2021—2022学年京改版九年级数学上册第二十章 解直角三角形单元测试题（word版含答案）

第二十章
解直角三角形　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题(每题4分,共32分)
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,若BC=1,AC=2,则cosA的值为(　　)
A.
B.
C.
D.2
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinB=,则∠B的度数是(　　)
图1
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
3.如图1,AD⊥CD,AB=13,BC=12,CD=3,AD=4,则sinB的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
4.把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A的余弦值(　　)
A.不变
B.缩小为原来的
C.扩大为原来的3倍
D.扩大为原来的9倍
5.如图2,某人想沿着梯子爬上高4米的房顶,梯子的倾斜角(梯子与地面的夹角)不能大于60°,否则就有危险,那么梯子的长至少为(　　)
图2
A.8米
B.8米
C.米
D.米
6.一个人乘雪橇沿坡比为1∶的斜坡笔直滑下,如图3所示,滑下的距离s(m)与时间t(s)的关系为s=10t+2t2,若滑到坡底的时间为4
s,则此人下降的高度为(　　)
图3
A.72
m
B.36
m
　C.36
m
　D.18
m
7.边长为a的等边三角形的面积为(　　)
图4
A.a2
B.a2
　C.a
　D.a2
8.
如图4,在△ABC中,cosB=,sinC=,AC=5,则△ABC的面积是(　　)
A.
B.12
C.14
D.21
二、填空题(每题4分,共16分)
9.如图5,在平面直角坐标系中,P是锐角α的边OA上一点,且点P的坐标为(4,3),则sinα=　　　　,cosα=　　　　.?
图5
10.在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=,BC=8,则△ABC的面积为　　　　.?
11.公元三世纪,我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图6所示,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是40,tan∠1=,则小正方形的面积是　　　　.?
图6
12.如图7所示的网格是由边长均为1的正方形组成的网格,则sin∠BAC与sin∠DAE的大小关系是　　　　　　.(用“>”连接)?
图7
三、解答题(共52分)
13.(12分)计算:(1)|-|-(3-π)0+2cos60°+（）-1;
(2)|-|-(π-3)0+2cos45°+（）-1.
14.(8分)如图8,在△AOC中,OA=OC,OD是AC边的中线,延长AO至点B,作∠COB的平分线OH,过点C作CF⊥OH于点F.
(1)求证:四边形CDOF是矩形;
(2)连接DF,若cosA=,CF=8,求DF的长.
图8
15.(8分)如图9,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB边的中点,连接CD,过点A作AG∥CD,过点C作CG∥DA,AG与CG相交于点G.
(1)求证:四边形ADCG是菱形;
(2)若AB=10,tan∠CAG=,求BC的长.
图9
16.(12分)
今年五一假期,某数学活动小组组织了一次登山活动.他们从山脚下点A出发沿斜坡AB到达点B,再从点B沿斜坡BC到达山顶点C,路线如图10所示.斜坡AB的长为1040米,斜坡BC的长为400米,在点C测得点B的俯角为30°.已知点A的海拔为121米,点C的海拔为721米.
(1)求点B的海拔;
(2)求斜坡AB的坡度.
图10
17.(12分)如图11,某小区在规划改造期间,欲拆除小区广场边的一根电线杆AB,已知距电线杆AB水平距离14米处是观景台,即BD=14米,该观景台的坡面CD的坡角∠CDF的正切值为2,观景台的高CF为2米,在坡顶C处测得电线杆顶端A的仰角为30°,D,E之间是宽2米的人行道,如果以点B为圆心,以AB的长为半径的圆形区域为危险区域.请你通过计算说明:在拆除电线杆AB时,人行道是否在危险区域内?
图11
答案
1.B　2.C　3.A　4.A
5.C　[解析]
梯子的长至少为=(米).
6.C　7.D　8.A
9.　　10.24　11.16
12.sin∠BAC>sin∠DAE　[解析]
如图,连接NH,BC,过点N作NP⊥AD于点P.
由图形,得S△ANH==AH·NP,AH=,∴=NP,∴NP=
.
在Rt△ANP中,sin∠NAP==.
在Rt△ABC中,sin∠BAC==.
∵>,∴sin∠BAC>sin∠DAE.
13.解:(1)原式=-1+2×+2=+2.
(2)原式=2-1+2×+3=3+2.
14.解:(1)证明:∵在△AOC中,OA=OC,OD是AC边的中线,
∴OD⊥AC,OD平分∠AOC,
∴∠ODC=90°,∠COD=∠AOC.
∵OH平分∠COB,
∴∠COF=∠COB.
∵∠AOC+∠COB=180°,
∴∠COD+∠COF=90°,即∠DOF=90°.
∵CF⊥OH,∴∠CFO=90°,
∴四边形CDOF是矩形.
(2)∵OA=OC,
∴∠A=∠ACO.
∵四边形CDOF是矩形,
∴CD∥OF,
∴∠ACO=∠COF,
∴∠COF=∠A,
则cos∠COF=cosA=,∴=.
设OF=3x,OC=5x,则CF=4x.
∵CF=8,∴x=2,∴OC=10,
∴在矩形CDOF中,DF=OC=10.
15.解:(1)证明:∵AG∥CD,CG∥DA,
∴四边形ADCG为平行四边形.
∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB边的中点,
∴AD=CD,∴四边形ADCG是菱形.
(2)∵四边形ADCG是菱形,∴∠CAG=∠BAC.
∵tan∠CAG=.
∴tan∠BAC=.∴=.
设BC=3x,AC=4x.则AB=5x.
∵AB=10,∴x=2,∴BC=6.
16.解:(1)如图,过点C作CF⊥AM,垂足为F,过点B作BD⊥CF,垂足为D.
∵在点C测得点B的俯角为30°,
∴∠CBD=30°.
又∵BC=400米,
∴CD=400×sin30°=400×=200(米),
721-200=521(米).
答:点B的海拔为521米.
(2)如图,过点B作BE⊥AM于点E.
∵BE=DF=521-121=400(米),AB=1040米,
∴AE===960(米),
∴AB的坡度i====1∶2.4.
答:斜坡AB的坡度为1∶2.4.
17.解:如图,过点C作CG⊥AB,垂足为G.由题意可知,∠CGB=∠B=∠CFD=90°.
∴四边形BFCG是矩形,∴BG=CF=2米.
∵在Rt△CDF中,tan∠CDF==2,CF=2米,∴DF=1米.
又∵BD=14米,∴BF=GC=BD+DF=14+1=15(米).
在Rt△AGC中,由tan∠ACG=tan30°==,得AG=15×=5(米),
∴AB=AG+BG=5+2≈10.66(米).
∵BE=BD-ED=14-2=12(米),
∴AB∴人行道不在危险区域内.