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第三章
圆锥曲线的方程
（考试时间：120分钟
试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．双曲线：的顶点到其渐近线的距离等于（
）.
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
由双曲线方程求出，，即可得顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】
由双曲线：可知：，，
所以顶点坐标为，渐近线方程为，即，
所以顶点到其渐近线的距离等于，
故选：C.
2．椭圆与椭圆有（
）
A．相同短轴
B．相同长轴
C．相同离心率
D．前三个答案都不对
【答案】D
【分析】
由于椭圆中，由于与的大小关系无法确定，所以无法确定椭圆的焦点位置，以及长轴和短轴长、离心率，即可得正确答案.
【详解】
在中，，，可得：
所以其长轴长为，短轴长为，离心率，
在椭圆中，由于与的大小关系无法确定，所以无法确定椭圆的焦点位置，以及长轴和短轴长、离心率，
所以选项ABC都不正确，
故选：D.
3．抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离5，则该抛物线的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据抛物线定义建立关系可求出.
【详解】
抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离5，
则根据抛物线定义可得，解得，
所以抛物线方程为.
故选：A.
4．如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射，通过聚光获取热量进行炊事烹饪食物的一种装置.由于太阳光基本上属于平行光线，所以当太阳灶(旋转抛物面)的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，在这里形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点就在它的主光轴上.现有一抛物线型太阳灶，灶口直径为，灶深为，则焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
如图建系，设出抛物线的方程，由题意可得A的坐标，将A点的坐标代入求出p值，进而可得答案.
【详解】
解：由题意建立如图所示的平面直角坐标系，与重合：
设抛物线的方程为，
由题意可得，将A点坐标代入抛物线的方程可得：，
解得，所以抛物线的方程为：，
焦点的坐标为，即，
所以焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为.
故选：B.
5．若椭圆或双曲线上存在点，使得点到两个焦点的距离之比为，且存在，则称此椭圆或双曲线存在“点”，下列曲线中存在“点”的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
求出满足条件时的和，再求出，验证，，能否是三角形的三边长，即可得．
【详解】
，则，若是椭圆，则，，，
若是双曲线，则，，
A中椭圆，，，，，不存在；
B中椭圆，，，，，不存在
C中双曲线，，双曲线上点到到右焦点距离的最小值是，
，，，构成，存在“点”，
D中双曲线，，，，，，不存在
故选：C．
【点睛】
本题考查新定义“点”，解题方法是弱化条件，求出满足部分条件的点具有的性质，验证是否满足另外的条件：构成三角形．从而完成求解．
6．已知，是椭圆的左右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】D
【分析】
根据角平分线的性质和椭圆的定义可得是的中位线，
，可得Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，由此可得选项.
【详解】
是焦点为、的椭圆上一点，
的外角平分线，，
设的延长线交的延长线于点，
，
，，
由题意知是的中位线，
，
点的轨迹是以为圆心，以5为半径的圆，
当点与轴重合时，
与短轴端点取最近距离，
故选：D．
7．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，且，则的斜率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
由条件得到，设的直线方程为，，，联立直线与抛物线的方程消元，然后韦达定理可得，，然后结合解出的值即可.
【详解】
由题知，抛物线方程为，设的直线方程为，代入抛物线方程，得，
设，，则，.
因为所以或故，即的斜率为.
故选：D
8．已知点是双曲线：（，）的左焦点，点是右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，若是锐角三角形，则双曲线的离心率的的取值范围是（
）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
利用双曲线的对称性可得是锐角，得到，求出，，得到关于，，的不等式，求出离心率的范围．
【详解】
解：双曲线关于轴对称，且直线垂直轴，
，
是锐角三角形，
是锐角，即有，
为左焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，
，
，
，即，
由，可得，
解得，
又因，所以
则双曲线的离心率的范围是．
故选：A．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．(多选)已知抛物线C：x2＝2py，若直线y＝2x被抛物线所截弦长为4，则抛物线C的方程为（
）
A．x2＝4y
B．x2＝－4y
C．x2＝2y
D．x2＝－2y
【答案】CD
【分析】
将直线方程代入抛物线方程，求得交点坐标，利用两点之间的距离公式，即可求得的值，求得抛物线方程．
【详解】
解：由，解得：或，则交点坐标为，，
则，
解得：，
则抛物线的方程，
故选：．
10．(多选)已知双曲线的离心率为2.若抛物线C2：x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则（
）
A．双曲线C1的渐近线为
B．双曲线C1的渐近线为
C．抛物线C2的方程为x2=8y
D．抛物线C2的方程为x2=16y
【答案】AD
【分析】
根据双曲线的离心率，求，判断AB选项，根据焦点到渐近线的距离公式求，判断CD选项.
