2.2 基本不等式
基础过关练
题组一 对基本不等式的理解
1.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式恒成立的是( )
A.a2+b2>2ab
B.a+b≥2
C.+>
D.+≥2
2.不等式(x-2y)+≥2成立的前提条件为( )
A.x≥2y
B.x>2y
C.x≤2y
D.x<2y
3.下列各式中,对任何实数x都成立的一个式子是( )
A.x+1≥2
B.x2+1>2x
C.≤1
D.x+≥2
4.(2020北京东城高一期末)“a,b为正数”是“a+b>2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
题组二 利用基本不等式比较大小
5.已知a,b∈R,则a2+b2与2|ab|的大小关系是( )
A.a2+b2≥2|ab|
B.a2+b2=2|ab|
C.a2+b2≤2|ab|
D.a2+b2>2|ab|
6.设0
A.
B.a2+b2
C.2ab
D.a
7.若0A.b>>a>
B.b>>>a
C.b>>>a
D.b>a>>
8.若a>b>c,则与的大小关系是 .?
题组三 利用基本不等式求最值
9.(2020浙江诸暨高二期末)已知函数y=x+(x>1),则函数的最小值等于( )
A.4
B.4+1
C.5
D.9
10.若正数x,y满足x+4y-xy=0,则当x+y取得最小值时,x的值为( )
A.9
B.8
C.6
D.3
11.对任意正数x,不等式ax≤x2+1恒成立,则实数a的最大值为( )
A.1
B.
C.2
D.
12.(2020福建南平高一期末)若a,b都是正数,则的最小值为( )
A.5
B.7
C.9
D.13
13.(2020安徽合肥一中、合肥六中高一期末)若正数x,y满足x+y=1,则+的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
14.设0题组四 利用基本不等式证明不等式
设x>0,求证:x+≥.
16.(2020山东烟台高二期末)已知a,b,c均为正数,a,b,c不全相等.
求证:++>a+b+c.
17.已知x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,求证:>8.
18.已知a,b,c为不全相等的正数,且abc=1.
求证:++<++.
题组五 利用基本不等式解决实际问题
19.某人要用铁管做一个形状为直角三角形且面积为1
m2的铁架框(铁管的粗细忽略不计),在下面四种长度的铁管中,最合理(够用,又浪费最少)的是( )
A.4.6
m
B.4.8
m
C.5
m
D.5.2
m
20.(2020广东广州荔湾高二期末)为满足人民日益增长的美好生活需要,实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求,某大型广场计划进行升级改造.改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体A1B1C1D1,该项目由矩形核心喷泉区ABCD(阴影部分)和四周的绿化带组成.规划核心喷泉区ABCD的面积为1
000
m2,绿化带的宽分别为2
m和5
m(如图所示).当整个项目A1B1C1D1占地面积最小时,核心喷泉区的边BC的长度为( )
A.20
m
B.50
m
C.10
m
D.100
m
21.某公司租地建仓库,每月租地费用与仓库到车站的距离成反比,而每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比.若在距离车站10
km处建仓库,则每月的租地费用和运输费用将分别为2万元和8万元.那么要使每月的两项费用之和最小,仓库应建在离车站 处.?
22.某建筑公司用8
000万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少12层,每层建筑面积为4
000平方米的楼房.经初步估计得知,若将楼房建为x(x≥12,x∈N
)层,则每平方米的平均建筑费用s=3
000+50x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?每平方米的平均综合费用的最小值是多少?
注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=
能力提升练
题组一 利用基本不等式求最值
1.(2020广东惠州高二期末,)已知x>0,y>0,且2x+y=1,则xy的最大值是( )
A.
B.4
C.
D.8
2.(2020山东昌乐一中高二月考,)设a,b满足2a+3b=6(a>0,b>0),则+的最小值为( )
A.
B.
C.
