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北师版九年级上册数学2.1.2
一元二次方程的解教学设计
课题
2.1.2
一元二次方程的解
单元
二单元
学科
数学
年级
九
学习目标
1．探索一元二次方程的解或近似解．2．培养学生的估算意识和能力．3.
经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力．
重点
探索一元二次方程的解或近似解.
难点
培养学生的估算意识和能力.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
1.什么是一元二次方程？只含有一个未知数x，并且可以化成ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的整式方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程有什么特点？整式方程未知数的个数是1含有未知数的项的最高次数是2一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0
(a,b,c为常数，a≠0）ax2，bx，c分别叫做_________、_________、_________a，b分别叫做_____________、_______________
学生回答下列问题：什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？指出方程的中二次项系数，一次项系数及常数项。
通过复习，能激发学生的学习兴趣和求知欲,为后面发现结论创造最佳的心理状态。
讲授新课
幼儿园某教室矩形地面的长为8
m，宽为5
m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18
m2的地毯（如图），四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？我们知道，x满足方程(8-2x)(5-2x)=18师：x表示什么？一元二次方程的解能使一元二次方程两边的值相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根．一元二次方程的解和一元一次方程的解一样吗？下面哪些数是方程
x2-x-6
=
0
的解?
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，43和-2是x2-x-6=0的解，由此可知，一元二次方程可能不止一个解。方程(8-2x)(5-2x)=18的解你能求出吗？请试着估算此方程的解.（1）x可能小于0吗？说说你的理由；x可能大于4吗？可能大于2.5吗？为什么？x不可能小于0，因为x表示四周未铺地毯部分的宽度.根据题意，8-2x和5-2x分别表示地毯的长和宽，所以8-2x>0,
5-2x>0，因此x不可能大于4，也不可能大于2.5.（2）你能确定x的大致范围吗？通过上面的分析，可以得到0（4）你知道四周未铺地毯部分的宽度x(m)是多少吗？由表格可知，当x=1时，
（8-2x)(5-2x）=18，由方程的解的意义，可以得出“x=1是方程（8-2x)(5-2x）=18的解，从而得出所求宽度为1
m.【总结归纳】用估算法求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的近似解的步骤：①列表：根据实际情况确定方程解的大致范围，分别计算方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中ax2＋bx＋c的值；②在表中找出当ax2＋bx＋c的值可能等于0的未知数的范围；③进一步在②的范围内列表、计算、估计范围，直到找出符合要求的范围．
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m。如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？在这个问题中，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x＋6)2＋72＝102，也就是x2＋12x－15＝0.【小组讨论】(1)小明认为底端也滑动了1
m，他的说法正确吗？为什么？当x=1时，则有(1+6)2+72＜102，因此滑动的距离大于1
m.(2)底端滑动的距离可能是2
m吗？可能是3
m吗？为什么？如果底端滑动的距离是2
m或3
m，x2+12x-15的值都是大于0的，不符合要求；(3)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？1＜x＜1.5(4)x的整数部分是几？十分位是几？
x
的整数部分是1，十分位是1.
学生认真读题.思考并根据方程寻找根。然后回答问题.区分一元二次方程的解和一元一次方程的解.学生认真读题,思考并根方程寻找解的花围,然后回答问题.学生在教师的引导下总结归纳。学生根据上面的方法解决课本做一做例题。
探索一元二次方程的解。通过比较让学生明白一元二次方程的解和一元一次方程的解的区别。探索怎样求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的近似解。通过总结，能让学生更好的理解求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的近似解的估算方法，为后面的题目做铺垫。根据学生对估算方法的理解,通过具体的例子来加深学生的印象。
课堂练习
1.下列各数是一元二次方程x2－4x=-3的解的是( D )A．0
B．－2
C．－1
D．12.x＝1是关于x的一元二次方程x2＋ax＋2b＝0的根，则2a＋4b＝( A )A．－2
