吉林省梅河口市2020-2021学年高二下学期期末考试数学（理）试题 Word版含答案

梅河口市2020——2021学年度下学期期末考试
高二理科数学试题
本试卷共22小题，满分150分.用时120分钟.
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设，，则=
A． B． C． D．
2.设，则“”是“”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.下列4个函数中，定义域和值域均为的是
A． B． C． D．
4.函数的图象大致是
5.设随机变量服从二项分布，且，则
A. B. C. D.
6. 已知函数，则等于
A． B． 　　　 C． D． 　
7.若函数的两个零点一个大于，一个小于，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
8. 定积分
A. B. C. D.
9. 下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的函数是
A． B. C. D.
10．方程的非零实数解为
A． B． 　 C． 　 D．
11．已知定义域为的偶函数满足条件，则下面给出的等式中不恒成立的是
A. B. C. D.
12.若函数有且只有一个零点，实数的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上)
13．曲线在点处的切线的方程为_______________．
14.若函数是定义域为的奇函数，则实数 ．
15．若函数不存在极值点，则的取值范围是_________．
16.设函数. ① 若，则的最大值为 （2分）；
② 若有且只有2个零点，则实数的取值范围是 （3分）.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（本题10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）判断与公共点的个数，并说明理由．
18. （本题12分）
某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于万件时，（万元）；当年产量不小于万件时，（万元）.已知每件产品售价为元，假设该同学生产的商品当年能全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）
（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取）.
19．（本题12分）
在迎来中国共产党成立100周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹.习近平总书记指出：“脱贫摘帽不是终点，而是新生活?新奋斗的起点.”为了解脱贫家庭人均年纯收入情况，某扶贫工作组对两个地区2019年脱贫家庭进行简单随机抽样，共抽取600户家庭作为样本，获得数据如下表：
地区 地区
2019年人均年纯收入超过1万元 120户 200户
2019年人均年纯收入未超过1万元 180户 100户
假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过1万元相互独立.
（1）分别从地区和B地区2019年脱贫家庭中各随机抽取1户，记X为这2户家庭中2019年人均年纯收入超过1万元的户数，且把频率视作概率.求的分布列和数学期望；
（2）从样本中地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，发现这4户家庭2020年人均年纯收入都超过1万元.根据这个结果，能否认为样本中地区2020年人均年纯收入超过1万元的户数相比2019年有变化？请说明理由.
参考数据：.
20. （本题12分）
已知函数的定义域为.
（1）求的取值范围；
（2）若，函数在上的最大值与最小值互为相反数，求实数的值．
21．（本题12分）
定义在上的函数满足且．当时，．
（1）求在上的解析式；
（2）当为何值时，关于的方程在区间上有实数解．
22.（本题12分）
已知函数，
（1）直接写出函数的零点个数（不要求写过程）；
（2）若，使关于的不等式能成立，求实数的取值范围.
梅河口市2020——2021学年度下学期期末考试
高二理科数学试题答案
本试卷共22小题，满分150分.用时120分钟.
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B D C B D A B A D B C
二、填空题
13. , 14. , 15. 16. ,.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17 极坐标与参数方程 易
17．（本题10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）判断与公共点的个数，并说明理由．
17．解：
（1）曲线的参数方程为（是参数），
，的普通方程是.…………………3分
曲线的极坐标方程为，
，由，得
的直角坐标方程为 …………………………………………6分
（2）与有且只有1个公共点 ………………………………………7分
由（1）联立与，得，，
整理得，， …………………………………………8分
与有且只有1个公共点 …………………………………10分
18 函数的应用 易
18. （本题12分）
某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于万件时，（万元）；当年产量不小于万件时，（万元）.已知每件产品售价为元，假设该同学生产的商品当年能全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）
（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取）.
18. 解：
（1）因为每件产品售价为元，则万件商品销售收入为万元， …………………1分
由题意可得，当时，； …3分
当时，； ………5分
所以； ……………………………………………6分
（2）由（1）可得，
当，，
当且仅当时，等号成立； ……………………………………………8分
当时，，则， …………………9分
所以，当时，，即函数单调递增；
当时， ，即函数单调递减； …………10分
所以当时，取得最大值；………11分
综上，即当年产量为万件时，该同学所获最大年利润是万元. …………12分
19 离散型随机变量的分布列及均值与方差 中
19．（本题12分）
在迎来中国共产党成立100周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹.习近平总书记指出：“脱贫摘帽不是终点，而是新生活?新奋斗的起点.”为了解脱贫家庭人均年纯收入情况，某扶贫工作组对两个地区2019年脱贫家庭进行简单随机抽样，共抽取600户家庭作为样本，获得数据如下表：
地区 地区
2019年人均年纯收入超过1万元 120户 200户
2019年人均年纯收入未超过1万元 180户 100户
假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过1万元相互独立.
（1）分别从地区和B地区2019年脱贫家庭中各随机抽取1户，记X为这2户家庭中2019年人均年纯收入超过1万元的户数，且把频率视作概率.求的分布列和数学期望；
（2）从样本中地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，发现这4户家庭2020年人均年纯收入都超过1万元.根据这个结果，能否认为样本中地区2020年人均年纯收入超过1万元的户数相比2019年有变化？请说明理由.
参考数据：.
19.解：
（1）设事件：从地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均纯收入超过1万元，则可以估计为； ………………………………………………………1分
设事件：从样本中地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均纯收入超过1万元，则可以估计为. ………………………………………………………2分
由题意知，的可能取值为0，1，2， ………………………………………………………3分
………………………………………………4分
……………………5分
………………………………………………………6分
所以的分布列为：
0 1 2



