(共29张PPT)
2.2
用配方法求解一元二次方程
北师大版
九年级上册
新知导入
怎样估算一元二次方程的解。
(1)列表，利用未知数的取值分别计算方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中ax2＋bx＋c的值；
(2)在表中找出使ax2＋bx＋c的值可能等于0的未知数的大致取值范围；
(3)进一步在(2)中的范围内列表、计算、估计范围，直到符合题中精确度要求为止．
新知导入
在上一节的问题中，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程
x2+12x-15=0.
我们已经求出了x的近似值，你能设法求出它的精确值吗?
新知讲解
观察下面的一元二次方程，试着解一解。
x2=5
2x2+3=5
x2+2x+1=5
(x+6)2+72=102
根据平方根的意义，得x1=
,
x2=
.
方程可化为x2=1，所以x1=1
,
x2=-1.
方程可化为(x+1)2=5，所以x1=
,
x2=
.
方程可化为(x+6)2=51，所以x1=
,
x2=
.
新知讲解
观察下面的一元二次方程，它们都有什么特点？
x2=5
2x2+3=5
x2+2x+1=5
(x+6)2+72=102
等号一边是或者是可以化为完全平方式的形式，另一边是一个非负常数的形式.
对于这种类型的一元二次方程可以运用直接开平方法求解.
合作探究
【小组讨论】怎样解方程x2+12x-15=0？
怎样将这个方程化成上述方程的形式？
x2+12x-15=0
(x+m)2=n(n
≥0)
新知讲解
将一次项12x改写成2·x·6，得x2+2·x·6=15
由此可以看出，为使左边成为完全平方式，只需在方程两边都加上62
即：x2+2·x·6+62=15+62，
（x+6）2=51
【小组讨论】怎样解方程x2+12x-15=0？
两边开平方，得x+6=
因此我们说方程x2+12x-15=0有两个根x1=
,
x2=
.
合作探究
【小组讨论】上面是用什么方法解方程x2+12x-15=0？
这里，解一元二次方程的思路是将方程转化为(x+m)2=n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可求出它的根.
新知讲解
做一做：填上适当的数，使下列等式成立.
（1）x2+12x+
=(x+6)2；
（2）x2-4x+
=(x－
)2
；
（3）x2+8x+
=(x+
)2.
36
4
2
16
4
等式的左边，常数项和一次项系数有什么关系？
等式左边常数项是一次项系数的一半的平方.
新知讲解
【例1】解方程x2+8x－9=0
解：移项，得x2+8x=9，
配方，得x2+8x+16=9+16，
即
(x+4)2=25.
两边开平方，得x+4=±5，
即
x+4=5
或
x+4=－5.
∴x1=1，x2=－9.
在这个题目中，我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。
合作探究
配方的目的是什么？配方的关键是什么？配方时应注意什么？
目的：通过配成完全平方式来解方程；
关键：加上一次项系数一半的平方；
注意：对二次项系数为1的一元二次方程配方时要注意在方程两边都加上一次项系数一半的平方.
新知讲解
【总结归纳】
配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤：
(1)移项：把常数项移到方程的右边；
(2)配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
(3)开方：根据平方根的意义,方程两边开平方;
(4)求解：解一元一次方程;
(5)定解：写出原方程的解.
合作探究
【例2】解方程：3x2+8x－3=0
这个方程和上面的方程有什么不同？
这个方程的二次项系数不是1
分析：对于二次项系数不为1的一元二次方程，我们可先将方程两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为1，再利用配方法求解.
新知讲解
【例2】解方程3x2+8x－3=0
解：两边同时除以3，得
配方，得
移项，得
两边开平方，得
所以x1=
,
x2=-3
利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤是什么？
新知讲解
【总结归纳】
配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的基本步骤：
1.化1:把二次项系数化为1；
2.移项:把常数项移到方程的右边；
3.配方:方程两边同加一次项系数一半的平方；
5.开平方，求解.
4.变形:化成
新知讲解
【做一做】一个小球从地面以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h
(m)与时间
t
(s)满足关系：h=15t
-
5t2.
小球何时能达到10m高？
解：将
h
=
10代入方程式中，得15t
-
5t2
=10
两边同时除以-5，得
t2
-
3t
=
-2
配方，得
两边开平方，得
解得
t1=
2
,
t2
=
1
.
所以在1s或2s时，小球可达10m高.
课堂练习
1.下列方程中可用直接开平方法求解的是( )
A．x2－2x＝0
B．x2＋2x－1＝0
C．x2＝3
D．x2－2x－1＝0
C
课堂练习
2.若x2＋6x＋m2是一个完全平方式，则m的值是( )
A．3
B．－3
C．±3
D．以上都不对
C
课堂练习
3.将代数式a2＋4a－5变形，结果正确的是( )
A．(a＋2)2－1
B．(a＋2)2－5
C．(a＋2)2＋4
D．(a＋2)2－9
D
课堂练习
4.补全解方程2x2－4x－6＝0的过程．
移项，得____________________，
二次项系数化为1，得____________________，
配方，得____________________，
整理，得____________________，
开平方，得____________________，
解得x1＝________，x2＝________．
2x2－4x＝6
x2－2x＝3
x2－2x＋12＝3＋12
(x－1)2＝4
x－1＝±2
3
－1
拓展提高
5.根据a2＋b2＝12a＋8b－52，可以求得a，b的值，由a，b，c为正整数且是△ABC的三边长，c是△ABC的最短边长，即可求得c的值．
解：∵a2＋b2＝12a＋8b－52，
∴a2－12a＋b2－8b＋52＝0.
