1.4充分条件与必要条件课件（共18张PPT）—2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语
1.4 充分条件与必要条件
（第1课时）
温故知新
命题
我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
判断为真的语句是真命题
判断为假的语句是假命题
命题可以写成“若p，则q”“如果p，那么q”等形式，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论。
eg.若两条直线平行，则同位角相等。
真命题
条件p
结论q
探究新知
下列“若p则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？
（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；
（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；
（3）若?????????????????+????=????，则????=????；
（4）若平面内的两条直线????和????均垂直与直线????，则????∥ ????
?
真
假
假
真
?????????
?
?????????
?
?????????
?
?????????
?
概念学习
（1）“若p则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q。我们就说，由p可以推出q，记作
?????????
并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。
?
概念剖析
p是q的充分条件——有p就可以推出q
q是p的必要条件——没有q就推不出p
“p是q的充分条件”与“q是p的必要条件”是完全等价的，它们是同一个逻辑关系“?????????”的两种不同表达方法。
?????????：p是q的充分条件，q是p的必要条件
简记为：顺着箭头方向讲是“充分”，逆着箭头方向讲是“必要”
?
概念学习
（1）“若p则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q。我们就说，由p可以推出q，记作
?????????
并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。
?
（2）“若p则q”为假命题，是指由p推不出q。记作
?????????
我们就说，p不是q的充分条件，q不是p的必要条件。
?
运用新知
例1 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；
（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；
（3）若????>????，则????????>????????；
（4）若????，????为无理数，则????????为无理数.
?
即：?????????
?
?
?
?
?
是
是
?
?
解析：（3）当????=????，????=????，????=????时，????????=????????
?
不是
?
?
（4）当????=????=????时，????????=????是有理数
?
不是
方法总结
（1）判定p是q的充分条件，即p?q，即命题“若p，则q”为真命题。
（2）判断一个命题为真，要依据定义、定理或常用结论能由p推出q成立；判断一个命题为假，只需举反例。
?
运用新知
例2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
（1）若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；
（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；
（3）若????????>????????，则????>????；
（4）若????????为无理数，则????，????为无理数.
?
即：?????????
?
?
?
?
?
是
是
?
?
解析：（3）当????=????，????=????，????=?????时，有????????>????????，但?????
不是
?
?
（4）????×????=????是无理数，但????，????不全是无理数
?
不是
观察发现
观察例1、例2中相应的8个命题，你能发现什么？
（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；
（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；
（3）若????>????，则????????>????????；
（4）若????，????为无理数，则????????为无理数.
?
（1）若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；
（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；
（3）若????????>????????，则????>????；
（4）若????????为无理数，则????，????为无理数.
?
逆命题
将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题。
?????????：p是q的充分条件，q是p的必要条件
?
?????????：p是q的必要条件，q是p的充分条件
?
探究新知
下列“若p，则q”形式的命题中，写出它们的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假性：
（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等。
逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形的内角和其中一角所对的边分别相等。
真
?????????，p是q的充分条件
?
真
?????????，p是q的必要条件
?
如果既有?????????，又有?????????，就记作?????????，此时，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件。
?
如果?????????，那么p与q互为充要条件。
?
下列“若p，则q”形式的命题中，写出它们的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假性：
（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等。
逆命题：若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等。
探究新知
真
?????????，p是q的充分条件
?
假
?????????，p不是q的必要条件
?
?????????，?????????：p是q的充分不必要条件
?
下列“若p，则q”形式的命题中，写出它们的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假性：
（3）若????????=????，则????=????。
逆命题：若????=????，则????????=????。
?
探究新知
假
?????????，p不是q的充分条件
?
真
?????????，p是q的必要条件
?
?????????，?????????：p是q的必要不充分条件
?
下列“若p，则q”形式的命题中，写出它们的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假性：
（4）若????>????，则????????>????????。
逆命题：若????????>????????，则????>????。
?
探究新知
假
?????????，p不是q的充分条件
?
真
?????????，p不是q的必要条件
?
?????????，?????????：p是q的既不充分也不必要条件
?
归纳新知
?????????，?????????：p是q的充分不必要条件
?
?????????，?????????：p是q的必要不充分条件
?
?????????，?????????：p是q的既不充分也不必要条件
?
?????????，?????????：p是q的充要条件
?
运用新知
例3 在下列各题中，判断p是q的什么条件（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答）
（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；
（2）p：????????>????，q：????>????，????>????；
（3）p：????=????是一元二次方程????????????+????????+????=????的一个根，
q：????+????+????=????????≠????
?
p
q
?
?
?
?
p是q的充分不必要条件
p
q
?
?
?
?
p是q的必要不充分条件
p
q
?
?
?
?
p是q的充要条件
巩固新知
在下列各题中，判断p是q的什么条件（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答）
（1）p：⊙????内两条弦相等，q：⊙????内两条弦所对的圆周角相等
（2）p：????∩????为空集，q：????与????之一为空集
（3）p：????=????，q：????????=????????
（4）p：?????????
课堂小结
1、?????????：p是q的充分条件，q是p的必要条件
?????????：p是q的必要条件，q是p的充分条件
2、?????????，?????????：p是q的充要条件
?????????，?????????：p是q的充分不必要条件
?????????，?????????：p是q的必要不充分条件
?????????，?????????：p是q的既不充分也不必要条件
3、判断一个命题为真，要依据定义、定理或常用结论能由条件推出结论成立；判断一个命题为假，只需举反例。