2021——2022学年 冀教版八年级数学上册第十六章　轴对称和中心对称 单元测试题（word版含解析）

第十六章　轴对称和中心对称
一、选择题(本大题有12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列四个图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是
(　　)
图1
2.下列图形中,对称轴的条数最多的图形是
(　　)
图2
3.如图3是一个中心对称图形,则此图形的对称中心为
(　　)
图3
A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
4.图4中的尺规作图分别表示:①作一个角的平分线;②作一个角等于已知角;③作一条线段的垂直平分线.其中作法正确的是
(　　)
图4
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
5.如图5,在方格纸中选择标有序号①②③④的小正方形中的一个涂灰,使它与图中阴影部分组成的新图形为中心对称图形,该小正方形的序号是
(　　)
图5
A.①
B.②
C.③
D.④
6.将图6①中的五边形纸片ABCDE的点A以BE为折痕往下折,点A恰好落在CD上,如图②所示,再分别以图②中的AB,AE为折痕,将C,D两点往上折,使得A,B,C,D,E五点均在同一平面内,如图③所示.若图①中∠A=124°,则图③中∠CAD的度数是
(　　)
图6
A.56°
B.60°
C.62°
D.68°
7.如图7,已知△ABC,求作一点P,使点P到∠A,∠B的两边的距离分别相等,下列确定点P的方法正确的是
(　　)
图7
A.P为∠A,∠B两角平分线的交点
B.P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点
C.P为AC,AB两边上的高的交点
D.P为AC,AB两边的垂直平分线的交点
8.P是∠AOB内一点,分别作点P关于直线OA,OB的对称点P1,P2,连接OP1,OP2,则下列结论正确的是
(　　)
A.
OP1⊥OP2
B.
OP1=OP2
C.OP1⊥OP2且OP1=OP2
D.
OP1≠OP2
9.如图8,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC交AC于点E,DE⊥AB于点D.如果△ADE的周长为6
cm,AC=4
cm,那么AD等于
(　　)
图8
A.2
cm
B.4
cm
C.3
cm
D.6
cm
10.如图9,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,将其折叠,使点A落在边CB上的点A'处,折痕为CD,则∠A'DB的度数为
(　　)
图9
A.40°
B.30°
C.20°
D.10°
11.如图10,△ABC的外角平分线BP,CP交于点P,PE⊥AC于点E.若S△BPC=6,PE=4,S△ABC=8,则△ABC的周长为
(　　)
图10
A.9
B.10
C.11
D.12
12.如图11,在锐角三角形ABC中,AB=4,△ABC的面积为8,BD平分∠ABC交AC于点D.若M,N分别是BD,BC上的动点,则CM+MN的最小值是
(　　)
图11
A.2
B.4
C.6
D.8
二、填空题(本大题有4个小题,共15分.13—15小题,每小题3分,16小题有两个空,每空3分)
13.如图12,△ABC与△DEF关于直线l对称,若∠A=65°,∠B=80°,则∠F=　　　　.?
图12
14.如图13,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D.若BC=32,且CD∶BD=7∶9,则点D到边AB的距离为　　　　.?
图13
15.图14中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成,若要在①②③④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形,使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形,则这个正方形应该添加在　　　处(填写区域对应的序号).?
图14
16.如图15,在△ABC中,∠BCA=90°,∠CBA=80°,作点B关于△ABC的角平分线CB1的对称点A1,点A1恰好落在AC上,则∠A1B1A=　　　　°;作点B1关于△A1B1A的角平分线A1B2的对称点A2,点A2也恰好落在AC上……继续作下去,若点An恰好与点A重合,则n=　　　　.?
图15
三、解答题(本大题有6个小题,共49分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(6分)如图16,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的长方形中,点A,B,C在小正方形的顶点上.
(1)在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB'C';
(2)在直线l上找一点P,使PB+PC的长最小.
图16
18.(8分)如图17,在△ABE中,AD⊥BE于点D,C是BE上一点,BD=DC,且点C在AE的垂直平分线上.若△ABC的周长为18
cm,求DE的长.