所以的数学期望为. ………………………………8分
（2）设事件为“从样本中地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，这4户家庭2020年人均年纯收入都超过1万元”，
假设样本中地区2020年人均年纯收入超过1万元的户数相比2019年没有变化，则由2019年的样本数据可得 ………………………………10分
答案示例1：可以认为有变化，理由如下：
比较小，小概率事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为样本中地区2020
年人均年纯收入超过1万元的户数相比2019年发生了变化，所以可以认为有变化. ………12分
答案示例2：无法确定有没有变化，理由如下：
事件是随机事件，比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有
没有变化. ………………………………12分
20 基本初等函数 中
20. （本题12分）
已知函数的定义域为.
（1）求的取值范围；
（2）若，函数在上的最大值与最小值互为相反数，求实数的值．
20.解：
（1）因为的定义域为
对任意的上恒成立 ……………………………………1分
① 当时，符合题意 …………………………………2分
② 当时, 解得，， ……………………………5分
综上所述：，即 ……………………………………6分
（2）令
开口向上的二次函数的对称轴为 ……………………………………7分
当时，递减，也递减；
当时，递增，也递增 ……………………………………8分
……………………………………9分
而，
……………………………………10分
……………………………………11分
解得（舍）或，. ……………………………………12分
21 函数性质综合 中
21．（本题12分）
定义在上的函数满足且．当时，．
（1）求在上的解析式；
（2）当为何值时，关于的方程在区间上有实数解．
21．解：
（1）由，得，所以， ……………………1分
又，所以，所以，
所以，又因为，
所以． ……………………………………………………3分
设，则，． …………………5分
综上， ……………………………………6分
（2）由（1）知
当时，， ……………………………………7分
当时，为增函数 ，……………………9分
所以，
所以， ……………………………………11分
若关于方程在上有实数解，则，
所以． ……………………………………12分
22 导数及其应用 难
22.（本题12分）
已知函数，
（1）直接写出函数的零点个数（不要求写过程）；
（2）若，使关于的不等式能成立，求实数的取值范围.
22.解：
（1）函数只有1个零点. ……………………………………………………3分
(,,
当时，，或；当时，，
所以在和上递增，在上递减，
所以有极大值和极小值，且，
所以函数只有1个零点.）
（2）令 ，则， ……………………4分
当时，，或，
当时，， 当时，，或 …………5分
则当变化时，及的变化情况如下表：

-2



0
0

极小值
极大值

由上表可知，函数的增区间是 ，减区间是和，…………7分
当时, 函数取得极小值，
当时, 函数取得极大值， ………………………………………8分
由，当时，，当时，，
所以，轴是函数的图象的渐近线
所以，当时, 函数的最小值为， ……………………………………10分
若，使关于的不等式能成立，
则大于的最小值，即，
所以，实数的取值范围是 ……………………………………12分
（2）另法：
关于的不等式能成立等价于不等式能成立，………5分
当时，能成立，满足条件； ……………………………………6分
当时，抛物线开口向上，
，使成立，满足条件；…………………………………8分
当时，只需 ，
即 ，解得； ……………………………………11分
综上，实数的取值范围是. ……………………………………12分
2020——2021学年度下学期期末高二理科数学试题 第4页 共 8 页