D.4
3.(多选)(2020广东东莞高二期末,)若正数a,b满足a+b=1,则下列说法正确的是( )
A.ab有最大值
B.+有最小值
C.+有最小值4
D.a2+b2有最小值
4.(2020浙江丽水高一期末,)设正数a,b满足a2+4b2+=4,则a= ,b= .?
5.(2020辽宁辽南协作校联考高二期末,)设正数a,b,c满足a+b≥c,则+的最小值为 .?
6.(2020天津南开高一期末,)已知a>0,b>0,且a+b=8,则的最大值是 .?
7.(2020山东菏泽高二期末,)已知x>y>0,求x2+的最小值.
题组二 利用基本不等式证明不等式
8.()已知a,b为正数,求证:+≥.
9.()若a>b,且ab=2,求证:≥4.
10.(2020河北沧州高二期中,)已知a,b,c均为正数,求证:++≥3.
11.()(1)已知a,b,c∈R,求证:++≥(a+b+c);
(2)若00,b>0,求证:+≥(a+b)2.
题组三 基本不等式在实际问题中的应用
12.()《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一方法,很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明,因此这种方法也被称之为“无字证明”.如图所示,AB是半圆O的直径,点C是AB上一点(不同于A,B,O),点D在半圆O上,且CD⊥AB,CE⊥OD于点E,设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的“无字证明”为( )
A.≤(a>0,b>0)
B.<(a>0,b>0,a≠b)
C.≤(a>0,b>0)
D.<<(a>0,b>0,a≠b)
13.()一批货物随17列火车从A市均以v千米/时的速度匀速直达B市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,每两列火车的间距不得小于千米(火车的长度忽略不计),那么这批货物全部运到B市,最快需要 小时.?
14.(2020山东滨州高一上期末,)物联网(Internet
of
Things,缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体,让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络,其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等,具有十分广阔的市场前景.现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费为y1(单位:万元),仓库到车站的距离为x(单位:千米),x>0,其中y1与x+1成反比,每月库存货物费y2(单位:万元)与x成正比,若在距离车站9千米处建仓库,则y1和y2分别为2万元和7.2万元.这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处,才能使两项费用之和最少?最少费用是多少?深度解析
15.()2020年1月,在抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情中,武汉市为了落实“四类人员”分类集中管理措施,迅速启动“方舱医院”建设.某单位决定用募捐的18.8万元把一会展中心(长方体状,高度恒定)改造成方舱医院,假设方舱医院的后墙利用原墙不花钱,正面用一种复合板隔离,每米造价40元,两侧用砖砌墙,每米造价45元,顶部每平方米造价20元.问:
(1)改造后方舱医院的面积S的最大值是多少?
(2)为使S达到最大,且实际造价又不超过预算,那么正面复合板应设计为多长?
答案全解全析
基础过关练
1.D ∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴A不符合题意;当a<0,b<0时,明显B,C不符合题意;∵ab>0,∴>0,>0,∴+≥2=2,当且仅当a=b时等号成立,∴D符合题意.
2.B 因为不等式成立的前提条件是x-2y和均为正数,所以x-2y>0,即x>2y,故选B.
3.C 对于A,当x≤0时,无意义,故A不成立;对于B,当x=1时,x2+1=2x,故B不成立;对于C,x2+1≥1,所以≤1成立;对于D,当x<0时,不成立.故选C.
4.D 若a,b为正数,取a=1,b=1,则a+b=2,则“a,b为正数”不是“a+b>2”的充分条件;若a+b>2,取a=1,b=0,则b不是正数,则“a,b为正数”不是“a+b>2”的必要条件.故“a,b为正数”是“a+b>2”的既不充分也不必要条件,故选D.
5.A ∵a2+b2-2|ab|=(|a|-|b|)2≥0,∴a2+b2≥2|ab|(当且仅当|a|=|b|时,等号成立).
6.B 解法一:因为02a,所以a<.又因为a2+b2≥2ab,所以四个数中的最大数一定不是a和2ab.又因为1=a+b>2,所以ab<,所以a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab>1-=,
即a2+b2>,故选B.