B．－3
C．－1
D．－63.若正数x满足x2＝3，则下列正确的是( D )A．1.7＜x＜1.71
B．1.71＜x＜1.72C．1.72＜x＜1.73
D．1.73＜x＜1.744.根据下表中的对应值，判断一元二次方程x2－4x＋2＝0的解的取值范围是( C )?A．0＜x＜0.5或3.5＜x＜4B．0.5＜x＜1或2＜x＜2.5C．0.5＜x＜1或3＜x＜3.5D．1＜x＜1.5或3.5＜x＜45.某大学为改善校园环境，计划在一块长80
m，宽60
m的长方形场地中央建一个长方形网球场，网球场占地面积为3
500
m2.四周为宽度相等的人行走道，如图，若设人行走道宽为x
m.(1)请列出相应的方程．解：由题意可知网球场的长和宽分别为(80－2x)m，(60－2x)m，则可列方程(80－2x)(60－2x)＝3
500，整理得x2－70x＋325＝0.(2)x的值可能小于0吗？说说你的理由．解：x的值不可能小于0，因为人行走道的宽度不可能为负数．(3)x的值可能大于40吗？可能大于30吗？说说你的理由．解：x的值不可能大于40，也不可能大于30，因为当x＞30时，60－2x＜0，这是不符合实际的．当然x更不可能大于40.(4)你知道人行走道的宽是多少吗？说说你的求解过程．解：人行走道的宽为5
m，求解过程如下：显然，当x＝5时，x2－70x＋325＝0，故人行走道的宽为5
m.6.【2020·金昌】已知x＝1是一元二次方程(m－2)x2＋4x－m2＝0的一个根，则m的值为( B )A．－1或2 B．－1 C．2 D．07.输入一组数据，按如图所示的程序进行计算，输出结果见下表：分析表格中的数据，估计方程(x＋8)2－826＝0的一个正数解x的大致范围为( C ) A．20.5＜x＜20.6
B．20.6＜x＜20.7C．20.7＜x＜20.8
D．20.8＜x＜20.9
学生根据所学知识完成随堂练习。
同步练习,检测学生的掌握情况,及时回授,强化知识点的应用。
课堂小结
这节课你获得了哪些知识？1.能使一元二次方程两边的值相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解2.用估算法判断一元二次方程解的取值范围，具体步骤如下：(1)列表，利用未知数的取值分别计算方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中ax2＋bx＋c的值；(2)在表中找出使ax2＋bx＋c的值可能等于0的未知数的大
致取值范围；(3)进一步在(2)中的范围内列表、计算、估计范围，直到符合题中精确度要求为止．
学生归纳整理知识点。
有利于学生理清本节课的知识点,启发引导学生进行归纳整理,培养学生宏观掌握知识的能力。
板书
课题：2.1.2
一元二次方程的解一、一元二次方程的解二、一元二次方程的解的估算
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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2.1.2
一元二次方程的解
北师版
九年级上册
新知导入
2.一元二次方程有什么特点？
整式方程
未知数的个数是1
含有未知数的项的最高次数是2
1.什么是一元二次方程？
只含有一个未知数x，并且可以化成ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的整式方程叫做一元二次方程.
新知导入
ax2+bx+c=0
(a,b,c为常数，a≠0）
一元二次方程的一般形式：
ax2，bx，c分别叫做_________、_________、_________
a，b分别叫做_____________、_______________
二次项
一次项
常数项
二次项系数
一次项系数
合作探究
幼儿园某教室矩形地面的长为8
m，宽为5
m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18
m2的地毯（如图），四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？
8
-
2x
5
-
2x
S=18
m2
我们知道，x满足方程(8-2x)(5-2x)=18
x表示什么？
新知讲解
一元二次方程的解
能使一元二次方程两边的值相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根．
一元二次方程的解和一元一次方程的解一样吗？
下面哪些数是方程
x2-x-6
=
0
的解?
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4
3和-2是x2-x-6=0的解，由此可知，一元二次方程可能不止一个解。
新知讲解
方程(8-2x)(5-2x)=18的解你能求出吗？请试着估算此方程的解.
（1）x可能小于0吗？说说你的理由；
x不可能小于0，
因为x表示四周未铺地毯部分的宽度.
x可能大于4吗？可能大于2.5吗？为什么？
根据题意，8-2x和5-2x分别表示地毯的长和宽，所以8-2x>0,
5-2x>0，因此x不可能大于4，也不可能大于2.5.
新知讲解
方程(8-2x)(5-2x)=18的解你能求出吗？请试着估算此方程的解.
（2）你能确定x的大致范围吗？
通过上面的分析，可以得到0（3）完成下表：
x
0.5
1
1.5
2
(8-2x)(5-2x)
18
10
4
28
新知讲解
方程(8-2x)(5-2x)=18的解你能求出吗？请试着估算此方程的解.
（4）你知道四周未铺地毯部分的宽度x(m)是多少吗？
由表格可知，当x=1时，
（8-2x)(5-2x）=18，由方程的解的意义，可以得出“x=1是方程（8-2x)(5-2x）=18的解，从而得出所求宽度为1
m.
