课时作业(三十五) 实际问题的函数刻画 用函数模型解决实际问题[练基础]
1．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的图象如图所示，则杯子的形状是( )
2．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2
000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( )
A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2
000，x∈N
)
B．y＝0.3x＋1
600(0≤x≤2
000，x∈N
)
C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2
000，x∈N
)
D．y＝－0.3x＋1
600(0≤x≤2
000，x∈N
)
3．某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是( )
A．7 B．8
C．9
D．10
4．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了( )
A．10天
B．15天
C．19天
D．2天
5．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．
6．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20
000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
R(x)＝
其中x是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
[提能力]
7．如图所示，开始时桶(1)中有a升水，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y1＝ae－nt，那么桶(2)中水就是y2＝a－ae－nt，假设过5分钟时桶(1)和桶(2)中的水相等，则再过多少分钟桶(1)中的水只有( )
A．7分钟
B．8分钟
C．9分钟
D．10分钟
8．[多选题]某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3
km(不超过3
km按起步价付费)；超过3
km但不超过8
km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8
km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．下列结论正确的是( )
A．出租车行驶4
km，乘客需付费9.6元
B．出租车行驶10
km，乘客需付费25.45元
C．某人乘出租车行驶5
km两次的费用超过他乘出租车行驶10
km一次的费用
D．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9
km
9．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁皮(如图中阴影部分)备用．当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长x，y分别为________．
[战疑难]
10．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．
(1)分别写出两类产品的收益与投资额x的函数关系式；
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？
课时作业(三十五) 实际问题的函数刻画
用函数模型解决实际问题1.解析：从题图中看出，在时间段[0，t1]，[t1，t2]内水面高度是匀速上升的，在[0，t1]上升慢，在[t1，t2]上升快，故选A.
答案：A
2．解析：由题意知，变速车存车数为(2
000－x)辆次，
则总收入y＝0.5x＋(2
000－x)×0.8
＝0.5x＋1
600－0.8
x
＝－0.3x＋1
600(0≤x≤2
000，x∈N
)．
答案：D
3．解析：由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获利润为：y＝[8＋2(k－1)][60－3(k－1)]＝－6k2＋108k＋378(1≤k≤10)，配方可得y＝－6(k－9)2＋864，∴当k＝9时，获得利润最大．
答案：C
4．解析：荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y＝2x，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，布满水面一半，故选C.
答案：C
5．解析：利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．
答案：18
6．解析：(1)设月产量为x台，则总成本为20
000＋100x，从而
f(x)＝
(2)当0≤x≤400时，
f(x)＝－(x－300)2＋25
000.
∴当x＝300时，f(x)的最大值为25
000；
当x>400时，f(x)＝60
000－100x是减函数，
f(x)<60
000－100×400＝20
000<25
000.
∴当x＝300时，f(x)的最大值为25
000，
即每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25
000元．
7．解析：由题意得ae－5n＝a－ae－5n，e－n＝.设再经过t分钟，桶(1)中的水只有，得ae－n(t＋5)＝，则＝3，解得t＝10.故选D.
答案：D
8．解析：在A中，出租车行驶4
km，乘客需付费8＋1×2.15＋1＝11.15元，A错误；在B中，出租车行驶10
km，乘客需付费8＋2.15×5＋2.85×(10－8)＋1＝25.45元，B正确；在C中，乘出租车行驶5
km，乘客需付费8＋2×2.15＋1＝13.30元，乘坐两次需付费26.6元，26.6>25.45，C正确；在D中，设出租车行驶x
km时，付费y元，由8＋5×2.15＋1＝19.75<22.6知x>8，因此由y＝8＋2.15×5＋2.85(x－8)＋1＝22.6，解得x＝9，D正确．故选BCD.
答案：BCD
9．解析：由三角形相似，即＝，得x＝×(24－y)，
所以S＝xy＝－(y－12)2＋180，
故当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.
答案：15 12
10．解析：(1)设稳健型与风险型产品的收益与投资额x的函数关系式分别为f(x)＝k1x(x≥0)，g(x)＝k2(x≥0)，结合已知得f(1)＝＝k1，g(1)＝＝k2，所以f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．
(2)设投资稳健型产品x万元，则投资风险型产品(20－x)万元，
依题意得获得收益为y＝f(x)＋g(20－x)＝＋(0≤x≤20)，
令t＝(0≤t≤2)，则x＝20－t2，
所以y＝＋＝－(t－2)2＋3，
所以当t＝2时，即x＝16时，y取得最大值，ymax＝3.