解法二:特值检验法:取a=,b=,则2ab=,a2+b2=.因为>>>,所以a2+b2最大,故选B.
7.C ∵0a+b,∴b>>.
∵b>a>0,∴ab>a2,∴>a.
故b>>>a.
8.答案 ≥
解析 因为a>b>c,所以=≥,当且仅当a-b=b-c,即2b=a+c时,等号成立.
9.C 因为x>1,所以y=x+=(x-1)++1≥2+1=5.
当且仅当x-1=,即x=3时,等号成立.故选C.
10.C ∵x>0,y>0,x+4y=xy,∴+=1,
∴x+y=(x+y)=5++≥5+2=9,当且仅当x=2y时,等号成立,此时解得故选C.
11.C ∵x>0,ax≤x2+1,
∴a≤=x+.
又∵x+≥2=2当且仅当x=,即x=1时取得等号,∴a≤2,故a的最大值为2.
12.C 因为a,b都是正数,所以=5++≥5+2=9(当且仅当b=2a时等号成立),故选C.
13.D ∵x>0,y>0,x+y=1,∴x+1+y=2,
∴+=·=·≥(5+2)=当且仅当x=,y=时,等号成立,故选D.
14.答案 4
解析 ∵02>0,∴y=≤==4,
当且仅当3x=8-3x,即x=时等号成立.
∴当x=时,y=有最大值4.
15.证明 因为x>0,所以x+>0,
所以x+=x+=x++-≥2-=.
当且仅当x+=,即x=时,等号成立.故x>0时,x+≥.
16.证明 ∵a>0,b>0,c>0,
∴+≥2=2c,
+≥2=2a,
+≥2=2b.
当且仅当a=b=c时上式等号均成立,
又a,b,c不全相等,
故上述等号至少有一个不成立.
∴++>a+b+c.
17.证明 因为x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,
所以-1==>,①
-1==>,②
-1==>,③
由①×②×③,
得>8.
18.证明 因为a,b,c都是正数,且abc=1,所以+≥2=2,
+≥2=2,
+≥2=2,
三个不等式左、右两边分别相加,得
2≥2(++),
当且仅当a=b=c时,等号成立.
又因为a,b,c不全相等,
所以++<++.
19.C 设直角三角形两直角边长分别为x
m,y
m,则xy=1,即xy=2.
周长l=x+y+≥2+=2+2≈4.83(m),
当且仅当x=y时等号成立.结合实际问题,可知选C.
20.B 设BC=x
m,则CD=
m,
所以=(x+10)
=1
040+4x+
≥1
040+2=1
440,
当且仅当4x=,即x=50时,等号成立,
所以当x=50时,整个项目占地面积最小.故选B.
21.答案 5
km
解析 设仓库建在离车站x
km处,每月租地费用y1=(k1≠0),每月运输费用y2=k2x(k2≠0).把x=10,y1=2代入y1=,得k1=20;把x=10,y2=8代入y2=k2x,得k2=,
故每月两项费用之和y=+x≥2=8,当且仅当=x,即x=5时等号成立.
22.解析 设楼房每平方米的平均综合费用为y元.
依题意得y=s+=50x++3
000(x≥12,x∈N
).
因为50x++3
000
≥2×+3
000=5
000,
当且仅当50x=,即x=20时,等号成立,
所以当x=20时,y取得最小值5
000.
所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为20层,每平方米的平均综合费用的最小值为5
000元.
能力提升练
1.C 由题意得,xy=×2xy≤×=×=,
当且仅当x=,y=时等号成立,所以xy的最大值是.故选C.
2.A ∵2a+3b=6,∴+=1,
∴+==++≥+2=+2=,
当且仅当=,即a=b=时,等号成立,所以+的最小值为.
