2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
基础过关练
题组一 一元二次不等式的解法
1.(2019山东菏泽高二期末)不等式-x2-5x+6≥0的解集为( )
A.{x|-6≤x≤1}
B.{x|2≤x≤3}
C.{x|x≥3或x≤2}
D.{x|x≥1或x≤-6}
2.(2019广东汕头高一期末)已知集合M={0,1,2,3,4},N={x|(x-2)(x-5)<0},则M∩N=( )
A.{3,4}
B.{2,3,4,5}
C.{2,3,4}
D.{3,4,5}
3.(2019广东实验中学高一期末)不等式≥0的解集为( )
A.{x|0≤x≤2}
B.{x|0
C.{x|x<0或x≥2}
D.{x|x<0或x>2}
4.(2019北京西城高二期末)不等式>1的解集为 .?
5.(2020天津高一期末)设集合A={x|x2-x-6>0},B={x|-4<3x-7<8}.
(1)求A∪B,A∩B;
(2)已知集合C={x|a题组二 含有参数的一元二次不等式的解法
6.(2019河南商丘九校联考高二期末)已知关于x的不等式ax+b>0的解集是{x|x<-1},则关于x的不等式(ax-b)(x-2)>0的解集是( )
A.{x|1B.{x|-1C.{x|x<-1或x>2}
D.{x|x>2}
7.若00的解集是( )
A.
B.
C.
D.
8.已知2a+1<0,则关于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解集是( )
A.{x|x<5a或x>-a}
B.{x|x>5a或x<-a}
C.{x|-aD.{x|5a9.(2020四川新津中学高一期末)已知不等式x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0的解集为集合A,集合B={x|-2(1)若a=2,求A∪B;
(2)若A∩B=?,求实数a的取值范围.
题组三 三个“二次”之间的关系
10.(2020河南洛阳高二期末)已知不等式x2+ax+b≤0的解集为{x|2≤x≤3},则a+b=( )
A.-1
B.1
C.-2
D.2
11.若y=-x2+mx-1的函数值有正值,则m的取值范围是( )
A.m<-2或m>2
B.-2C.m≠±2
D.112.不等式2x2+mx+n>0的解集是{x|x<-2或x>3},则m,n的值分别是( )
A.2,12
B.2,-2
C.2,-12
D.-2,-12
13.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则y>0的解集为( )
A.{x|-2B.{x|-1C.{x|1D.{x|x<0或x>3}
14.(2020北京朝阳高一期末)若集合A={x|x2-ax+2<0}=?,则实数a的取值范围是 .?
15.(2020湖南雅礼中学10月检测)若二次函数y=x2-(2k+1)x+k2+1的图象与x轴的两个交点分别为(x1,0),(x2,0),且x1,x2都大于1.
(1)求实数k的取值范围;
(2)若=,求k的值.
题组四 一元二次不等式的实际应用
16.将进货价为每个80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个,每涨价1元,销售量就减少20个,为了使商家利润有所增加,则售价a(元/个)的取值范围应是( )
A.90B.90C.100D.8017.某商家一月份至五月份的累计销售额达3
860万元,预测六月份的销售额为500万元,七月份的销售额比六月份增长x%,八月份的销售额比七月份增长x%,九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等.若一月份至十月份的销售总额至少达7
000万元,则x的最小值是 .?
18.现要规划一块长方形绿地,且长方形绿地的长与宽的差为30米.若使长方形绿地的面积不小于4
000平方米,则这块绿地的长与宽至少应为多少米?
19.一个小型服装厂生产某种风衣,月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P=160-2x,生产x件的成本R=(500+30x)元.
(1)该厂的月产量为多少时,月获得的利润不少于1
300元?
(2)当月产量为多少时,可获得最大利润?最大利润是多少元?
能力提升练
题组一 三个“二次”的综合应用
1.(2020安徽合肥一中、合肥六中高一期末,)已知关于x的不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0的解集为空集,则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.{a|a≠2}
2.(多选)(2020山东菏泽高二期末,)若关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1A.{x|0B.{x|x<0}
C.{x|x>3}
D.{x|x<-2或x>1}
3.(2020山东济南外国语学校高一期中,)已知函数y=x2-x+m.
