12.1.3方差和标准差_教案1-湘教版数学必修5

方差和标准差
【教材分析】
本节课是在学习了如何抽样与抽样调查中所涉及到的概念，和用平均数，中位数，众数来表示数据集中程度的统计量后的另一种反映数据离散程度的统计量。
【学情分析】
本节课的授课对象是八年级学生，他们正处于形象思维向抽象思维的过渡阶段，注意力水平不高，在教学中需要采用启发式教学。在知识上，我们已经接触过统计方面的知识，有助于本节课的学习。
【教学目标】
知识与技能：
了解方差，标准差的公式的产生过程。
2．掌握方差和标准差的计算方法及其运用。
3．能通过实例学会用样本方差分析总体方差，用方差公式来分析数据离散程度。
情感态度价值观：
1．通过合作交流，以面对面的互动形式，培养良好的团队合作精神，感受集体的力量。
2．以具体的例子出发，体会数学来源于生活，生活离不开数学，从来增加学习数学的兴趣。
【教学重难点】
重点：方差和标准差的概念、计算及其运用。
难点：方差和标准差的计算及运用。方差是各变量值相对于平均数的离差平方的平均数。
【教学方法】
采用情景探究、小组合作，实施启发式教学。
教学手段
以“教师为主导，学生为主体，探索为主线，思维为核心”的教学思路，采用矛盾冲突教学方法，充实了教学内容，通过师生合作，生生合作以及学生自身的独立思考，探索获得方差的公式和标准差的合理出现。
【教学过程】
一、创设情景 引出课题
师：同学们，谁看过射击实况转播？
相信绝大多数同学都看过，今天老师要让你们自己想办法解决有关射击的问题。
问题一、为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，学校决定对选拔方案进行招标。如果你参与竞标，那么你将设计什么方案？
生：让甲、乙二人在相同的条件下各射靶10次，选拔平均环数较多的学生。
师：这个方案不错。可是如果两人的平均环数一样，怎么办？
生：再比一次。
师：如果再比一次结果还是一样，难道要一直比下去？
问题二、假如甲、乙两名同学的测试成绩统计如下：
甲 7 8 6 8 6 5 9 10 7 4
乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
①比较上述数据，你将选择谁参赛？
②通过计算可知，= ，= ，并根据计算的结果验证你选择的正确性。
尽管平均环数相同，但二人的水平还是有差距的，经过观察分析数据，我们发现：甲最多10环，最少4环，波动范围较大；而乙最多9环，最少5环，波动范围较小。因此乙较稳定，应该选拔乙参赛。
设计意图：从一个学生认为可以很容易解决的问题入手，制造矛盾，而且矛盾是确实客观存在和可接受的。从而激发学生学习的兴趣。
二、合作学习 知识解读
师：由于甲最多环数与最少环数的差距大，从而得出甲不稳定，所以甲遭淘汰。难道这种分析方法就准确？
问题三、假如甲、乙两名同学的测试成绩统计如下：
甲 10 7 7 7 7 7 7 7 7 4
乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
请你观察上述数据，谁的水平比较稳定？
不难发现，虽然甲最多比最少差距大，但还是甲比乙要稳定。
师：根据问题二和三，可以看出：在平均数相同的情况下，单纯比较最大与最小两个数据，不能够说明一组数据的整体波动情况。为了直观地反映整体波动的情况，你们有什么好的想法吗？（小组讨论）
师：我看到同学的一些好的想法，他们在做图，从图中看波动情况，这种借助图示的方法是否可行呢？老师在这里也为问题二中的甲、乙绘制了环数波动图。

师：现在挑选一名同学参加比赛，你们认为挑选哪一位比较合适？为什么？
生：乙。一组数据的波动是看它与平均数的差的情况。
师：很好，那么如何反映一组数据的波动情况？
生：①用各个数据减去它们的平均数，得到各个数据的偏差；②将各偏差相加。
我们先来计算一下甲、乙两名学生每次射击成绩与平均成绩的偏差。
甲 0 1 -1 1 -1 -2 2 3 0 -3
乙 2 -2 0 1 0 -1 1 -1 0 0
不难得出甲、乙的偏差和为0.出现结果为0的关键是负号，那么我们可以通过平方来解决这个问题。下面老师介绍一种衡量数据稳定性的方法：各偏差平方的平均数。
设在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方分别是，那么我们用它们的平均数，即用
来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差。方差越大，说明这组数据的波动越大，越不稳定。
师：现在我们用方差公式来计算到底该派谁去参赛吧！（板书）
例题1．为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽出10株苗，测得苗高如下（单位：cm）：
12 13 14 15 10 16 13 11 15 11
乙 11 16 17 14 13 19 6 8 10 16
哪种小麦长得比较整齐？
因为，所以甲种小麦长得比较整齐。
我们看到，数据的单位和方差的单位是不一致的，方差的单位是数据单位的平方，为使单位一致，可用方差的算术平方根：
并把它叫做标准差。
师：计算上例中，两个标准差。
生：
优点：单位与所研究数据单位一致；
缺点：笔算时开方不方便，明显又多一步运算。
设计意图：此环节是整堂课的灵魂所在，在所有问题的铺垫均已到位的情况下，每个问题的发现和解决都可以一气呵成。从发现问题波动的实质是与平均数的偏离程度，到用平方来消除负号的影响，都是一次思维的自然过渡和提升。
三、典例分析 巩固新知
1．已知某样本的方差是4，则这个样本的标准差是 。
2．已知一个样本1，3，2，X，5，其平均数是3，则这个样本的标准差是 。
3．甲、乙两名战士在射击训练中，打靶的次数相同，且中环的平均数=，如果甲的射击成绩比较稳定，那么方差的大小关系 。
4．已知一个样本的方差是，则这个样本的平均数是 ，样本的容量是 。
5．八年级（5）班要从黎明和张军两位侯选人中选出一人去参加学科竞赛，他们在平时的5次测试中成绩如下（单位：分）
黎明 652 653 654 652 654
张军 667 662 653 640 643
如果你是班主任，在收集了上述数据后，你将利用哪些统计的知识来决定这一个名额？（解题步骤：先求平均数，再求方差，然后判断得出结论。）
四、探究学习 拓展练习
甲、乙两人在相同条件下各射靶10 次，每次射靶的成绩情况如图所示。
( 1 ）请填写下表：
( 2 )请你就下列不同的角度对这次测试结果进行分析：
① 从平均数和方差相结合看，谁的成绩较好？
② 从平均数和命中 9 环以上的次数相结合看，谁的成绩较好？
③ 从折线图上两人射击命中环数的走势看，谁更有潜力？
五、小结
这节课我们学习了方差、标准差的概念。
1．方差的实质是各数据与平均数的差的平方的平均数。方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。
2．标准差是方差的一个派生概念，它的优点是单位和样本的数据单位保持一致，给计算和研究带来方便。
3．利用方差比较数据波动大小的方法和步骤：先求平均数，再求方差，然后判断得出结论。
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