四川省广元市2020-2021学年高二下学期期末考试数学（理科）试题 Word版含答案

广元市2020-2021学年度下学期期末高中二年级教学质量监测
数学试题（理工类）
本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．满分150分，考试时间120分钟．
考生作答时，需将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将答题卡交回．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数false（false是虚数单位），则false（ ） ．
A．false B．false C．false D．false
2．同时抛掷两枚硬币，则两枚硬币一枚正面向上一枚反面向上的概率是（ ）．
A．false B．false C．false D．false
3．设false，则“false”是“false”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．下列命题中错误的是（ ）．
A．如果平面false平面false，那么平面false内一定存在直线平行于平面false
B．如果平面false不垂直于平面false，那么平面false内一定不存在直线垂直于平面false
C．如果平面false平面false，那么平面false内所有直线都垂直于平面false
D．如果平面false平面false，平面false平面false，false， 那么false平面false
5．已知递增等比数列false中，false，false， 若false，则false（ ）．
A．5 B．6 C．7 D．8
6．三个数false，false，false之间的大小关系是（ ）．
A．false B．false C．false D．false
7．函数false的图象大致为（ ）．
A．B．C．D．
8．原始的蚊香出现在宋代．根据宋代《格物粗谈》记载：“端午时， 贮浮萍，阴干，加雄黄，作纸缠香，烧之，能祛蚊虫．”如图，为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”，画法如下：在水平直线false上取长度为1的线段false，做一个等边三角形false，然后以点false为圆心，false为半径逆时针画圆弧，交线段false的延长线于点false，再以点false为圆心，false为半径逆时针画圆弧，交线段false的延长线于点false，以此类推，则如图所示的“螺旋蚊香”的总长度为（ ）．
A．false B．false C．false D．false
9．执行如图的程序框图，若输出的false，则输入的整数false的最小值是（ ） ．
A．4 B．5 C．6 D．15
10．已知角false满足false，则false（ ）．
A．false B．false C．false D．false
11．椭圆false的左右焦点分别是false，false，以false为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点false，若直线false恰好与圆false相切于点false，则椭圆的离心率为（ ）．
A．false B．false C．false D．false
12．设函数false，其中false，若有且只有一个整数false使得false，则false的取值范围是（ ）．
A．false B．false C．false D．false
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指定的区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷、草稿纸上无效．
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13．在平面直角坐标系中，将曲线false上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，所得新的曲线的方程为______．
14．已知向量false，false，且false，则false______．
15．抛物线false的焦点为false，已知抛物线在false点处的切线斜率为2，则直线false与该切线的夹角的正弦值为______．
16．已知一族双曲线false，设直线false与false在第一象限内的交点为false，点false在false的两条渐近线上的射影分别为false、false，记false的面积为false，对任意false不等式false恒成立，则false的最小值为______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（本小题满分12分）
某同学用“五点法”画函数false在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如表：
false
0
false
false
false
false
false
false
false
false
0
2
0
0
（Ⅰ）根据表中数据求函数false的解析式；
（Ⅱ）求函数false在区间false上的最大值和最小值．
18．（本小题满分12分）
2021年是中国共产党成立100周年，广元市积极开展“青春心向党，建功新时代”系列主题活动．我市某中学为了解学生对党史的认知情况，举行了一次党史知识竞赛，并从所有的学生竞赛试卷中随机抽取false份试卷进行成绩分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在false的试卷份数是24．
（Ⅰ）求false，false的值；
（Ⅱ）用分层抽样的方法在成绩为false和false这两组中共抽取5份试卷，并从这5份试卷中任取2份试卷进行点评，求分数在false恰有1份的概率．
19．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥false中，平面false平面false，false，false，false．
（Ⅰ）求证false；
（Ⅱ）求二面角false的余弦值．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆false以直线false所过的定点为一个焦点， 且短轴长为4．
（Ⅰ）求椭圆false的标准方程；
