4.2.2等差数列的前n项和-课件（共36张PPT）-2020-2021学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.2等差数列的前n项和
1.等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
符号表示：an - an-1=d(n≥2,n∈N*)
2.首项a1公差d，的等差数列{an}的通项公式为
an=a1+(n－1)d=an=am+(n－m)d
复习
已知等差数列的任意两项可求公差
引入
据说，200多年前，高斯的算数老师提出了下面的问题：
1+2+3+...+99+100=？
当其他同学忙于把100个数逐个相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：
（1+100）+（2+99）+（3+98）+……+（50+51）=101╳50=5050
高斯的算法实际上解决了求等差数列1，2，3，...，n，...①前100项的和的问题
思考：你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗？你能从中得到求数列①的前n项和的方法吗？
探究
思考：你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗？你能从中得到求数列①的前n项和的方法吗？
解：对于数列①，设an=n，那么高斯的算法可表示为
(a1+a100)+(a2+a99)+...+(a50+a51)=101╳50=5050
可以发现，高斯利用了
a1+a100=a2+a99=...=a50+a51（下标和性质）
使不同数的求和问题转化为相同数（即101）的求和，从而简化运算
高斯算法：
1＋2＋3＋……＋100
=（1+100）+（2+99）+（3+98）+……+（50+51）
=101╳50=5050

2.计算
1+2+3+……+100+101
=（1+101）+（2+100）+（3+99）+……+（50+52）+51
=102╳50+51=5151
探究
计算：求1+2+3+……+n
当n为偶数时，
Sn=1 + 2 + 3 +……+n
=(1+n)+(2+n-1)+……+( + )
=(n+1)×
=
探究
当n为奇数时，
Sn=1 + 2 + 3 +……+n
=(1+n)+(2+n-1)+……+( + )+
=(n+1)× +
=
探究
计算：求1+2+3+……+n
思考：我们发现，在求前n个正整数的和时，要对n分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦，能否设法避免分类讨论？
令Sn=1 + 2 + 3 +……+n
Sn=n+(n-1)+(n-2)+……+1
2 Sn=(1+n)+(2+n-1)+……+(n+1)
2 Sn=(n+1)×n
Sn=
探究
计算：求1+2+3+……+n
已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn .
解：
①
②
倒序相加法
探究
于是有：
设等差数列｛an｝的前n项和为sn
公式一
公式二
探究
设等差数列｛an｝的前n项和为sn
公式一
公式二
练习：已知{an}是等差数列, 求Sn
(1)a1=1,an=2n－1
(2)a1=2,an=－3n＋5
(3)a1=1,d=－2
(4)a1=-10,d=3
新知
例6 已知{an}是等差数列
(1)若a1=7，a50=101，求S50；(2)若a1=7，a2= ，求S10；
(3) 若a1= ，d= ,Sn=-5,求n.
(2)∵a1=2,a2= ，∴d=
例题
即n2－7n－60=0
解得n=12或n=－5（舍）
例6 已知{an}是等差数列
(1)若a1=7，a50=101，求S50；(2)若a1=7，a2= ，求S10；
(3) 若a1= ，d= ,Sn=-5,求n.
例题
已知{an}是等差数列, 求Sn
(1)a1=5,an=95,n=10
(2)a1=6,a12=－16
(3)a1=100,d=－2,n=50 (4)a1=2,d=2,n=10
练习
已知{an}是等差数列, 公差为d,求Sn
(1)a1=－4,a8=－18,n=10 (2)a1=14.5,d=0.7,an=32
练习
等差数列的前n项和公式的应用
1.当已知首项、末项和项数时，可采用公式一
当已知首项、公差和项数时，可采用公式二．
2.两个公式共涉及a1、d、n、an及Sn五个基本量，
知三求二。
归纳
例7.已知一个等差数列 前10项的和310，前20项的和是1220.有这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？
解：设这个等差数列的公差为d，前n项和公式为Sn
由题意知 ，根据
所以
解得
所以这个等差数列的首项为4、公差为6
例题
一般地，对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定
例8.某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位.问第1排应安排多少个座位.
分析：等差数列,n=20,S20=800,d=2,求首项
解：设报告厅作为从第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成等差数列{an}.记前n项和为Sn
则由题意可知,n=20,S20=800,d=2,
解得a1=21 因此第1排应安排21个座位
例题
举例：已知{an}是等差数列, 求Sn
(1)a1=1,an=2n－1
(2)a1=2,an=－3n＋5
(3)a1=1,d=－2
(4)a1=-10,d=3
探究
Sn是关于n的二次函数式(常数项为0)，Sn的图象是二次函数y＝Ax2＋Bx上的一群孤立的点．
结论： {an}为等差数列? ，这是一个关于 的

没有 的“ ”， ，
Sn=An2+Bn
n
常数项
二次函数
（ 注意 A 还可以是 0）
新知
例9 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=10,公差d=－2,则Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.
分析：Sn是关于n的没有常数项的一元二次函数，这样，就把求Sn的最大值转化为求二次函数得最大值.
解：因为a1=10,公差d=－2
即Sn=－n2+11n,
∵f(x)=－x2+9x在x=5.5时取得最大值
∴当n=5或6时取得最大值，最大值为30
例题
例9 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=10,公差d=－2,则Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.
解：∵a1=10,公差d=－2，
∴{an}是递减数列，且an=a1＋(n-1)d=10＋(n-1)×(－2)=－2n+12
令－2n+12>0得n<6
令－2n+12＝0得n＝6
令－2n+12<0得n>6
∴当n=5或6时取得最大值
例题
求等差数列前n项和的最值的2种方法
(1)通项公式法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项．即求使an≥0(或an≤0)成立的最大n值，即得Sn的最值．
(2)二次函数法
利用等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)为二次函数，运用配方法，借助函数的单调性及数形结合求最值．
此种方法需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件，若对称轴取不到，需考虑最接近对称轴的自变量n(n∈N*)．
归纳
设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
练习
[解析]解法一：设该数列的公差为d，
则a4＋a6＝2a1＋8d＝2×(－11)＋8d＝－6，解得d＝2，
所以Sn＝－11n＋ =n2－12n＝(n－6)2－36，
所以当n＝6时，Sn取最小值．
解法二：
由an＝2n－13知，n≤6时，an<0；n≥7时，an>0，故S6最小．
小结
1.设等差数列｛an｝的前n项和为sn
公式一
公式二
2.{an}为等差数列?Sn=An2+Bn，这是一个关于n的没有常数项
的二次函数，其中
3.求等差数列前n项和的最值的2种方法
(1)通项公式法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项．即求使an≥0(或an≤0)成立的最大n值，即得Sn的最值．
(2)二次函数法
作业
P24课本习题4.2 1、2