图17
19.(8分)如图18,在△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB于点E.
(1)若∠BAC=54°,求∠EDA的度数;
(2)求证:直线AD是线段CE的垂直平分线.
图18
20.(8分)如图19,在△ABC的边AB上有一点P.
(1)能否在另外两边AC和BC上各找一点M,N,使得△PMN的周长最小?若能,请画出点M,N的位置;若不能,请说明理由.
(2)若∠ACB=52°,在(1)的条件下,求出∠MPN的度数.
图19
21.(9分)如图20,在四边形ABDC中,∠D=∠ABD=90°,O为BD的中点,且AO平分∠BAC.求证:
(1)CO平分∠ACD;
(2)OA⊥OC;
(3)AB+CD=AC.
图20
22.(10分)如图21,P是∠AOB的平分线OC上的一点,过点P分别作OA,OB的垂线,垂足分别为D,H.
发现:如图①,连接DH,交OC于点M,写出图中所有全等的三角形;
探究:如图②,E是线段OD上一点,F是线段OH上一点,且DE=HF,则点P在线段EF的中垂线上吗?请说明理由;
拓展:如果点E在射线DA上,如图③,“探究”中的其余条件都不变,那么“探究”中的结论是否依然成立?请说明理由.
图21
答案
1.A　[解析]
A中的图形既是轴对称图形,又是中心对称图形;B中的图形是轴对称图形,不是中心对称图形;C中的图形既不是轴对称图形,也不是中心对称图形;D中的图形不是轴对称图形,是中心对称图形.
2.A　[解析]
A项,圆有无数条对称轴;
B项,此图形有1条对称轴;
C项,长方形有2条对称轴;
D项,此图形有1条对称轴.故对称轴的条数最多的图形是圆.
3.B
4.A　[解析]
①作一个角的平分线的作法正确;②作一个角等于已知角的作法正确;
③作一条线段的垂直平分线,缺少另一个交点,故作法错误.
5.B
6.D　[解析]
由图②知,∠BAC+∠EAD=180°-124°=56°,所以在图③中∠CAD=180°-56°×2=68°.
7.A
8.B　[解析]
如图,∵点P关于直线OA,OB的对称点分别为点P1,P2,∴OP1=OP2=OP,∠AOP=∠AOP1,∠BOP=∠BOP2,∴∠P1OP2=∠AOP+∠AOP1+∠BOP+∠BOP2=2(∠AOP+∠BOP)=2∠AOB.∵∠AOB的度数未给出,∴OP1⊥OP2不一定成立.故选B.
9.A　[解析]
∵在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,DE⊥AB于点D,∴CE=DE.
∵△ADE的周长为6
cm,∴AE+DE+AD=6
cm,即AC+AD=6
cm.
∵AC=4
cm,∴AD=6-4=2(cm).
10.D
11.B　[解析]
如图,过点P作PF⊥BC于点F,PG⊥AB于点G,连接AP.
∵△ABC的外角平分线BP,CP交于点P,
∴PF=PG=PE=4.
∵S△BPC=6,∴×4BC=6,解得BC=3.
∵S△ABC=S△ACP+S△ABP-S△BPC=×4(AB+AC)-6=8,∴AB+AC=7,
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=10.
12.B　[解析]
如图,过点C作CE⊥AB于点E,交BD于点M',过点M'作M'N'⊥BC于点N'.
∵BD平分∠ABC,M'E⊥AB于点E,M'N'⊥BC于点N',
∴M'N'=M'E,∴CM'+M'N'=CE,
∴当点M与点M'重合,点N与点N'重合时,CM+MN有最小值,最小值为CE的长.
∵△ABC的面积为8,AB=4,∴×4CE=8,∴CE=4,即CM+MN的最小值为4.
13.35°　[解析]
∵∠A=65°,∠B=80°,∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-80°=35°.∵△ABC与△DEF关于直线l对称,∴∠C=∠F=35°.
14.14　[解析]
如图,过点D作DE⊥AB于点E.∵BC=32,CD∶BD=7∶9,∴CD=32×=14.∵∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB,∴DE=CD=14,即点D到边AB的距离为14.