(1)当m=-2时,求不等式y>0的解集;
(2)若m>0,y<0的解集为{x|a4.(2020山东济南历城二中10月月考,)已知关于x的不等式x2-2mx+m+2≤0(m∈R)的解集为M.
(1)当M为空集时,求m的取值范围;
(2)在(1)的条件下,求的最小值;
(3)当M不为空集,且M?{x|1≤x≤4}时,求实数m的取值范围.
题组二 一元二次不等式的恒(能)成立问题
5.(2020河南郑州高二期末,)已知不等式-2x2+bx+c>0的解集是{x|-1A.{t|t≤2}
B.{t|t≤-2}
C.{t|t≤-4}
D.{t|t≤4}
6.()若关于x的不等式x2-4x-2-a≥0在{x|1≤x≤4}内有解,则实数a的取值范围是( )
A.{a|a≤-2}
B.{a|a≥-2}
C.{a|a≥-6}
D.{a|a≤-6}
7.()若kx2-6kx+(k+8)≥0(k为常数)对一切x∈R恒成立,则k的取值范围是( )
A.0≤k≤1
B.0C.0D.k<0或k>1
8.()若不等式a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立,则实数λ的取值范围为 .?
9.(2020北京师大附中高二期中,)设函数y=x2+mx+n,已知不等式y<0的解集为{x|1(1)求m和n的值;
(2)若y≥ax对任意x>0恒成立,求a的取值范围.
10.()已知关于x的不等式2kx2+kx-<0.
(1)若不等式的解集为,求实数k的值;
(2)若不等式2kx2+kx-<0恒成立,求实数k的取值范围.
答案全解全析
基础过关练
1.A 不等式-x2-5x+6≥0可化为x2+5x-6≤0,即(x+6)(x-1)≤0,解得-6≤x≤1,
∴不等式的解集为{x|-6≤x≤1}.故选A.
2.A N={x|(x-2)(x-5)<0}={x|23.B 由原式得x(x-2)≤0且x≠0,解得04.答案 {x|1解析 ∵>1,∴>0,∴(x-1)(x-2)<0,解得1∴不等式>1的解集为{x|15.解析 A={x|x2-x-6>0}={x|x<-2或x>3},B={x|-4<3x-7<8}={x|1(1)A∪B={x|x<-2或x>3}∪{x|11},
A∩B={x|x<-2或x>3}∩{x|1={x|3(2)①当C=?时,a≥2a+1,解得a≤-1,满足C?B;
②当C≠?时,若满足C?B,则解得1≤a≤2.由①②可知,满足C?B的实数a的取值范围是{a|a≤-1或1≤a≤2}.
6.A ∵关于x的不等式ax+b>0的解集是{x|x<-1},
∴∴b=a<0,
∴关于x的不等式(ax-b)(x-2)>0可化为(x-2)<0,
即(x-1)(x-2)<0,解得1∴不等式的解集是{x|17.D ∵(t-x)>0,
∴(x-t)<0.
∵08.A 方程x2-4ax-5a2=0的两根为-a,5a.
因为2a+1<0,所以a<-,所以-a>5a.结合二次函数y=x2-4ax-5a2的图象,得原不等式的解集为{x|x<5a或x>-a},故选A.
9.解析 (1)当a=2时,原不等式可化为x2-5x+6≤0,得(x-3)(x-2)≤0,解得2≤x≤3,所以A={x|2≤x≤3}.又因为B={x|-2(2)由x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0得(x-a)·(x-a-1)≤0,则A={x|a≤x≤a+1},
因为A∩B=?,所以a+1≤-2或a≥2,即a≤-3或a≥2.
10.B 易得x2+ax+b=0的两个根为2,3,故-a=2+3=5,b=2×3=6,故a=-5,a+b=1.故选B.
11.A ∵y=-x2+mx-1的函数值有正值,
∴Δ=m2-4>0,∴m>2或m<-2.故选A.
12.D 由题意知-2,3是关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根,∴-2+3=-,-2×3=,∴m=-2,n=-12.故选D.
13.B 由题图知y>0的解集为{x|-114.答案 -2≤a≤2
解析 集合A={x|x2-ax+2<0}=?,则不等式x2-ax+2<0无解,所以Δ=(-a)2-4×1×2≤0,解得-2≤a≤2.
15.解析 (1)由题意可知,x1,x2是关于x的方程x2-(2k+1)x+k2+1=0的两个实数根,
∴x1+x2=2k+1,x1x2=k2+1.