【详解】
解析：因为的离心率为2，所以，即，所以，.
的焦点坐标为，的渐近线方程为，即，由题意得，所以.
故C2的方程为.
故选：AD
11．已知椭圆的两个焦点分别为，与轴正半轴交于点，下列选项中给出的条件，能够求出椭圆标准方程的选项是（
）
A．是等腰直角三角形
B．已知椭圆的离心率为，短轴长为2
C．是等边三角形，且椭圆的离心率为
D．设椭圆的焦距为4，点在圆上
【答案】BD
【分析】
对每个选项依次计算判断，简单计算即可.
【详解】
对A，若是等腰直角三角形可知，没具体数据得不出方程；
对B，已知椭圆的离心率为，短轴长为2，则，由
所以，所以椭圆标准方程为，故B正确；
对C，是等边三角形，且椭圆的离心率为，所以，，数据不足，得不到结果；
对D，设椭圆的焦距为4，点在圆上，所以，
由，所以，所以椭圆方程为，故D正确
故选：BD
12．设为坐标原点，是双曲线的左、右焦点．在双曲线的右支上存在点满足，且线段的中点在轴上，则（
）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的方程可以是
C．
D．的面积为
【答案】AC
【分析】
由已知可得，设，再由已知结合双曲线定义可得与的关系，即可求得双曲线的离心率及渐近线方程，从而可判断AB；由为的中点，可得，两边平方后结合双曲线定义联立求得的长，可判断C；进一步求出的面积，可判断D
【详解】
解：对于A，设，因为线段的中点为，为的中点，所以∥，所以，由双曲线的定义可得，设，因为，所以，则，因为，所以，由，得，所以，所以A正确，
对于B，因为，所以，所以双曲线的渐近线方程为，所以B错误，
对于C，因为为的中点，所以，所以，所以，即，因为，所以，即，即，所以可得，，得，所以C正确；
对于D，，所以D错误，
故选：AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知双曲线的离心率为，则直线的倾斜角为________．
【答案】
【分析】
由双曲线的离心率可求得的值，可求得直线的斜率，由此可求得该直线的倾斜角.
【详解】
，则，
所以，直线的斜率为，
因此，直线的倾斜角为.
故答案为：.
14．已知抛物线的焦点是圆的圆心，则抛物线的准线方程是__________
．
【答案】
【分析】
由圆的一般式方程得圆的圆心为,进而得准线方程是．
【详解】
将圆的一般式方程化为标准方程得
所以圆心是,
于是抛物线的焦点是故
故其准线方程是．
故答案为:
．
15．已知椭圆C：(3>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是椭圆上一点，延长PF2与椭圆交于点A，若|OF1|=|OA|，△OF1A的面积为2，则___________.
【答案】或
【分析】
结合平面几何的知识可得，再结合椭圆定义可得或，最后由椭圆的定义及勾股定理列方程即可得解.
【详解】
因为|OF1|=|OA|，所以,所以△OF1A的面积，
所以，
由椭圆的定义可得，所以或，
设，则，
当时，由勾股定理得,
即，解得；
当时，由勾股定理得，解得；
综上，或.
【点睛】
关键点点睛：
解决本题的关键是灵活运用椭圆的定义及平面几何的知识转化所给条件.
16．已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点P是双曲线与以为直径的圆在第一象限内的交点，直线与直线交于点H，且点H是线段的中点，则______，双曲线的离心率为______．
【答案】1
【分析】
设，可得，则可得，进而求出，表示出，，利用定义可求出，进而求出，即可得出离心率.
