴P>R>Q,故答案为P>R>Q.
8.解析 设该家庭除户主外,还有x(x∈N
)人参加旅游,甲、乙两家旅行社收费总金额分别为y1元、y2元,一张全票的票价为a元,则只需按两家旅行社的优惠方案分别计算出y1,y2的值,再比较y1,y2的大小即可.
∵y1=a+0.55ax,y2=0.75(x+1)a,而y1-y2=a+0.55ax-0.75(x+1)a=0.2a(1.25-x),
∴当x>1.25时,y1y2.
又x为正整数,所以当x=1时,y1>y2,即两口之家应选择乙旅行社;当x>1(x∈N
)时,y19.B 因为a<010.B 取a=2,b=1,<成立,但b“b-a>0,由不等式的性质得->-,∴<,即“b11.C 因为012.D ∵<<0,∴b∴b2>a2,ab∵b13.D ∵-1b2>0>b>-1,即bab2>a.
14.B 由已知得6<2x<8,-2<-y<-1,
故4<2x-y<7.故选B.
15.答案
解析 由0<15根据不等式的性质可得12×16.答案 {M|7解析 ∵217.解析 ∵-3∴-3∴1<-b<3,a-b>0,
∴-3+1∴0∵-2能力提升练
1.B 因为x+y+z=0且xyz>0,不妨设x>0,则y<0,z<0,则T=++===.因为x>0,z<0,所以xz<0.又-y2<0,所以-y2+xz<0.又xyz>0,所以T<0.故选B.
2.A 由题意知p-q=+-(+).
∵(+)2-(+)2
=2-2,
且(a+3)(a+6)-(a+4)(a+5)=-2<0,a≥0,∴2-2<0,即(+)2-(+)2<0,
∴p-q=+-(+)<0,故p3.答案 <
解析 -==.
因为a>0,a>b,x>0,所以x+a>0,b-a<0,
所以<0,所以<.
4.答案 +≥+
解析 +-=+=(a-b)·=.
∵a+b>0,(a-b)2≥0,a2b2>0,
∴≥0,∴+≥+.
5.证明 (a5+b5)-(a2b3+a3b2)
=(a5-a3b2)+(b5-a2b3)
=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a3-b3)(a2-b2)
=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2).
∵a,b都是正数,∴a+b>0,a2+ab+b2>0,
又∵a≠b,∴(a-b)2>0,
∴(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)>0,
即a5+b5>a2b3+a3b2.
6.D 对于A,当c=0时,ac2=bc2,所以A不是真命题;对于B,当a=0,b=-2时,a>b,但a2ab>b2,所以C不是真命题;对于D,若a,所以D是真命题.故选D.
7.BD 因为c<0,a>b,所以ac-c>0,又a>b,所以a-d>b-c,故B正确;由于d,故C错误;因为a>b>0,所以a3>b3,故D正确.
8.ABC 因为c0,所以ab>ac,故A一定成立;
又b-a<0,所以c(b-a)>0,故B一定成立;
又a-c>0,ac<0,所以ac(a-c)<0,故C一定成立;
当b=0时,cb2=ab2,当b≠0时,有cb29.AD 对于A,若a,b为正实数,则a2-b2=1?a-b=?a-b>0?a>b>0,故a+b>a-b>0,假设a-b≥1,则≥1?a+b≤1,这与a+b>a-b>0相矛盾,故a-b<1成立,所以A正确;对于B,取a=5,b=,则-=1,但a-b=5->1,所以B不正确;对于C,取a=4,b=1,则|-|=1,但|a-b|=3>1,所以C不正确;对于D,因为|a|≤1,|b|≤1,所以(a-b)2-(1-ab)2=a2+b2-1-a2b2=(a2-1)(1-b2)≤0,即|a-b|≤|1-ab|,所以D正确.故选AD.
10.答案 2
解析 因为a>0>b且a2>b2,所以a>|b|>0.①化简a2bb2,显然正确;②>0>显然正确;③化简a311.D a=(a+b)+(a-b).