又x1>1,x2>1,
∴
可得k>,且k≠1.
∴实数k的取值范围是kk>且k≠1.
(2)由得
∴x1x2=·=k2+1,
即k2-8k+7=0,解得k1=7,k2=1(舍去).
∴k的值为7.
16.A 设每个涨价x元,涨价后的利润与原利润之差为y元,则a=x+90,y=(10+x)·(400-20x)-10×400=-20x2+200x.要使商家利润有所增加,则必须使y>0,即x2-10x<0,得017.答案 20
解析 由题意得3
860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)2]×2≥7
000,化简得(x%)2+3·x%-0.64≥0,解得x%≥0.2或x%≤-3.2(舍去),所以x≥20,即x的最小值为20.
18.解析 设长方形绿地的长与宽分别为a米与b米.由题意可得a-b=30①,ab≥4
000②,
由①②可得b2+30b-4
000≥0,即(b+15)2≥4
225,
解得b+15≥65或b+15≤-65(舍去),所以b≥50,
所以b至少为50,则a至少为80,
所以这块绿地的长至少为80米,宽至少为50米.
19.解析 (1)设该厂的月获利为y元,依题意得y=(160-2x)x-(500+30x)=-2x2+130x-500.
由y≥1
300知,-2x2+130x-500≥1
300,
∴x2-65x+900≤0,解得20≤x≤45.
∴当月产量在20件至45件(包括20件和45件)之间时,月获利不少于1
300元.
(2)由(1)知y=-2x2+130x-500
=-2+1
612.5.
∵x为正整数,∴当x=32或x=33时,y取得最大值1
612元,
∴当月产量为32件或33件时,可获得最大利润1
612元.
能力提升练
1.C 若a2-4=0,则a=±2.当a=2时,不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0化为-1≥0,其解集为空集,因此a=2满足题意;
当a=-2时,不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0化为-4x-1≥0,即x≤-,其解集不为空集,因此a=-2不满足题意,应舍去.
若a2-4≠0,则a≠±2.
∵关于x的不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0的解集为空集,
∴
解得-综上,a的取值范围是.
故选C.
2.BC 因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1所以-1和2是方程ax2+bx+c=0的两个根,且a<0,
所以-=-1+2=1,=-1×2=-2.
则b=-a,c=-2a.
由a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax,得ax2-3ax<0.
因为a<0,所以x2-3x>0,解得x<0或x>3,
所以不等式a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax的解集为{x|x<0或x>3}.故选BC.
3.解析 (1)当m=-2时,y=x2-x+m=x2-x-2,
当y>0时,x2-x-2>0.
由x2-x-2=0得x1=-1,x2=2,
∴不等式y>0的解集为{x|x<-1或x>2}.
(2)∵y<0的解集为{x|a∴a,b为方程x2-x+m=0的两个实数根,
∴a+b=1,ab=m.
∵m>0,
∴a>0,b>0,
∴+=(a+b)
=++5
≥5+2=9.
当且仅当a=,b=时,等号成立.
故+的最小值为9.
4.解析 (1)∵M为空集,
∴Δ=4m2-4(m+2)<0,即m2-m-2<0,
解得-1∴实数m的取值范围为{m|-1(2)由(1)知-1∴==(m+1)+≥2=4,
当且仅当m+1=,即m=1时等号成立.
∴的最小值为4.
(3)设函数y=x2-2mx+m+2,结合其图象可知,
当M不为空集时,由M?{x|1≤x≤4},得
解得2≤m≤.
综上,实数m的取值范围为.
5.B 由题意知-1和3是关于x的方程-2x2+bx+c=0的两个实数根,则
解得则-2x2+bx+c=-2x2+4x+6.
由-2x2+bx+c+t≤4得t≤2x2-4x-2.当-1≤x≤0时,-2≤2x2-4x-2≤4,则t≤-2.
6.A 不等式x2-4x-2-a≥0在{x|1≤x≤4}内有解等价于1≤x≤4时,a≤.
当1≤x≤4时,-6≤x2-4x-2≤-2,所以a≤-2.故选A.
7.A 由已知得,当k=0时,原不等式为8≥0,显然恒成立;
当k≠0时,
需满足
解得0所以k的取值范围是0≤k≤1,故选A.
