2021——2022学年 冀教版八年级数学上册第十七章　特殊三角形 单元测试题（word版含解析）

第十七章　特殊三角形
一、选择题(本大题有12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.如图1,△ABC是等边三角形,点D在AC边上,∠DBC=35°,则∠ADB的度数为
(　　)
图1
A.25°
B.60°
C.85°
D.95°
2.如图2,已知AC⊥BD,垂足为O,AO=CO,AB=CD,则可得到△AOB≌△COD,理由是
(　　)
图2
A.HL
B.SAS
C.ASA
D.SSS
3.如图3,直线l分别与直线AB,CD相交于点E,F,EG平分∠BEF交直线CD于点G.若∠1=∠BEF,EF=3,则FG的长为
(　　)
图3
A.4
B.3
C.5
D.1.5
4.如图4,在△ABC中,AB=AC,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线.若∠CAD=20°,则∠ACE的度数是
(　　)
图4
A.20°
B.35°
C.40°
D.70°
5.如图5,在△ABC中,AB=AC,∠ABP≠∠ACP,求证:PB≠PC,当用反证法证明时,第一步应假设
(　　)
图5
A.AB≠AC
B.PB=PC
C.∠ABP=∠ACP
D.∠ABC≠∠ACB
6.如图6,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,连接CD,则∠ACD的度数是
(　　)
图6
A.50°
B.40°
C.30°
D.20°
7.如图7,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,P是BC边上的动点,则AP的长可能是
(　　)
图7
A.5
B.6.2
C.7.8
D.8
8.已知:如图8,在△ABC中,∠ABC=45°,F是高AD和BE的交点,CD=4,则线段DF的长为
(　　)
图8
A.2
B.4
C.3
D.4
9.如图9,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,∠ABC的平分线BE交AD于点F,交AC于点E,AG平分∠DAC交BC于点G.有下列结论:①∠BAD=∠C;②∠AEF=∠AFE;③∠EBC=∠C;④AG⊥EF.其中正确的结论有
(　　)
图9
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
10.如图10,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C,M是BC的中点,P是A'B'的中点,连接PM.若BC=2,∠BAC=30°,则线段PM的最大值是
(　　)
图10
A.4
B.3
C.2
D.1
11.勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位,在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载.如图11①是由边长均为1的小正方形和Rt△ABC构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.将图①按图②所示“嵌入”长方形LMJK,则该长方形的面积为
(　　)
图11
A.120
B.110
C.100
D.90
12.如图12,在第一个△A1BC中,∠B=40°,A1B=BC,在边A1B上任取一点D,延长CA1到点A2,使A1A2=A1D,得到第二个△A1A2D,再在边A2D上任取一点E,延长A1A2到点A3,使A2A3=A2E,得到第3个△A2A3E……如此类推,可得到第n个等腰三角形,则第n个等腰三角形中,以An为顶点的底角的度数为
(　　)
图12
A.n·40°
B.n-1·40°
C.n-1·70°
D.n·70°
二、填空题(本大题有4个小题,共15分.13—15小题,每小题3分,16小题有两个空,每空3分)
13.如图13,在△ABC中,AB=AC.以点C为圆心,CB长为半径作圆弧,交AC的延长线于点D,连接BD.若∠A=32°,则∠CDB的度数为　　　　.?
图13
14.已知△ABC的三边长a,b,c满足+|b-1|+(c-)2=0,则△ABC一定是　　　　三角形.?
15.如图14,透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12
cm,底面周长为10
cm.在容器内壁离容器底部3
cm的点B处有一饭粒,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,且离容器上沿3
cm的点A处,则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程是　　　　.?
图14
16.已知在△ABC中,AB=AC.
(1)若∠A=36°,在△ABC中画一条线段,这条线段将△ABC分成两个等腰三角形(不包括△ABC),则这两个等腰三角形的顶角的度数分别是　　　　;?
(2)若∠A≠36°,当∠A=　　　　时,在等腰三角形ABC中画一条线段,这条线段将△ABC分成两个等腰三角形(不包括△ABC).(写出两个答案即可)?
三、解答题(本大题有6个小题,共49分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(6分)已知:如图15,在△ABC中,AB=AC,D是AB上一点,DE⊥BC,E是垂足,ED的延长线交CA的延长线于点F.
求证:AD=AF.
图15
18.(8分)如图16,有一架秋千,当它静止时,踏板离地面的垂直高度DE=1
m,将它往前推送6
m(水平距离BC=6
m)时,秋千的踏板离地面的垂直高度BF=4
m,秋千的绳索始终拉得很直,求绳索AD的长.