【详解】
是圆上一点，，
是中点，且，
直线方程为，设，，
即，即，解得，
在直角三角形中，，则，则，
，，
由双曲线定义可得，即，解得，
则，.
故答案为：1；.
【点睛】
本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键是利用直线，在直角三角形中得出，进而求出各线段长.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）由题意，联立方程求出，即可得到双曲线方程；
（2）利用点差法求出中点坐标，点斜式求出直线方程即可.
【详解】
（1）由焦点可知，
又一条渐近线方程为
所以，
由可得
,解得，，
故双曲线的标准方程为
（2）设，AB中点的坐标为
则①，②，
②①得：，
即，又，
所以，
所以直线的方程为，即
18．（12分）已知点F为抛物线C：（）的焦点，且F到准线l的距离为2.
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若点P在抛物线上，且在第一象限，其横坐标为4，过点F作直线的垂线交准线l于点Q.证明：直线与抛物线C只有一个交点.
【答案】（1）；（2）证明见解析；
【分析】
（1）由题意，，可得抛物线的标准方程；
（2）求出直线的方程与抛物线方程联立，即可证明结论．
【详解】
解：（1）由题意，，
抛物线的标准方程为；
（2）由题意，，，，
，
直线的方程为，
令，则，
直线的方程为，即，
代入，可得，，
直线与抛物线只有一个交点．
19．（12分）已知双曲线：：(，)与有相同的渐近线，且经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线交于不同的两点?，且线段的中点在圆上，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点计算；（2）联立直线与双曲线的方程，得关于的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出的中点坐标，代入圆的方程计算.
【详解】
（1）由题意，设双曲线的方程为，又因为双曲线过点，，所以双曲线的方程为：
（2）由得
设，则，，所以
则中点坐标为，代入圆
得，所以.
20．（12分）已知椭圆的短半轴长为1，离心率为.
（1）求的方程；
（2）设的上?下顶点分别为?，动点(横坐标不为0)在直线上，直线交于点，记直线，的斜率分别为，，求的值.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）根据短半轴长和离心率求出，可得椭圆的方程；
（2）设，求出点的坐标，利用斜率公式求出和，再相乘可得结果.
【详解】
（1）依题意可知，，所以，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）依题意可知，，
设，则，直线：，令，得，即，
，，
所以.
21．（12分）已知在抛物线：上.
（1）求抛物线的方程；
（2），是抛物线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率之和为2，证明：直线过定点.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
(1)把点P的坐标代入即可得解；
(2)设出直线AB方程，联立直线AB与抛物线C的方程组，借助韦达定理及直线PA与PB斜率和为2即可得解.
【详解】
（1）将点坐标代入抛物线方程得，即，
所以抛物线的方程为；
（2）设：，将的方程与联立得，
，
设，，则，，
，同理：，
由题意：，，
解得，有，即，
故直线：恒过定点.
22．（12分）已知椭圆的左右焦点为、，离心率，过圆上一点Q（Q在y轴左侧）作该圆的切线，分别交椭圆E于A、B两点，交圆于C、D两点（如图所示）．当切线与x轴垂直时，的面积为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）（ⅰ）求的面积的最大值；
（ⅱ）求证：为定值，并求出这个定值．
【答案】（1）；（2）（ⅰ）1；（ⅱ）证明见解析，.