8.答案 {λ|-8≤λ≤4}
解析 因为a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立,所以a2+8b2-λb(a+b)≥0恒成立,即a2-λba+(8-λ)b2≥0恒成立,将其看作关于a的一元二次不等式,可得Δ=λ2b2+4(λ-8)b2=b2(λ2+4λ-32)≤0,所以λ2+4λ-32≤0,解得-8≤λ≤4.
9.解析 (1)由题意知x1=1,x2=4是关于x的方程x2+mx+n=0的两个根,
所以-m=x1+x2=5,n=x1·x2=4,
故m=-5,n=4.
(2)由(1)得y=x2-5x+4,
则x2-5x+4≥ax对任意x>0恒成立,
即a≤x+-5对任意x>0恒成立.
又因为x+≥2=4(当且仅当x=2时,等号成立),
所以x+-5≥-1,所以a≤-1.
10.解析 (1)因为关于x的不等式2kx2+kx-<0的解集为,
所以k≠0,且-和1是关于x的方程2kx2+kx-=0的两个实数根,则-×1=,解得k=.
(2)因为关于x的不等式2kx2+kx-<0恒成立,所以k=0或
即k=0或-3故实数k的取值范围为{k|-32.3
二次函数与一元二次方程、不等式
1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实数根的存在性及实数根的个
数,了解二次函数的零点与一元二次方程根的关系.
2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解
集.
3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
一元二次不等式
只含有一个① 未知数????,并且未知数的最高次
数是② 2????的不等式,称为一元二次不等式
一般形式
ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a,b,c均为常数,③????a≠
0????)
不等式的解
能使不等式成立的未知数x的一个值称为不等式
的一个解
不等式的解集
不等式所有解的④ 集合????称为解集
一元二次不等式及其解集
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系如下表所示.
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
y=ax2+bx+c(a>0)的图象
?
?
?
ax2+bx+c=0(a>0)的根
有两个⑤ 不相等????
的实数根x1,x2(x1有两个⑥ 相等????的
实数根x1=x2=-?
⑦ 没有实数根????
ax2+bx+c>0(a>0)的解
集
⑧ {x|xx2}????
⑨?????????
⑩????R????
“三个二次”的关系
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
ax2+bx+c<0(a>0)的解
集
? {x|x1??????????
??????????
续表
对于二次函数y=ax2+bx+c,把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的
? 零点????,即二次函数y=ax2+bx+c的? 零点?????方程ax2+bx+c=0的实数解?函
数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的? 横坐标????.
二次函数的零点
1.mx2+5x<0是一元二次不等式.?(????? )
2.若不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x10.?( √ )
3.函数y=ax2+bx+c的零点就是函数图象与x轴的交点.?(????? )
提示:函数y=ax2+bx+c的零点就是函数图象与x轴交点的横坐标.
4.若不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|xx2},则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2.?( √ )
5.若方程ax2+bx+c=0没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.?(????? )
提示:方程ax2+bx+c=0没有实数根,说明函数y=ax2+bx+c的图象与x轴无交点.当a>0
时,图象在x轴上方,不等式ax2+bx+c>0的解集为R;当a<0时,图象在x轴下方,不等式
ax2+bx+c>0的解集为?.
判断正误，正确的画“√”
，错误的画“
?”
.
如何解含参数的一元二次不等式
已知2x2+(2-m)x-m>0.
问题
1.若m=1,如何求该不等式的解集?
提示:当m=1时,原不等式为2x2+x-1>0,解得x<-1或x>?,所以原不等式的解集为?x?x
<-1或x>??.
2.若m>0,如何求出关于x的不等式的解集?
提示:因为2x2+(2-m)x-m=(x+1)(2x-m),
所以原不等式等价于(x+1)(2x-m)>0.
因为m>0,所以-1所以原不等式的解集为?.
3.若m∈R,如何求出关于x的不等式的解集?
提示:原不等式等价于(x+1)(2x-m)>0.对m分类讨论求解.
?解含参数的一元二次不等式的基本方法——分类讨论
熟练掌握一元二次不等式的解法是解决此类不等式问题的基础,所以应当熟记形
如ax2+bx+c>0(a>0)的不等式在各种情况下的解集的形式.