新知讲解
用估算法求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的近似解的步骤：
【总结归纳】
①列表：根据实际情况确定方程解的大致范围，分别计算方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中ax2＋bx＋c的值；
②在表中找出当ax2＋bx＋c的值可能等于0的未知数的范围；
③进一步在②的范围内列表、计算、估计范围，直到找出符合要求的范围．
新知讲解
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m。如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？
在这个问题中，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x＋6)2＋72＝102，
也就是x2＋12x－15＝0.
合作探究
【小组讨论】
(1)小明认为底端也滑动了1
m，他的说法正确吗？为什么？
(2)底端滑动的距离可能是2
m吗？可能是3
m吗？为什么？
(3)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？
(4)x的整数部分是几？十分位是几？
新知讲解
（1）小明认为底端也滑动了1
m，他的说法对吗？为什么？
当x=1时，则有(1+6)2+72＜102，
因此滑动的距离大于1
m.
（2）底端滑动的距离可能是2
m吗？可能是3
m吗？为什么？
x
0
0.5
1
1.5
2
x2+12x-15
-15
-8.75
-2
5.25
13
如果底端滑动的距离是2
m或3
m，x2+12x-15的值都是大于0的，不符合要求；
新知讲解
（3）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？
x
0
0.5
1
1.5
2
x2+12x-15
-15
-8.75
-2
5.25
13
1＜x＜1.5
（4）x的整数部分是几？十分位是几？
1.4
1.3
1.2
1.1
x
x2+12x-15
-0.59
0.84
2.29
3.76
x
的整数部分是1，十分位是1.
课堂练习
1.下列各数是一元二次方程x2－4x=-3的解的是( )
A．0
B．－2
C．－1
D．1
D
2.x＝1是关于x的一元二次方程x2＋ax＋2b＝0的根，则2a＋4b＝
( )
A．－2
B．－3
C．－1
D．－6
A
课堂练习
3.若正数x满足x2＝3，则下列正确的是( )
A．1.7＜x＜1.71
B．1.71＜x＜1.72
C．1.72＜x＜1.73
D．1.73＜x＜1.74
D
课堂练习
4.根据下表中的对应值，判断一元二次方程x2－4x＋2＝0的解的取值范围是( )?
A．0＜x＜0.5或3.5＜x＜4
B．0.5＜x＜1或2＜x＜2.5
C．0.5＜x＜1或3＜x＜3.5
D．1＜x＜1.5或3.5＜x＜4
C
拓展提高
5.某大学为改善校园环境，计划在一块长80
m，宽60
m的长方形场地中央建一个长方形网球场，网球场占地面积为3
500
m2.四周为宽度相等的人行走道，如图，若设人行走道宽为x
m.
(1)请列出相应的方程．
解：由题意可知网球场的长和宽分别为(80－2x)m，(60－2x)m，则可列方程(80－2x)(60－2x)＝3
500，整理得x2－70x＋325＝0.
拓展提高
(2)x的值可能小于0吗？说说你的理由．
解：x的值不可能小于0，因为人行走道的宽度不可能为负数．
(3)x的值可能大于40吗？可能大于30吗？说说你的理由．
解：x的值不可能大于40，也不可能大于30，因为当x＞30时，60－2x＜0，这是不符合实际的．当然x更不可能大于40.
拓展提高
(4)你知道人行走道的宽是多少吗？说说你的求解过程．
解：人行走道的宽为5
m，求解过程如下：
x
...
1
2
3
4
5
6
7
...
x2-70x+325
...
256
189
124
61
0
-59
-116
...
显然，当x＝5时，x2－70x＋325＝0，
故人行走道的宽为5
m.
中考链接
6.【2020·金昌】已知x＝1是一元二次方程(m－2)x2＋4x－m2＝0的一个根，则m的值为( )
A．－1或2
B．－1
C．2
D．0
B
中考链接
7.输入一组数据，按如图所示的程序进行计算，输出结果见下表：
分析表格中的数据，估计方程(x＋8)2－826＝0的一个正数解x的大致范围为( )
A．20.5＜x＜20.6
B．20.6＜x＜20.7
C．20.7＜x＜20.8
D．20.8＜x＜20.9
C
课堂总结
这节课你获得了哪些知识？
1.能使一元二次方程两边的值相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解
2.用估算法判断一元二次方程解的取值范围，具体步骤如下：
(1)列表，利用未知数的取值分别计算方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中ax2＋bx＋c的值；
(2)在表中找出使ax2＋bx＋c的值可能等于0的未知数的大
致取值范围；
(3)进一步在(2)中的范围内列表、计算、估计范围，直到符合题中精确度要求为止．
板书设计
课题：2.1.2
一元二次方程的解
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?
教师板演区
?
学生展示区
一、一元二次方程的解二、一元二次方程的解的估算
作业布置
课本
P35
练习题
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