（Ⅱ）已知椭圆false的中心在原点，焦点在false轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆false的长轴和短轴的长的false倍false，过点false的直线false与椭圆false交于false，false两个不同的点，若false，求false的面积的最大值．
21．（本小题满分12分）
己知函数false．
（Ⅰ）求函数false的极值；
（Ⅱ）对于函数false和false定义域内的任意实数false，若存在常数false，false， 使得不等式false和false都成立，则称直线false是函数false和false的“分界线”．设函数false， false，试问函数false和false是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程．若不存在请说明理由．
选考题，考生从22、23 两题中任选一题作答，将选择的题号对应的方框用2B铅笔涂黑，多做按所做第一题计分．
22．（本小题满分10分）
已知曲线false的极坐标方程是false，直线false的参数方程是false（false为参数）．
（Ⅰ）将曲线false的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线false与false轴的交点是false，直线false与曲线false交于false，false两点，求false的值．
23．（本小题满分 10分）
已知函数false．
（Ⅰ）解不等式false；
（Ⅱ）若函数false的最小值为false，且false，求false的最小值．
广元市2020-2021学年度下学期期末高中二年级教学质量监测
数学试题（理工类）参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
B
C
D
A
D
B
A
D
C
D
二、填空题
13．false 14．8 15．false 16．4
三、解答题
17．解：（Ⅰ）根据表格可得false，∴false，
再根据五点法作图可得false，∴false，
故解析式为：false．
（Ⅱ）因为false，所以false，
得false，
所以，当false，即false时，false在区间false上的最小值为false，
当false，即false时，false在区间false上的最大值为1．
18．解：（Ⅰ）由于其中成绩在false的学生人数为24，
又在false间的频率为false，
∴false．
又概率和为1，∴false．
（Ⅱ）∵false，∴第四组false的频数：false；
第五组false的频数：false；
用分层抽样的方法抽取5份试卷得：
第四组false抽取：false；
第五组false抽取：false．
记抽到第四组false的三份试卷为false，false，false，
第五组false的两份试卷为false，false，
则从5份试卷中任取2份的基本事件有：false，false，false，
false， false， false， false， false， false， false，共10种．
其中分数在false恰有1份有：false，false，false，false，false，false，共6种．
∴所求概率false．
19．解：（Ⅰ）在false中，
因为false，false，所以false，
所以在false中，false，所以false，
又因为平面false平面false，平面false平面false，false平面false，
所以false平面false，
又∵false平面false，所以false．
（Ⅱ）如图，设false的中点为false，false的中点为false，连接false，false，
易知false、false、false两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系，
则false，false，false，
∴false，false，
设平面false的一个法向量false，
则false，
令false，则false，false，即false，
平面false的一个法向量false，
∴false，
由图知二面角false为锐二面角，所以其余弦值为false．
20．解：（Ⅰ）由题意直线过定点false，故椭圆的焦点为false，
又由题意可知false，∴false，
∴椭圆false的标准方程为false．
（Ⅱ）由题意设椭圆false的方程为false，
易知直线false的斜率存在且不为0，
设直线false的方程为false，
由false，消去false整理得false．
false，
设false，false，
则false，false．
∵false，且点false，
∴false，∴false，故false．
false，即false，
∴false
false
当且仅当false，即false时等号成立，此时false满足false，
∴false面积的最大值为1．
21．解：（Ⅰ）false
令false得false，
所以false在false上单调递减，false上单调递增，
所以false极小值false，false无极大值．
（Ⅱ）由false极小值false，可知函数false和false的图象在false处有公共点false．
设函数false和false存在“分界线”，方程为false，
应有false在false时恒成立，
即false在false时恒成立，
于是false，得false，
则“分界线”的方程为false，
记false，
则false，
令false得false，
所以false在false上单调递增，false上单调递减，
当false时，函数false取得最大值0，
即false在false时恒成立．
综上所述，函数false和false存在“分界线”，方程为false．
22．解：（Ⅰ）曲线false的极坐标方程是false，
即为false，
由false，false，false，
可得false，即false．
（Ⅱ）直线false的参数方程是false（false为参数），
令false，可得false，false，即false，
将直线false的参数方程代入曲线false，
可得：false，
即为false，解得false，false，
由参数false的几何意义可得，false．
23．解：（Ⅰ）由false知false，
于是false，解得false，
故不等式false的解集为false．
（Ⅱ）由条件得false，
当且仅当false时等号成立，∴false，即false，
又false，
所以false的最小值为false，此时false，false．