3.AC ∵a>0,b>0,且a+b=1,
∴1=a+b≥2,∴ab≤当且仅当a=b=时,等号成立,
∴ab有最大值,∴A正确;
∵(+)2=a+b+2≤a+b+2·=2当且仅当a=b=时,等号成立,
∴+≤,即+有最大值,∴B错误;
∵+==≥=4当且仅当a=b=时,等号成立,∴+有最小值4,∴C正确;
∵a2+b2≥2ab当且仅当a=b=时,等号成立,2ab≤,∴a2+b2的最小值不是,∴D错误.故选AC.
4.答案 1;
解析 a2+4b2+=(a-2b)2+4ab+≥(a-2b)2+2=(a-2b)2+4,当且仅当a-2b=0且4ab=,即a=1,b=时,等号成立,
所以a=1,b=.
5.答案 -
解析 ∵a,b,c是正数,且满足a+b≥c,
∴a+2b≥b+c,
∴+≥+=+
=+-≥-,
当且仅当a+b=c且b=a时等号成立.
故答案为-.
6.答案
解析 ∵a>0,b>0,且a+b=8,(a+b)·=5++≥5+2=9,
当且仅当=,即a=2b时,等号成立,所以+的最小值为,所以==的最大值为=3×=.故答案为.
7.解析 因为x>y>0,所以x-y>0,
所以0所以x2+
≥x2+
≥2=8,
当且仅当即时,等号成立,
故x2+的最小值为8.
8.证明 因为a>0,b>0,
所以(2a+b)=6++≥6+2=6+4=2(+1)2(当且仅当b=2a时,等号成立).
因为2a+b>0,
所以+≥.
9.证明 ===(a-b)+≥2=4,当且仅当a=1+,b=-1+或a=1-,b=-1-时等号成立.
所以≥4.
10.证明 ∵a,b,c均为正数,
∴+≥2(当且仅当a=2b时等号成立),
+≥2(当且仅当a=3c时等号成立),
+≥2(当且仅当2b=3c时等号成立),
以上三式相加,得+++≥6(当且仅当a=2b=3c时等号成立),
∴+++-1≥3(当且仅当a=2b=3c时等号成立),
即++≥3(当且仅当a=2b=3c时等号成立).
11.证明 (1)∵≤,∴≥=(a+b)(当且仅当a=b时,等号成立).
同理,≥(b+c)(当且仅当b=c时,等号成立),≥(a+c)(当且仅当a=c时,等号成立).
三式相加得++≥(a+b)+(b+c)+(a+c)
=(a+b+c)(当且仅当a=b=c时,等号成立).
(2)∵00.
又∵a>0,b>0,
∴左边=(x+1-x)=a2+b2+·b2+·a2≥a2+b2+2=a2+b2+2ab=(a+b)2=右边当且仅当·b2=·a2,即x=时,等号成立.
故+≥(a+b)2.
12.D 由AC=a,BC=b,可得半圆O的半径DO=,
易得DC==,
DE==.
∵DE∴<<(a>0,b>0,a≠b).
故选D.
13.答案 8
解析 设这批货物从A市全部运到B市需要的时间为t小时,则
t==+
≥2=8(小时),
当且仅当=,即v=100时,等号成立,所以这批货物全部运到B市,最快需要8小时.
14.解析 设y1=(k≠0),y2=mx(m≠0),其中x>0.
当x=9时,y1==2,y2=9m=7.2,
解得k=20,m=0.8,
所以y1=,y2=0.8x,
设两项费用之和为z(单位:万元),
则z=y1+y2=+0.8x
=+0.8(x+1)-0.8
≥2-0.8
=7.2.
当且仅当=0.8(x+1),即x=4时,等号成立,
所以这家公司应该把仓库建在距离车站4千米处才能使两项费用之和最少,最少费用是7.2万元.
解题模板 已知函数类型的应用问题,可以用待定系数法求出解析式;含分式的函数求最大(小)值,往往利用基本不等式求解,解题时要注意验证基本不等式成立的三个条件.
15.解析 (1)设正面复合板长为x
m,侧面长为y
m,总造价为z元,则方舱医院的面积
S=xy,总造价z=40x+2×45y+20xy=40x+90y+20xy.