解含参数的一元二次不等式时,一般需对参数进行分类讨论,何时进行讨论,如何分
类是解这类题的难点.根据运算的需要分以下几种情况:
(1)二次项系数含参数时,根据一元二次不等式的标准形式化二次项系数为正,此时
要对参数进行讨论.
(2)解“Δ”的过程中,若“Δ”的表达式中含有参数且参数的取值影响“Δ”的符
号,则要对参数进行讨论.
(3)如果方程两根的表达式中含有参数,且影响根的大小,那么要对参数进行讨论.
总之,可能需对参数进行分类讨论的点有三个:①二次项系数;②判别式“Δ”;③两
根的大小关系.但对以上三点未必都要进行讨论,是否讨论要根据运算需要而定.
??
解下列关于x的不等式(a∈R).
(1)x2-(a2+a)x+a3>0;
(2)2x2+ax+2>0.
思路点拨
(1)根据根的大小关系进行分类讨论求解.
(2)根据判别式与0的关系进行分类讨论求解.
解析????(1)原不等式x2-(a2+a)x+a3>0可化为(x-a)(x-a2)>0.
当a<0时,aa2};
当a=0时,a=a2=0,所以原不等式的解集为{x|x≠0};
当0a2,所以原不等式的解集为{x|xa};
当a=1时,a=a2=1,所以原不等式的解集为{x|x≠1};
当a>1时,aa2}.
综上,当a<0或a>1时,原不等式的解集为{x|xa2};
当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠0};
当0a};
当a=1时,原不等式的解集为{x|x≠1}.
(2)2x2+ax+2=0的判别式为Δ=a2-16.
当a2-16>0,即a>4或a<-4时,解得x>?(-a+?)或x当a2-16=0时,a=4或a=-4.
当a=4时,解得x≠-1;
当a=-4时,
解得x≠1.
当a2-16<0,即-4解得x∈R.
综上,当a<-4或a>4时,不等式的解集为
?x?x>?(-a+?)或x当-4当a=-4时,不等式的解集为{x|x≠1};
当a=4时,不等式的解集为{x|x≠-1}.
??
解关于x的不等式:ax2-(a+1)x+1<0.
思路点拨
讨论二次项系数?求根?讨论根的大小?求解集.
解析????当a=0时,原不等式可化为-x+1<0,解得x>1.
当a≠0时,原不等式可化为a?(x-1)<0.
若a<0,则原不等式可化为?(x-1)>0,解得x1.
若a>0,则原不等式可化为?(x-1)<0,(
)
其解集是由?与1的大小关系决定的,故
①当a=1时,(
)式的解集为?;
②当a>1时,(
)式的解集为?;
③当0)式的解集为?.
综上,当a<0时,原不等式的解集为?;
当a=0时,原不等式的解集为{x|x>1};
当0当a=1时,原不等式的解集为?;
当a>1时,原不等式的解集为?.
?
解决含参数的一元二次不等式问题,要关注二次项系数是否含有参数,如果二次项
系数含参数,要对二次项系数是不是0进行讨论.
?简单的分式不等式的解法
解分式不等式的思路:先转化为整式不等式,再求解.
化分式不等式为标准形式的方法:移项,通分,右边化为0,左边化为?的形式(f(x),g
(x)为关于x的整式).
(1)形如?>a(a≠0)的分式不等式可同解变形为?>0,故可转化为解g(x)(f
(x)-ag(x))>0.
(2)解?≥0(≤0)型的分式不等式,转化为整式不等式后,应注意分子可取0,而分
母不能取0.
如何解简单的分式不等式
??
解下列关于x的不等式:
(1)?>0;
(2)?≥1.
思路点拨
(1)化为(4x+2)(3x-1)>0进一步求解.
(2)移项合并化为?≤0,再化为?进一步求解.
解析????(1)原不等式等价于(4x+2)(3x-1)>0,
所以原不等式的解集为?.
(2)原不等式可化为?≤0,
所以原不等式等价于?
所以原不等式的解集为?.
??
解下列关于x的不等式:
(1)-1(2)?<1-a(a∈R).
思路点拨
(1)将不等式写成不等式组的形式求解,或分x>0和x<0两种情况分别求解后取并集.
(2)移项、合并化为?<0(a∈R),再化为(ax+1-a)(x-1)<0,对a进行分类讨论求解.