∵2∵00<(a-b)<,即-<-(a-b)<0,则12.B 令m=x-y,n=4x-y,则
则9x-y=n-m.
∵-4≤m≤-1,∴≤-m≤.
∵-1≤n≤5,∴-≤n≤.
因此-1≤n-m≤20,即-1≤9x-y≤20,故选B.
13.解析 令3m+4n=x(2m+3n)+y(m-n)=(2x+y)m+(3x-y)n,
则解得
因此3m+4n=(2m+3n)+(m-n).
由-1≤2m+3n≤2得-≤(2m+3n)≤.
由-3所以--<3m+4n≤+,
即-2<3m+4n≤3.(共18张PPT)
2.1
等式性质与不等式性质
通过学习本节内容,能从具体问题中理解不等关系,体会不等式与等式的异同点.学
习时还应掌握以下几点知识:
1.理解不等式的概念,能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.
2.梳理等式的性质,掌握不等式的性质,并能运用这些性质解决有关问题.
3.理解两实数大小关系的基本事实,初步学会用作差法比较两实数的大小.
在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系,不等关系
常用① 不等式????表示.
不等关系
a大于b
a小于b
a不大于b
a不小于b
a不等于b
符号表示
a② >????b
a③ a④????≤????b
a⑤????≥????b
a⑥????≠????b
不等关系
依据
a>b?⑦????a-b>0????;a=b?⑧????a-b=0????;
a结论
确定任意两个实数a,b的大小关系,只需确定它们
的⑩ 差????与? 0????的大小关系
两实数大小关系的基本事实
等式
不等式
对称性
a=b?b=a
a>b??????b传递性
a=b,b=c?a=c
a>b,b>c??????a>c????
加法
a=b?a±c=b±c
a>b??????a+c>b+c????
a>b,c>d??????a+c>b+d????
等式与不等式的性质
等式
不等式
乘法
a=b?ac=bc;
a=b,c≠0?
?=?
a>b,c>0??????ac>bc????;
a>b,c<0??????aca>b>0,c>d>0??????ac>bd????
a>b>0??????an>bn????(n∈N,n≥
2)
续表
1.若?>1,则a>b.?(????? )
提示:若?>1,则当b>0时,a>b;当b<0时,a2.a与b的差是非负实数,可表示为a-b>0.?(????? )
提示:因为x2-x+1=?+?>0,所以x2>x-1.
3.?x∈R,都有x2>x-1.?(????? )
提示:在等式中,若a=b,则ac=bc,结论是正确的;但在不等式中,若a>b,则当c>0时,ac>
bc;当c=0时,ac=bc;当c<0时,ac4.a,b,c为实数,在等式中,若a=b,则ac=bc;在不等式中,若a>b,则ac>bc.?(????? )
5.a,b,c为实数,若ac2>bc2,则a>b.?( √ )
提示:若ac2>bc2,则c2≠0,因此c2>0,从而?>0,所以ac2×?>bc2×?,即a>b.
判断正误，正确的画“√”
，错误的画“
?”
.
如何比较实数(代数式)的大小
中国某高中生暑假去加拿大旅行,中午在一景点吃比萨,他点了个直径为9英寸
的比萨.过了一会儿,服务员客气地端来了两份直径5英寸的比萨,说:“9英寸的比
萨卖完了,给您两个5英寸的,多送您1英寸表示歉意.”
这名中国高中生听后一愣,客气地请服务员叫来了店老板,说:“圆的面积公式为S=
πr2,算下来9英寸的比萨面积约是63.62平方英寸,而5英寸的比萨面积约是19.63平
方英寸,两个5英寸的面积加起来是39.26平方英寸,你给我三个比萨我还亏着呢!怎
么能说多送我一英寸呢?”
老板听后无语,最后给了他四个5英寸的比萨,并竖起拇指道:“中国高中生真厉
害!”
问题
1.你能把服务员犯的错误用不等式表示出来吗?
提示:
服务员错误地认为:若a+b>c,则a2+b2>c2.
2.文中的高中生是如何比较出比萨的大小的?
提示:
用作差法比较比萨面积的大小.