图16
19.(8分)如图17,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BD,AE⊥CE,垂足分别为D,E,且AD=AE,BD和CE交于点O.求证:OB=OC.
图17
20.(8分)如图18,在△ABC中,D,E是边BC上的两点,且AB=BE,AC=CD.
尝试:若∠BAC=90°,求∠DAE的度数;
拓展:若∠BAC=120°,直接写出∠DAE的度数;
猜想:设∠BAC=α,∠DAE=β,写出α与β之间的数量关系(不需证明).
图18
21.(9分)如图19,在△ABC中,AD是BC边上的高,CE是AB边上的中线,DG⊥CE于点G,CD=AE,连接DE.
(1)求证:CG=EG;
(2)已知BC=13,CD=5,求△EDC的面积.
图19
22.(10分)如图20,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由点A向点C运动(不与点A,C重合),Q是CB延长线上一点,与点P同时以相同的速度由点B沿射线CB方向运动(点Q与点B不重合),过点P作PE⊥AB于点E,连接PQ交AB于点D.
(1)当∠BQD=30°时,求AP的长.
(2)求证:在运动过程中,D是线段PQ的中点.
(3)在运动过程中,线段ED的长是否发生变化?如果不变,求出线段ED的长;如果变化,请说明理由.
图20
答案
1.D　[解析]
∠ADB=∠DBC+∠C=35°+60°=95°.
2.A　[解析]
∵AC⊥BD,
∴∠AOB=∠COD=90°.
在Rt△AOB和Rt△COD中,∵
∴Rt△AOB≌Rt△COD(HL).
3.B　[解析]
∵EG平分∠BEF,∴∠GEB=∠GEF.∵∠1=∠BEF,∴CD∥AB,∴∠EGF=∠GEB,∴∠GEF=∠EGF,∴FG=EF=3.
4.B　[解析]
∵AB=AC,AD是△ABC的中线,
∴∠BAC=2∠CAD=40°,∠ABC=∠ACB,
∴∠ACB==70°.
∵CE是△ABC的角平分线,
∴∠ACE=∠ACB=35°.
5.B
6.D　[解析]
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,∴∠B=40°.
∵BC=BD,∴∠BCD=∠BDC=(180°-40°)=70°,
∴∠ACD=90°-70°=20°.
7.A　[解析]
根据垂线段最短,可知AP的长不可能小于3.
∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=3,
∴AB=6,∴AP的长不可能大于6,
∴3≤AP≤6.故选A.
8.B　[解析]
∵∠ABC=45°,AD⊥BC,∴AD=BD.
∵AE⊥AC,AD⊥BC,
∴∠FBD+∠C=90°,∠CAD+∠C=90°,
∴∠FBD=∠CAD.
易证△FBD≌△CAD,
∴DF=DC=4.
9.C　[解析]
∵∠BAC=90°,AD⊥BC,∴∠C+∠ABC=90°,∠BAD+∠ABC=90°,
∴∠BAD=∠C,故①正确;
∵BE是∠ABC的平分线,∴∠ABE=∠CBE.
∵∠ABE+∠AEF=90°,∠CBE+∠BFD=90°,∴∠AEF=∠BFD.
又∵∠AFE=∠BFD,∴∠AEF=∠AFE,故②正确;
∵∠ABE=∠CBE,∴只有当∠C=30°时,∠EBC才等于∠C,故③错误;
∵∠AEF=∠AFE,∴AE=AF.
又∵AG平分∠DAC,∴AG⊥EF,故④正确.
综上所述,正确的结论是①②④.
10.B　[解析]
如图,连接PC.在Rt△ABC中,
∵∠BAC=30°,BC=2,
∴AB=4.
根据旋转的性质可知,A'B'=AB=4,∠A'CB'=∠ACB=90°.
∵P是A'B'的中点,
∴PC=A'B'=2.
∵M是BC的中点,∴CM=BM=BC=1.
∵PM≤PC+CM,
∴PM≤3,
∴PM的最大值为3(此时P,C,M三点共线).
11.B　[解析]
延长AB交KF于点O,延长AC交GM于点P,如图所示,
则四边形AOLP是长方形.
∵∠CBF=90°,∴∠ABC+∠OBF=90°.
又∵在Rt△ABC中,∠ABC+∠ACB=90°,∴∠OBF=∠ACB.
在△ACB和△OBF中,∵
∴△ACB≌△OBF(AAS),
∴AC=OB.
同理:△ACB≌△PGC,
∴PC=AB,
∴OA=AP,
∴长方形AOLP是正方形,边长AO=AB+OB=AB+AC=3+4=7,
∴KL=3+7=10,LM=4+7=11,
∴长方形KLMJ的面积为10×11=110.