由条件知z≤188
000,即4x+9y+2xy≤18
800.
∵x>0,y>0,
∴y≤.
令t=9+2x,则x=(t>9),
∴S=xy≤·
=
=-+9
418
≤-2+9
418
=-2×3×97+9
418
=8
836,
当且仅当t=,即t=291时等号成立.
故S的最大值为8
836
m2.
(2)由(1)知,当S=8
836
m2时,t=291,t=9+2x,∴x=141,则y==.
∴方舱医院的面积S达到最大值8
836
m2,实际造价又不超过预算时,正面复合板的长应设计为141
m.(共17张PPT)
2.2
基本不等式
1.掌握基本不等式?≤?(a,b>0).
2.掌握基本不等式及其变形的应用,能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大
小.
3.能用基本不等式解决简单的最大(小)值问题,能够运用基本不等式解决生活中的
应用问题.
不等式
等号成立的条件
注意
a2+b2≥
① 2ab????
当且仅当②????a=b????时,等号成
立
a,b可以是任意实数
?≤
③?????????
当且仅当④????a=b????时,等号成
立
a,b只能是正数
两个重要不等式
1.已知x,y是正数,如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值,为⑤ 2?????.
2.已知x,y是正数,如果和x+y是定值S,那么当x=y时,积xy有最大值,为⑥?????????.
上述命题可归纳为口诀:积定和最小,和定积最大.
3.运用以上结论求最值要注意下列三个条件:
①一正:要求各数均为⑦ 正数????;
②二定:要求和或积为⑧ 定值????;
③三相等:要保证具备⑨ 等号????成立的条件.
基本不等式与最值?
设a>0,b>0,则有?≤?≤?≤?(当且仅当a=b时取等号).
其中?为调和平均数,?为几何平均数,?为算术平均数,?为平方平
均数.
基本不等式链
1.当a,b同号时,?+?≥2.?( √ )
2.函数y=x+?的最小值为2.?(????? )
3.6和8的几何平均数为2?.?(????? )
4.当a,b,c∈R时,a2+b2+c2≥ab+bc+ca.?( √ )
提示:∵2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ca)=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0,∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
5.不等式a2+b2≥2ab与?≤?有相同的适用范围.?(????? )
提示:不等式a2+b2≥2ab对任意实数a,b都成立,而?≤?只有当a,b都是正数(特
殊时可取0)时成立.
6.已知m>0,n>0,且mn=81,则m+n的最小值为18.( √ )
提示:因为m>0,n>0,所以?≤?,即m+n≥2?=18,当且仅当m=n=9时取等号,
故m+n的最小值为18.
判断正误，正确的画“√”
，错误的画“
?”
.
如何理解基本不等式中等号成立的三个条件
某房地产开发公司计划在某楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由形状为
长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的
面积为4
000
m2,人行道的宽分别为4
m和10
m(如图所示).
?
问题
1.设休闲区的长和宽的比?=x(x>1),求公园ABCD所占面积y关于x的函数关系
式.
提示:y=80??+4
160(x>1).
2.要使公园所占面积最小,则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计?
提示:利用基本不等式求解.
?利用基本不等式求最值即“等号成立”的注意事项
利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行,即“一正,二定,三相等”.
1.“一正”:各项必须都是正值.
例如:代数式x+?,当x<0时,绝不能认为x+?≥2,x+?的最小值为2.事实上,当x<0时,x
+?=-?≤-2.当x=-1时,取得最大值-2.
2.“二定”:各项之和或各项之积为定值.
例如:已知0且2x>0,5-2x>0.当2x=5-2x,即当x=?时,[(5-2x)x]max=?.
3.“三相等”:必须验证取等号时条件是否成立.
在利用基本不等式求最值时必须同时考虑以上三个条件,如果其中一个不成立,那
么就可能得出错误的结果.
??
若x>1,求函数y=x+?+?的最小值.
思路点拨
思路一:将?变形为?,然后把x+?看作一个整体进行求解.