?
作差比较法
作商比较法
依据
a-b>0?a>b;
a-b<0?aa-b=0?a=b
a>0,b>0且?>1?a>b;
a>0,b>0且?<1?a应用范围
数(式)的大小不明显,作差后可
化为积或商的形式
同号两数比较大小
步骤
①作差;
②变形;
③判断符号;
④下结论
①作商;
②变形;
③判断商与1的大小关系;
④下结论
比较实数(代数式)大小的方法
变形技巧
①分解因式;
②平方后再作差;
③配方法;
④分子(分母)有理化
按照同类的项进行分组
??
比较下列两组数的大小,并说明理由.
(1)?+?与?+?;
(2)当x>1时,x3与x2-x+1.
思路点拨
作差?变形?判断符号?确定大小.
解析????(1)(?+?)2-(?+?)2=17+2?-(17+2?)=2?-2?>0,
∴(?+?)2>(?+?)2,
∴?+?>?+?.
(2)x3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1=x2(x-1)+(x-1)
=(x-1)(x2+1),
∵x>1,∴x-1>0,又x2+1>0,∴x3-(x2-x+1)>0,∴x3>x2-x+1.
??
已知a>b>0,比较?与?的大小.
思路点拨
作商→变形→判断商与1的大小关系→确定大小.
解析????∵a>b>0,∴?>0,?>0,
∴?÷?=?·?=?=?=1+?>1,∴?>?.
已知-4≤x-y≤-1,-2≤x+y≤3,求2x-y的取值范围.
问题
1.能否用x-y和x+y表示出2x-y?
提示:能,用待定系数法.
2.由问题1的结论能否求出2x-y的取值范围?
提示:能,利用不等式的性质可以求出2x-y的取值范围.
如何利用不等式的性质求代数式的取值范围
3.某同学用以下方法求解了情境探究中的问题,请指出他错在了哪里.
解:-4≤x-y≤-1①,-2≤x+y≤3②,
由①+②得-6≤2x≤2③,
由②得-3≤-x-y≤2④,
由①+④并整理得-?≤-y≤?⑤,
由③+⑤得-?≤2x-y≤?.
故2x-y的取值范围是-?≤2x-y≤?.
提示:他多次使用了同向不等式相加的性质,扩大了2x-y的取值范围.
?
1.利用几个代数式的取值范围来确定某个代数式的取值范围是一类常见的综合问
题,对于这类问题要注意“同向不等式的两边可以相加”,但这种转化不是等价变
形,在一个解题过程中多次进行这种转化后,就有可能扩大真实的取值范围,解题时
务必小心、谨慎,同时要注意正确使用不等式的性质.
解决此类问题,可先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,再通过一
次不等关系的运算求得待求式的取值范围,可以避免错误.
2.利用不等式性质求范围的一般思路:
(1)借助性质,转化为同向不等式相加进行解答;
(2)借助所给条件整体使用,切不可随意拆分所给条件;
(3)结合不等式的传递性进行求解.
??
(1)已知1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范围;
(2)已知-1(3)已知x,y∈R,且3≤xy2≤8,4≤?≤9,求?的取值范围.
思路点拨
先将要求范围的解析式用条件中的解析式表示出来,再利用已知范围进行不等式
运算求未知代数式的取值范围.
解析????(1)设m(a+b)+n(a-b)=4a-2b,整理得(m+n)a+(m-n)b=4a-2b,
则?解得?
∴4a-2b=(a+b)+3(a-b).
∵3≤3(a-b)≤6①,2≤a+b≤4②,
∴①+②,得5≤4a-2b≤10.
故4a-2b的取值范围为5≤4a-2b≤10.
(2)∵-1又-1∴-2又∵a∴a-b<0,∴-2故a-b的取值范围为-2(3)设?=?(xy2)n,
则x3y-4=x2m+ny2n-m,
∴?
解得?
∴?=?(xy2)-1.
∵16≤?≤81①,?≤(xy2)-1≤?②,
∴①×②,得2≤?(xy2)-1≤27.
故?的取值范围是2≤?≤27.