∴(a－6)2＋(b－4)2＝0.
∴a－6＝0，b－4＝0.∴a＝6，b＝4.
又∵a，b，c为正整数且是△ABC的三边长，c是△ABC的最短边长，∴6－4∴c＝3或c＝4，即c的值是3或4.
中考链接
6.【2020·泰安】将一元二次方程x2－8x－5＝0化成(x＋a)2＝b(a，b为常数)的形式，则a，b的值分别是( ).
A．－4，21
B．－4，11
C．4，21
D．－8，69
A
中考链接
7.【2020·河北】有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果，已知A，B两区初始显示的分别是25和－16，如图所示．
如，第一次按键后，A，B两区分别显示：
(1)从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果；
解：A区显示的结果为25＋2a2，B区显示的结果为－16－6a；
中考链接
(2)从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
解：这个和不能为负数．
理由：根据题意得，
25＋4a2＋(－16－12a)
＝25＋4a2－16－12a
＝4a2－12a＋9＝(2a－3)2.
∵(2a－3)2≥0，∴这个和不能为负数．
课堂总结
本节课你学到了什么？
解一元二次方程：
1.直接开平方法解形如（x
+
m）2
=
n
(n≥0)的方程。
2.用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
3.用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程。
板书设计
课题：2.2
用配方法解二元一次方程
?
?
教师板演区
?
学生展示区
一、配方法定义
二、直接开平方法
三、配方法解二元一次方程的步骤
作业布置
课本
P40
练习题
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
北师版九年级上册数学2.2用配方法求解一元二次方程教学设计
课题
2.2
用配方法求解一元二次方程
单元
第二单元
学科
数学
年级
九
学习目标
1.经历配方法解一元二次方程的过程，获得解二元一次方程的基本技能.2.经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想.3.能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力.
重点
用配方法解一元二次方程.
难点
灵活地用配方法解数字系数不为1的一元二次方程.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
师提问：怎样估算一元二次方程的解。教师课件出示答案，带领学生复习。(1)列表，利用未知数的取值分别计算方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中ax2＋bx＋c的值；(2)在表中找出使ax2＋bx＋c的值可能等于0的未知数的大致取值范围；(3)进一步在(2)中的范围内列表、计算、估计范围，直到符合题中精确度要求为止．教师：在上一节的问题中，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程x2+12x-15=0.我们已经求出了x的近似值，你能设法求出它的精确值吗?
学生思考回答问题。
通过前两个问题,引导学生复习一元二次方程的解的估算，为学生后面配方法的学习作好铺垫。
讲授新课
观察下面的一元二次方程，试着解一解。x2=52x2+3=5x2+2x+1=5(x+6)2+72=102教师课件出示解题过程，学生对照答案改正。根据平方根的意义，得x1=
,
x2=
.方程可化为x2=1，所以x1=1
,
x2=-1.方程可化为(x+1)2=5，所以x1=,
x2=
.方程可化为(x+6)2=51，所以x1=,
x2=
师提问：观察上面的一元二次方程，它们都有什么特点？等号一边是或者是可以化为完全平方式的形式，另一边是一个非负常数的形式.对于这种类型的一元二次方程可以运用直接开平方法求解.【小组讨论】怎样解方程x2+12x-15=0？怎样将这个方程化成上述方程的形式？师：将一次项12x改写成2·x·6，得x2+2·x·6=15由此可以看出，为使左边成为完全平方式，只需在方程两边都加上62即：x2+2·x·5+62=15+62，
（x+6）2=51两边开平方，得x+6=因此我们说方程x2+12x-15=0有两个根x1=
,
x2=
【小组讨论】上面是用什么方法解方程x2+12x-15=0？这里，解一元二次方程的思路是将方程转化为(x+m)2=n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可求出它的根。做一做：填上适当的数，使下列等式成立.（1）x2+12x+
=(x+6)2；（2）x2-4x+
=(x－
)2
；（3）x2+8x+
=(x+
)2.等式的左边，常数项和一次项系数有什么关系？师：等式左边常数项是一次项系数的一半的平方.解方程x2+8x－9=0解：移项，得x2+8x=9，配方，得x2+8x+16=9+16，即
(x+4)2=25.两边开平方，得x+4=±5，即
x+4=5
或
x+4=－5.∴x1=1，x2=－9.在这个题目中，我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。配方的目的是什么？配方的关键是什么？配方时应注意什么？目的：通过配成完全平方式来解方程；关键：加上一次项系数一半的平方；注意：对二次项系数为1的一元二次方程配方时要注意在方程两边都加上一次项系数一半的平方.【总结归纳】配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤：(1)移项：把常数项移到方程的右边；(2)配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方；(3)开方：根据平方根的意义,方程两边开平方;(4)求解：解一元一次方程;(5)定解：写出原方程的解.【例2】解方程3x2+8x－3=0分析：对于二次项系数不为1的一元二次方程，我们可先将方程两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为1，再利用配方法求解.教师带领学生对照课本答案改正。利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤是什么？【总结归纳】配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的基本步骤：1.化1:把二次项系数化为1；2.移项:把常数项移到方程的右边；3.配方:方程两边同加一次项系数一半的平方；4.变形:化成（x+m）2=a5.开平方，求解【做一做】一个小球从地面以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h
(m)与时间
t
(s)满足关系：h=15t
-
5t2.小球何时能达到10m高？解：将
h
=
10代入方程式中，得15t
-
5t2
=10两边同时除以-5，得
t2
-
3t
=
-2配方，得两边开平方，得解得
t1=
2
,
t2
=
1
.所以在1s或2s时，小球可达10m高.