思路二:当涉及分数时,通分是最容易想到的常规方法,通分后x+?=?,利用基本
不等式即可求解.
解析????解法一:y=x+?+?=x+?+?,令u=x+?,则u>2,所以y=u+?≥8,当且仅当
u=?,即u=4,x=2+?时等号成立.
解法二:y=x+?+?=?+?≥2?=8,当且仅当?=?,即x=2
+?时等号成立.
??
已知a>b>0,求a2+?的最小值.
思路点拨
如果要运用基本不等式解题,则需要对目标式进行变形,如何对含有两个字母但条
件缺乏的目标式进行变形呢?注意到和式中两项的次数,一个是二次的,另一个是负
二次的,如此便向ax+?的结构方向发展,于是拆项是一个很好的选择.
解析????解法一:由于a2+?中有两个字母,并注意到b+(a-b)=a,则b(a-b)≤
?=?.这样就消去了字母b,因此a2+?≥a2+?≥4,当且仅当b=a-b,a2=
?,即a=?,b=?时等号成立.故a2+?的最小值为4.
解法二:注意到b+(a-b)=a,则[b+(a-b)]2=a2,则a2+?=[b+(a-b)]2+?≥4b(a-b)+
?≥4,当且仅当b=a-b,4b(a-b)=?,即a=?,b=?时等号成立.故a2+?的
最小值为4.
已知x>0,y>0,且?+?=1.
问题
1.怎样求x+y的最小值?
提示:消元法或利用基本不等式.
2.若将已知条件改为xy≠0,且?+?=1,试求x+y的最小值.
提示:先消元再利用基本不等式.
如何利用基本不等式求解条件最值问题
?利用基本不等式求解条件最值问题的常用方法
应用基本不等式求最值的关键是凑出“定和”或“定积”以及保证能取到等号,
因此往往采取以下方法技巧:
1.常用构造定值条件的技巧变换:
(1)加项变换;(2)拆项变换;(3)统一变元;(4)平方后利用基本不等式.
2.拆项、添项、配凑等方法常用在求分式型函数的最值中,如:
f(x)=?=
?.
3.常值代换:这种方法常用于“已知ax+by=m(a,b,x,y均为正数),求?+?的最小值”
和“已知?+?=1(a,b,x,y均为正数),求x+y的最小值”两种类型.
??
(1)已知a,b,x,y均为正数,且?+?=1,求x+y的最小值;
(2)已知x>0,y>0,且x+2y+xy=30,求xy的最大值.
思路点拨
问题(1)可以采用常值代换的方法,也可以进行变量代换,再利用基本不等式求解;问
题(2)既可以利用基本不等式求解,也可以采用变量代换的方法求解.
解析????(1)解法一:x+y=(x+y)?=a+b+?+?≥a+b+2?,当且仅当?
即?时,等号成立.
解法二:由?+?=1得x=?,
∴x+y=?+y=?+y
=a+?+y=?+(y-b)+a+b.
∵x>0,y>0,a>0,
∴由?>0得y-b>0,
∴x+y≥2?+a+b,
当且仅当?
即?时,等号成立.
(2)解法一:由x+2y+xy=30,可得y=?(0xy=?
=?
=34-?,
注意到x+2+?≥2·?=16,可得xy≤18,
当且仅当x+2=?,即x=6时,等号成立,代入x+2y+xy=30中得y=3,故xy的最大值为18.
解法二:∵x>0,y>0,
∴x+2y≥2?=2?·?(当且仅当x=2y时,等号成立),
∴2?·?+xy≤x+2y+xy=30,
解此不等式得0≤xy≤18,即xy的最大值为18,此时?即?
??
已知x,y,z为正数且满足x-2y+3z=0,求?的最小值.
思路点拨
由已知得y=?
?代入?
?构造出基本不等式?求最小值.
解析????由x-2y+3z=0,得y=?.因为x,y,z为正数,所以?=?=?·
?≥?·?=3,当且仅当x=3z时,等号成立.