解析????(1)解法一:原不等式等价于?即?整理得?
此不等式组等价于?解得?得x>1或x<-1,
所以原不等式的解集为{x|x>1或x<-1}.
解法二:当x>0时,
由?<1得x>1;
当x<0时,
由?>-1得x<-1,
所以原不等式的解集为{x|x>1或x<-1}.
(2)原不等式可化为?-(1-a)<0(a∈R),即?<0(a∈R),进一步化为(ax+1-a)(x-1)
<0.
①当a>0时,
不等式化为?(x-1)<0.
因为?<1,所以不等式的解集为?.
③当a<0时,不等式化为?(x-1)>0.因为?>1,所以不等式的解集为
?.
综上,当a>0时,
原不等式的解集为?;
当a=0时,原不等式的解集为{x|x<1};
当a<0时,原不等式的解集为?x?x>?或x<1?.
②当a=0时,不等式化为x-1<0,即x<1,所以不等式的解集为{x|x<1}.
已知不等式x2+x+k>0.
问题
1.若不等式对任意x∈R恒成立,如何求k的取值范围?
提示:可利用对应方程的根的判别式求解.
2.若不等式对任意x∈{x|1≤x≤2}恒成立,如何求k的取值范围?
提示:分离参数.
3.若不等式对任意x∈{x|-1≤x≤2}恒成立,如何求k的取值范围?
提示:分离参数(注意对应的二次函数图象对称轴的位置).
4.若不等式x2+x+k<0有解,如何求k的取值范围?
提示:利用对应方程根的判别式Δ>0求解.
如何解决有关一元二次不等式的恒(能)成立问题
?解决有关一元二次不等式的恒(能)成立问题的方法
1.解决与一元二次不等式有关的恒(能)成立问题,可通过二次函数求最值,也可通过
分离参数,再求最值.解决恒成立问题一定要分清自变量和参数,一般地,已知范围的
是变量,求解范围的是参数.对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的
二次函数的图象在给定的定义域内全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数
的图象在给定的定义域内全部在x轴下方.
2.求不等式恒成立问题中参数范围的常用方法:
(1)利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在R上的恒成立问题.
设y=ax2+bx+c(a≠0),则y>0恒成立??y≥0恒成立??y<0恒成立??y
≤0恒成立??
(2)分离自变量和参变量,利用等价转化思想将其转化为求函数的最值问题.
??
若对于任意实数a,当-1≤a≤1时,
函数y=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则x的取
值范围是?(????A )
A.{x|x<1或x>3}
B.{x|x≤1}
C.{x|x>3}
D.{x|x≤1或x≥3}
思路点拨
首先把此题看成关于a的恒成立问题,将题意转化为关于a的一次函数y=a(x-2)+x2-4
x+4>0,在{a|-1≤a≤1}上恒成立,再求x的取值范围.
解析????原问题可转化为关于a的一次函数y=a(x-2)+x2-4x+4>0在{a|-1≤a≤1}上恒
成立,
只需满足?即可,
即?
解得{x|x<1或x>3}.故选A.
??
已知集合A=?,?x∈A,使得不等式x2-ax+1<0成立,则实数a的取值范
围为?(????C )
A.a>? ????B.a≥?
C.a>2 ????D.a≥2
思路点拨
分离参数,将原不等式变形为a>x+?,原问题转化为a>x+?在?≤x≤2内有解,求x+?
的最小值即可.
解析????由题意得,?x∈A,使得不等式x2-ax+1<0,即a>x+?成立,则只需满足a>
?即可.
因为?≤x≤2,所以x+?≥2?=2,
当且仅当x=?,
即x=1时取等号,所以?=2,所以a>2,即实数a的取值范围为a>2.?
?
若不等式ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是?,求实数a的取值范围.
思路点拨
ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是?,即ax2+2ax-(a+2)<0恒成立,对a进行分类讨论求解.
解析????不等式ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是?等价于不等式ax2+2ax-(a+2)<0在R上恒
成立.
当a=0时,不等式ax2+2ax-(a+2)<0为-2<0,
恒成立,满足题意;
当a≠0时,
a须满足?
解得-1综上可知,a的取值范围是{a|-1?
解决含参数的一元二次不等式问题,要关注二次项系数是否含有参数,如果二次项
系数含参数,要对二次项系数是不是0进行讨论.