故当投资稳健型产品16万元，风险型产品4万元时，可使投资获得最大收益，最大收益是3万元．课时作业(三十三) 利用函数性质判定方程解的存在性
[练基础]
1．[多选题]下列函数中，是奇函数且存在零点的是( )
A．y＝x3＋x
B．y＝log2x
C．y＝2x2－3
D．y＝x|x|
2．函数f(x)＝2x＋log2x－3的零点所在区间为( )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
3．函数f(x)＝|x－2|－ln
x在定义域内的零点个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
4．函数f(x)＝(x＋1)x＋x(x－1)＋(x－1)(x＋1)的两个零点分别位于区间( )
A．(－1,0)和(0,1)内
B．(－∞，－1)和(－1,0)内
C．(0,1)和(1，＋∞)内
D．(－∞，－1)和(1，＋∞)内
5．函数f(x)＝零点的个数为________．
6．已知函数f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2，求函数y＝logn(mx＋1)的零点．
[提能力]
7．已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )
A．[－1,0)
B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞)
D．[1，＋∞)
8．已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－k有三个零点，则实数k的取值范围为________．
9．已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，在下列条件下，求实数a的取值范围．
(1)零点均大于1；
(2)一个零点大于1，一个零点小于1；
(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．
[战疑难]
10．已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)的图象与y＝k的图象有三个不同的公共点，这三个公共点的横坐标分别为a，b，c，且a课时作业(三十三) 利用函数性质判定方程解的存在性
1．解析：A中，y＝x3＋x为奇函数，且存在零点x＝0，与题意相符；B中，y＝log2x为非奇非偶函数，与题意不符；C中，y＝2x2－3为偶函数，与题意不符；D中，y＝x|x|是奇函数，且存在零点x＝0，与题意相符．故选AD.
答案：AD
2．解析：因为函数f(x)＝2x＋log2x－3在定义域上为增函数．又f(1)＝2＋log21－3＝－1<0，f(2)＝22＋log22－3＝5－3＝2>0，所以f(1)f(2)<0，根据零点存在性定理，f(x)的零点所在区间为(1,2)．
答案：B
3．解析：由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．由函数零点的定义知，f(x)在(0，＋∞)内的零点即是方程|x－2|－ln
x＝0的根．
令y1＝|x－2|，y2＝ln
x(x>0)，在同一直角坐标系中画出两个函数的图象．
由图得，两个函数图象有两个交点，故方程有两个根，即对应函数有两个零点．
答案：C
4．解析：f(x)＝(x＋1)x＋x(x－1)＋(x－1)(x＋1)＝3x2－1，令f(x)＝0，解得x＝±，因为－∈(－1,0)，∈(0,1)，故选A.
答案：A
5．解析：x≤0时，令x2＋2x－3＝0，
解得：x＝－3.
x＞0时，f(x)＝ln
x－2在(0，＋∞)上递增，
f(1)＝－2＜0，f(e3)＝1＞0，
∵f(1)f(e3)＜0，
∴f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．
总之，f(x)在R
上有2个零点．
答案：2
6．解析：由题可知，f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的两个零点为1和2.
则1和2是方程x2＋3(m＋1)x＋n＝0的两根．
可得
解得
所以函数y＝logn(mx＋1)的解析式为
y＝log2(－2x＋1)，要求其零点，令
log2(－2x＋1)＝0，解得x＝0.
所以函数y＝log2(－2x＋1)的零点为0.
7．解析：本题主要考查函数的零点及函数的图象．
g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点等价于函数f(x)＝与h(x)＝－x－a的图象存在2个交点，如图，
当x＝0时，h(0)＝－a，由图可知要满足y＝f(x)与y＝h(x)的图象存在2个交点，需要－a≤1，即a≥－1.故选C.
答案：C
8．解析：函数y＝f(x)－k有三个零点，即y＝f(x)与y＝k有三个交点，f(x)的图象如下：由图象可得－2答案：(－2，－1]
9．解析：(1)因为方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得
解得2≤a＜.
即a的取值范围为.
(2)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f(1)＝5－2a＜0，解得a＞.
即a的取值范围为.
(3)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得
解得
＜a＜.
即a的取值范围为.
10．解析：画出函数f(x)的图象，如图所示．由图可知8≤c<12，而|log2a|＝|－log2a|＝，故ab＝1，所以7≤c－1<11.