15.②
16.70　8　[解析]
∵点B关于△ABC的角平分线CB1的对称点为点A1,
∴CB=CA1,B1B=B1A1.
又∵CB1=CB1,∴△CB1B≌△CB1A1(SSS),
∴∠CA1B1=∠CBB1=80°.∵∠A=180°-∠BCA-∠ABC=10°,∠CA1B1=∠A1B1A+∠A,∴∠A1B1A=70°,同法可得:∠A2B2A=60°,…,∠An-1Bn-1A=80°-10°×(n-1).当∠An-1Bn-1A=∠A时,点An与点A重合,
∴80°-10°×(n-1)=10°,解得n=8.
17.解:(1)如图所示,△AB'C'即为所求.
(2)如图所示,点P即为所求.
18.解:∵点C在AE的垂直平分线上,
∴CA=CE.
∵AD⊥BE,BD=DC,
∴AB=AC.
∵△ABC的周长为18,
∴AB+BC+AC=18,
∴2AC+2DC=18,
∴AC+DC=9,
∴DE=DC+CE=AC+DC=9(cm).
19.解:(1)∵∠BAC=54°,AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠BAC=27°.
∵DE⊥AB,∴∠AED=90°,
∴∠EDA=90°-27°=63°.
(2)证明:∵DE⊥AB,∴∠AED=90°=∠ACB.
∵AD平分∠BAC,∴∠DAE=∠DAC.
又∵AD=AD,
∴△AED≌△ACD,
∴AE=AC,DE=DC,
∴点A,D都在线段CE的垂直平分线上,
∴直线AD是线段CE的垂直平分线.
20.解:(1)能.①分别作点P关于AC,BC的对称点D,G;
②连接DG交AC于点M,交BC于点N,则点M,N即为所求,如图.
(2)如图,设PD与AC交于点E,PG与BC交于点F,由作图知PD⊥AC,PG⊥BC,
∴∠PEC=∠PFC=90°,
∴∠ACB+∠EPF=180°.
又∵∠ACB=52°,
∴∠EPF=128°.
∵∠D+∠G+∠EPF=180°,
∴∠D+∠G=52°.
由对称可知∠G=∠GPN,∠D=∠DPM,
∴∠GPN+∠DPM=52°,
∴∠MPN=128°-52°=76°.
21.证明:(1)如图,过点O作OE⊥AC于点E.
∵∠ABD=90°,OE⊥AC,
AO平分∠BAC,
∴OB=OE.
∵O为BD的中点,
∴OB=OD,
∴OE=OD.
又∵OE⊥AC,∠D=90°,
∴CO平分∠ACD.
(2)由题意知∠B=∠AEO=90°.
∵AO平分∠BAC,
∴∠BAO=∠EAO.
又∵AO=AO,
∴△ABO≌△AEO,
∴∠AOB=∠AOE,
同理可得∠COD=∠COE,
∴∠AOC=∠AOE+∠COE=×180°=90°,
∴OA⊥OC.
(3)∵△ABO≌△AEO,
∴AB=AE.
同理可得CD=CE.
∵AE+CE=AC,
∴AB+CD=AC.
22.解:发现:△ODP≌△OHP,△ODM≌△OHM,△DMP≌△HMP.
探究:点P在线段EF的中垂线上.理由:
连接PF,PE.
∵OP是∠AOB的平分线,PD⊥OA,PH⊥OB,∴∠PHO=∠PDO=90°,PD=PH.
在△PHF和△PDE中,∵
∴△PHF≌△PDE,∴PF=PE,
∴点P在线段EF的中垂线上.
拓展:“探究”中的结论依然成立.
理由如下:如图,连接PE,PF.
∵OP是∠AOB的平分线,PD⊥OA,PH⊥OB,
∴∠PDE=∠PHF=90°,PD=PH.
在△PED和△PFH中,∵
∴△PED≌△PFH(SAS),
∴PE=PF,
∴点P在线段EF的中垂线上.