【分析】
（1）由三角形面积得，再结合离心率及求得后得椭圆方程；
（2）（ⅰ）直线的斜率不会为零，设其方程为，由直线与圆相切求得的关系，设，直线方程与椭圆方程联立，消元后求出判别式的值（利用关系），应用韦达定理，得弦长，计算面积，应用基本不等式得最大值；
（ⅱ），，用点坐标表示出，计算可得．
【详解】
（1），于是有，又，
解得，所以椭圆E的标准方程为．
（2）（ⅰ）因Q在y轴左侧，故直线的斜率不会为零，设其方程为，
由直线与圆相切得，
由消去x得，
，
设，则，
所以，当且仅当，即时取等号．
故的面积的最大值为1．
（ⅱ）因点在椭圆E上，且在y轴左侧，故，，
由（1），
故，
，
故为定值．
【点睛】
本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题．求椭圆标准方程的关键是列出关于的方程组，解得，直线与椭圆相交一般是设交点坐标，设直线方程，直线方程与椭圆方程联立，消元后应用韦达定理，由韦达定理的结果求弦长等等．
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第三章
圆锥曲线的方程
（考试时间：120分钟
试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．双曲线：的顶点到其渐近线的距离等于（
）.
A．
B．
C．
D．
2．椭圆与椭圆有（
）
A．相同短轴
B．相同长轴
C．相同离心率
D．前三个答案都不对
3．抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离5，则该抛物线的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
4．如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射，通过聚光获取热量进行炊事烹饪食物的一种装置.由于太阳光基本上属于平行光线，所以当太阳灶(旋转抛物面)的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，在这里形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点就在它的主光轴上.现有一抛物线型太阳灶，灶口直径为，灶深为，则焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
5．若椭圆或双曲线上存在点，使得点到两个焦点的距离之比为，且存在，则称此椭圆或双曲线存在“点”，下列曲线中存在“点”的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知，是椭圆的左右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
7．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，且，则的斜率为（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知点是双曲线：（，）的左焦点，点是右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，若是锐角三角形，则双曲线的离心率的的取值范围是（
）.
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．已知抛物线C：x2＝2py，若直线y＝2x被抛物线所截弦长为4，则抛物线C的方程为（
）
A．x2＝4y
B．x2＝－4y
C．x2＝2y
D．x2＝－2y
10．已知双曲线的离心率为2.若抛物线C2：x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则（
）
A．双曲线C1的渐近线为
B．双曲线C1的渐近线为
C．抛物线C2的方程为x2=8y
D．抛物线C2的方程为x2=16y
11．已知椭圆的两个焦点分别为，与轴正半轴交于点，下列选项中给出的条件，能够求出椭圆标准方程的选项是（
）
A．是等腰直角三角形
B．已知椭圆的离心率为，短轴长为2
C．是等边三角形，且椭圆的离心率为
D．设椭圆的焦距为4，点在圆上
12．设为坐标原点，是双曲线的左、右焦点．在双曲线的右支上存在点满足，且线段的中点在轴上，则（
）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的方程可以是
C．
D．的面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知双曲线的离心率为，则直线的倾斜角为________．
14．已知抛物线的焦点是圆的圆心，则抛物线的准线方程是__________
．
15．已知椭圆C：(3>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是椭圆上一点，延长PF2与椭圆交于点A，若|OF1|=|OA|，△OF1A的面积为2，则___________.
16．已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点P是双曲线与以为直径的圆在第一象限内的交点，直线与直线交于点H，且点H是线段的中点，则______，双曲线的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程.
18．（12分）已知点F为抛物线C：（）的焦点，且F到准线l的距离为2.
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若点P在抛物线上，且在第一象限，其横坐标为4，过点F作直线的垂线交准线l于点Q.证明：直线与抛物线C只有一个交点.
19．（12分）已知双曲线：：(，)与有相同的渐近线，且经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线交于不同的两点?，且线段的中点在圆上，求实数的值.
20．（12分）已知椭圆的短半轴长为1，离心率为.
（1）求的方程；
（2）设的上?下顶点分别为?，动点(横坐标不为0)在直线上，直线交于点，记直线，的斜率分别为，，求的值.
21．（12分）已知在抛物线：上.
（1）求抛物线的方程；
（2），是抛物线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率之和为2，证明：直线过定点.
22．（12分）已知椭圆的左右焦点为、，离心率，过圆上一点Q（Q在y轴左侧）作该圆的切线，分别交椭圆E于A、B两点，交圆于C、D两点（如图所示）．当切线与x轴垂直时，的面积为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）（ⅰ）求的面积的最大值；
（ⅱ）求证：为定值，并求出这个定值．
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