答案：[7,11)课时作业(三十四) 利用二分法求方程的近似解
[练基础]
1．在用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1,2)内近似根的过程中，已经得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间( )
A．(1,1.25)
B．(1.25,1.5)
C．(1.5,2)
D．不能确定
2．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
3．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.438)＝0.165
f(1.406
5)＝－0.052
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为( )
A．1.2
B．1.3
C．1.4
D．1.5
4．用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为( )
A．0.9
B．0.7
C．0.5
D．0.4
5．用二分法求函数f(x)在区间[0,2]上零点的近似解，若f(0)·f(2)＜0，取区间中点x1＝1，计算得f(0)·f(1)＜0，则此时可以判定零点x0∈________(填区间)．
6．求证方程3x＝在(0,1)内必有一个实数解．
[提能力]
7．[多选题]已知二次函数f(x)＝ax2＋6x－1(a≠0)有两个不同的零点，则实数a可能的值为( )
A．－9
B．－6
C．6
D．9
8．某方程在区间D＝(2,4)内有一无理根，若用二分法求此根的近似值，要使所得的近似值的精确度达到0.1，则应将区间D等分的次数至少是________．
9．已知函数f(x)＝x3－x2＋1
(1)证明方程f(x)＝0在区间(0,2)内有实数解；
(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0,2])的实数解x0在哪个较小的区间内．
[战疑难]
10．已知函数f(x)＝ln
x＋2x－6有一个零点，求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过(不能用计算器)．
课时作业(三十四) 利用二分法求方程的近似解
1．解析：∵f(1)<0，f(1.5)>0，∴在区间(1,1.5)内函数f(x)＝3x＋3x－8存在一个零点．又∵f(1.5)>0，f(1.25)<0，∴在区间(1.25,1.5)内函数f(x)＝3x＋3x－8存在一个零点．由此可得方程3x＋3x－8＝0的根落在区间(1.25,1.5)内．
答案：B
2．解析：由＜0.01，得2n＞10，
所以n的最小值为4.故选B.
答案：B
3．解析：由表知f(1.438)＞0，f(1.406
5)＜0且在[1.406
5，1.438]内每一个数若精确到0.1都是1.4，则方程的近似根为1.4.
答案：C
4．解析：∵f(0.72)>0，f(0.68)<0，∴f(0.72)×f(0.68)<0，∴存在x0∈(0.68,0.72)使x0为函数的零点，而0.7∈(0.68,0.72)，∴选B.
答案：B
5．解析：由二分法的定义，根据f(0)·f(2)＜0，f(0)·f(1)＜0，
故零点所在区间可以为(0,1)．
答案：(0,1)
6．证明：设f(x)＝3x－＝3x－＋1，则f(x)在(0,1)内是增函数．
∵f(0)＝30－＋1＝－1<0，f(1)＝31－＋1＝>0，
∴f(0)·f(1)<0，∴函数f(x)在区间(0,1)内有且只有一个零点，即方程3x＝在(0,1)内必有一个实数解．
7．解析：由题意知方程ax2＋6x－1＝0(a≠0)有两个不相等的实根．所以Δ＝36＋4a>0.∴a>－9且a≠0.故选BCD.
答案：BCD
8．解析：第一次等分，则根在区间(2,3)内或(3,4)内，此时精确度ε>0.1；不妨设根在(2,3)内，第二次等分，则根在区间(2,2.5)内或(2.5,3)内，此时精确度ε>0.1；不妨设根在(2,2.5)内，第三次等分，则根在区间(2,2.25)内或(2.25,2.5)内，此时精确度ε>0.1；不妨设根在(2,2.25)内，第四次等分，则根在区间(2,2.125)内或(2.125,2.25)内，此时精确度ε>0.1；不妨设根在(2,2.125)内，第五次等分，则根在区间(2，2.062
5)内或(2.062
5,2.125)内，此时精确度ε<0.1，满足题目要求．故至少要等分5次
.
答案：5
9．解析：(1)证明：因为f(0)＝1>0，f(2)＝－<0，
所以f(0)·f(2)<0，
由函数的零点存在定理可得方程f(x)＝0在区间(0,2)内有实数解．
(2)取x1＝(0＋2)＝1，
得f(1)＝>0，
由此可得f(1)·f(2)<0，
下一个有解区间为(1,2)．
再取x2＝(1＋2)＝，
得f＝－<0，
所以f(1)·f<0，
下一个有解区间为.
再取x3＝＝，
得f＝>0，
所以f·f<0，
下一个有解区间为.
综上所述，得所求的实数解x0在区间内．
10．解析：∵f(2)<0，f(3)>0，∴f(x)的零点x0∈(2,3)．
取x1＝，∵f＝ln－1＝ln－ln
e<0，
∴ff(3)<0，∴x0∈.
取x2＝，∵f＝ln－＝ln－ln
e>0，
∴ff<0，∴x0∈.
而＝≤，
∴即为符合条件的一个区间．