学生在练习本上解一元二次方程。学生观察上面的一元二次方程，回答问题。小组合作解方程。教师讲解解题方法，让学生初步了解配方法。通过对例1和例2的讲解,规范配方法解一元二次方程的过程,让学生充分理解掌握用配方法解一元二次方程的基本思路。最后由问题“用这种方法解一元二次方程的思路是什么?
"引出配方法的步骤。学生做例题。学生在教师的引导下总结归纳。学生根据所学知识做课本题目，教师讲解。
利用实际问题,让学生初步体会开方法在解一元二次方程中的应用,为后面学习配方法作好铺垫;培养学生善于观察分析、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识。配方法的关键是正确配方,而要正确配方就必须熟悉完全平方式的特征,在此通过几个填空题,使学生能够用语言叙述并充分理解左边填的是“一次项系数一半的平方”,右边填的是“一次项系数的一半",进一步复习巩固完全平方式中常数项与一次项系数的关系,为后面学习掌握配方法解一元二次方程做好充分的准备。学生经过前一环节对配方法的特点有了初步的认识,通过两个例题的处理,进一步完善对配方法基本思路的把握,是对配方法的学习由探求迈向实际应用的第一步。最后利用两个问题,通过小组的合作交流得出配方法的基本思路和解决问题的关键,结论的得出来源于学生在实例分析中的亲身感受,体现学生学习的主动性。
课堂练习
1.下列方程中可用直接开平方法求解的是( C )A．x2－2x＝0
B．x2＋2x－1＝0C．x2＝3
D．x2－2x－1＝02.若x2＋6x＋m2是一个完全平方式，则m的值是( C )A．3
B．－3
C．±3
D．以上都不对3.将代数式a2＋4a－5变形，结果正确的是( D )A．(a＋2)2－1
B．(a＋2)2－5C．(a＋2)2＋4
D．(a＋2)2－94.补全解方程2x2－4x－6＝0的过程．移项，得2x2－4x＝6，二次项系数化为1，得x2－2x＝3，配方，得x2－2x＋12＝3＋12，整理，得(x－1)2＝4，开平方，得x－1＝±2，解得x1＝3，x2＝-1．5.根据a2＋b2＝12a＋8b－52，可以求得a，b的值，由a，b，c为正整数且是△ABC的三边长，c是△ABC的最短边长，即可求得c的值．解：∵a2＋b2＝12a＋8b－52，∴a2－12a＋b2－8b＋52＝0.∴(a－6)2＋(b－4)2＝0.∴a－6＝0，b－4＝0.∴a＝6，b＝4.又∵a，b，c为正整数且是△ABC的三边长，c是△ABC的最短边长，∴6－4B．－4，11 C．4，21
D．－8，697.【2020·河北】有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果，已知A，B两区初始显示的分别是25和－16，如图所示．如，第一次按键后，A，B两区分别显示：(1)从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果；解：A区显示的结果为25＋2a2，B区显示的结果为－16－6a；(2)从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．解：这个和不能为负数．理由：根据题意得，25＋4a2＋(－16－12a)＝25＋4a2－16－12a＝4a2－12a＋9＝(2a－3)2.∵(2a－3)2≥0，∴这个和不能为负数．
对本节课知识进行巩固练习。
此处留给学生充分的时间与空间进行独立练习，通过练习，学生基本都能用配方法解解二次项系数为1、一次项系数为偶数的一元二次方程，取得了较好的教学效果,加深了学生对“用配方法解简单一元二次方程”的理解。
课堂小结
本节课你学到了什么？解一元二次方程：1.直接开平方法解形如（x
+
m）2
=
n
(n≥0)的方程。2.用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。3.用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程。
师生互相交流、总结配方法解一元二次方程的基本思路和关键。
学生畅所欲言谈自己的切身感受与实际收获,掌握了配方法的基本思路和过程。
板书
课题：2.2
用配方法解二元一次方程一、配方法定义二、直接开平方法三、配方法解二元一次方程的步骤
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com/"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