12.C　[解析]
在△CBA1中,∠B=40°,A1B=CB,∴∠BA1C==70°.∵A1A2=A1D,∠BA1C是△A1A2D的外角,∴∠DA2A1=∠BA1C=×70°,同理可得∠EA3A2=2×70°,∠FA4A3=3×70°,∴第n个等腰三角形中,以An为顶点的底角的度数是n-1×70°.
13.37°　[解析]
∵AB=AC,∠A=32°,
∴∠ABC=∠ACB=74°.
又∵BC=DC,
∴∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°.
14.等腰直角　[解析]
由题意,得∴
∵12+12=()2,∴a2+b2=c2,
∴△ABC是直角三角形.
又∵a=b=1,
∴△ABC是等腰直角三角形.
15.13
cm
16.(1)108°,36°　(2)答案不唯一,如90°或108°
[解析]
(1)如图①,∵AB=AC,∠A=36°,
∴当AE=BE时,∠ABE=∠A=36°,则∠AEB=108°,∴∠EBC=36°,
∴这两个等腰三角形的顶角的度数分别是108°,36°;
(2)当∠A=90°或108°时,在等腰三角形ABC中画一条线段,这条线段将△ABC分成两个等腰三角形.如图②,图③.
17.证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵DE⊥BC,
∴∠C+∠F=90°,∠B+∠BDE=90°,
∴∠F=∠BDE.
又∵∠ADF=∠BDE,
∴∠F=∠ADF,∴AD=AF.
18.解:由题意知BF=CE=4
m,AB=AD.
∵DE=1
m,∴CD=3
m.
设秋千的绳索AD的长为x
m,则AC=AD-CD=(x-3)m.
在Rt△ACB中,AC2+BC2=AB2,
即(x-3)2+62=x2,
解得x=7.5.
答:绳索AD的长是7.5
m.
19.证明:∵AD⊥BD,AE⊥CE,
∴∠AEC=∠ADB=90°.
在Rt△AEC和Rt△ADB中,∵
∴Rt△AEC≌Rt△ADB(HL),
∴∠ACE=∠ABD.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACE,
即∠OBC=∠OCB,
∴OB=OC.
20.解:尝试:∵BE=AB,∴∠BAE=∠BEA,
∴∠B=180°-2∠BAE.①
∵CD=AC,∴∠CAD=∠CDA,
∴∠C=180°-2∠CAD.②
①+②,得∠B+∠C=360°-2(∠BAE+∠CAD),
∴180°-∠BAC=360°-2[(∠BAD+∠DAE)+(∠DAE+∠CAE)],
∴∠BAC=2[(∠BAD+∠DAE+∠CAE)+∠DAE]-180°,
∴∠BAC=2(∠BAC+∠DAE)-180°,
∴2∠DAE=180°-∠BAC.
∵∠BAC=90°,∴2∠DAE=180°-90°=90°,
∴∠DAE=45°.
拓展:∠DAE=(180°-∠BAC)=×(180°-120°)=30°.
猜想:β=(180°-α),∴α+2β=180°.
21.解:(1)证明:∵AD是△ABC的高,CE是△ABC的中线,∴∠ADB=90°,AE=BE,
∴DE=AB=BE=AE.
∵CD=AE,∴DE=CD.
又∵DG⊥CE,∴CG=EG.
(2)如图,过点E作EF⊥BC于点F.
∵BC=13,CD=5,∴BD=13-5=8.
∵DE=BE,EF⊥BC,∴DF=BD=4.
由(1)可知DE=CD=5,
∴EF===3,
∴△EDC的面积=CD·EF=×5×3=7.5.
22.解:(1)设AP=x,则BQ=x.
∵△ABC是等边三角形,∴∠C=60°.
又∵∠BQD=30°,∴∠QPC=90°,
∴QC=2PC,即x+6=2(6-x),解得x=2,
即AP=2.
(2)证明:如图,过点P作PF∥BC,交AB于点F.
∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠ABC=∠C=60°.
∵PF∥BC,
∴∠AFP=∠ABC=60°,∠APF=∠C=60°,
∴∠AFP=∠APF=∠A=60°,
∴△APF是等边三角形,∴PF=AP=AF.
∵AP=BQ,∴PF=BQ.
又∵∠BDQ=∠FDP,∠DBQ=∠DFP=120°,
∴△DQB≌△DPF,
∴DQ=DP,即D是线段PQ的中点.
(3)在运动过程中,线段ED的长不变.
∵PF=AP=AF,PE⊥AF,∴EF=AF.
∵△DQB≌△DPF,
∴DF=DB,即DF=BF,
∴ED=EF+DF=(AF+BF)=AB=3.