12.3.2课题：样本的数字特征-湘教版数学必修5

课题：样本的数字特征
教材分析?
（一）教材地位与作用
本节内容选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修五湘教版》第12章统计学初步中频率分布直方图下的习题8.
统计学初步是高中数学的重要内容.这节课在学生已经学习了用图、表来组织样本数据，用样本的频率分布估计总体分布的基础上，进一步挖掘样本，借助EXCEL软件，实际操作数据变化，从形的角度，较为全面的理解样本的数字特征的概念，利用样本的频率分布直方图来估计总体的数字特征，从而使我们能从整体上更好地把握总体的规律，并体会用样本估计总体的思想，以及统计思维与确定性思维的差异.本课所学内容有良好的实际应用价值，它能为我们对相关问题作出统计推断和决策提供数理依据.因此学好本节课能帮助学生逐步建立用样本估计总体的统计思想，提高学生数据处理、解决实际问题的能力.
（二）教学目标
初中课标：了解利用数据可以进行统计推断，发展建立数据分析观念；感受随机现象的特点.
高中课标：在解决统计问题的过程中，会用样本的数字特征估计总体的数字特征，会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题；能通过对数据的分析为合理的决策提供依据，认识统计的作用，体会统计思维与确定思维的差异.
在初中的课程标准中对这段内容的要求，可以用两个词来概括：“了解”和“感受”；而高中的课标对这段内容的要求，与初中不同点则可以用一个字来体现：“会”.所以将本课教学目标定位为：
(1)在解决统计问题的过程中，通过自主探索与合作交流，经历数字特征的生成过程，会用样本的数字特征估计总体的数字特征，体会用样本估计总体的思想.
(2)能根据实际问题的需求合理地选取样本，会借助频率分布直方图从“形”的角度估计总体的数字特征，并作出合理的解释，体会数形结合的数学思想.
(3)能通过对生活实例的分析认识数字特征的作用和局限性，会应用数字特征解决简单的实际问题并作出合理的决策.
(4)能通过对有关数据的收集、整理、分析为合理的决策提供依据，认识统计的作用，感受统计在实际问题中的应用价值，体会数学知识与现实生活的联系.
学生对统计思想的运用已有一定的认知，只是缺乏直观感，所以学生对数学与生活的联系认知上比较空洞。这节课，给了学生亲自观摩实践，有机会亲自利用电脑软件操作，体会数学与生活的息息相关。同时，知识经济的今天，人们对知识应用价值的重视程度超越人类历史的任何一个时期，尤其是对本身就具有广泛应用价值的数学来说，更加重视学科在生产生活中的实际应用价值。让学生亲历数学建构，逐步认识事物，发现真理，从而培养学生的建模能力，数据处理能力，实践能力和创新能力。同时，新高考的改革更加重视数学的应用意识，对学生的建模能力、数据处理能力、实践、创新能力的要求更高。学会利用多媒体工具，利用生活中常用的数据处理软件，通过对有关数据的搜集、整理、分析、判断，培养学生“实事求是”的科学态度，让学生感受到数学来源于实践又服务于实践，让学生对所学的数学知识的认知不再空洞，而是具有其现实意义。
本节教学重点：利用信息工具加强对平均数、众数及中位数的理解，对标准差和方差的理解.从频率分布直方图中估计总体的数字特征并能依据数字特征对总体作出评价、推断和决策.
二、学情分析?
1.学生已有的认知基础
通过小学、初中和高一前期的学习，学生已有“统计初步知识”的数学现实，能从样本中直接提取样本的数字特征，能够用频率分布直方图来呈现数据的分布形态，现实生活中很多数量化的实际问题也为学生的认知提供了经验基础.
2.学生面临的问题
学生对统计思想的认识还停留在表层，对数字特征与生活的联系认知上比较空洞；对用频率分布直方图估计总体的数字特征从感性认识上升到理性认识会有一定的理解困难；应用数字特征解决简单的实际问题并作出合理的决策有较高的能力要求.
教学难点：数字特征的理解、估计及应用.
这节课中要涉及到很多复杂的计算，需要借助信息技术工具，这对学生而言也有一定的难度；同时，学生的生活经验不足，在思考问题时会有一定的障碍。但是，高一的学生对生活还是充满好奇，教师做好引导工作，帮助学生克服困难。现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻影响。在教学过程中要合理利用现代化信息技术工具，既帮助学生理解，也与时代接轨。
?三、教学设计理念?
（一）教学方法选取
数学教育学家波利亚曾经说过：“学习任何知识的最佳途径即是由自己去发现，因为这种发现理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系.”根据高一学生的认识特点和知识水平，我在教法上采用的是“问题探究式教学”,学法上采用“自主探究、合作交流”的方法.
为落实重点，让学生在自主探索与合作交流中经历数字特征的生成过程；在反思总结、阅读教材中建构知识和方法的正确认识；为突破难点，采用设置问题串的形式，通过追问的方式、结合生活实例，引导学生认识三个数字特征的特点并作出了合理的决策.
(二)目标检测设计
为达到理想的教学效果，本节课在学生自主探究过程中，教师通过巡视，收集反馈信息；通过适时指导，调节学生的探究进程.在全班展示交流时，通过教师的点评或追问，引导学生调节自己的思维活动，促使探究问题的解决.
为反馈教学效果，本节课设计了课堂应用练习（应用数字特征对“思考题”作出合理的决策）及课后反馈检测题.通过课堂应用练习，及时调节学生的认知结构；通过课后反馈检测题，对教学目标达成点检测点进行定量的分析，为后续教学指明设计提供依据.
（三） 教学媒体利用
为了加大课堂容量和学生的思维活动量，根据现代教学理论，本课采用多媒体课件、EXCEL软件进行教学，学生平时可以借助了平板电脑、EXCEL软件进行了数据的处理，将随意记录的数据直观化、形象化.通过数形结合，图表并用，让学生在生动具体的情境中感悟知识的发生和发展过程，优化学生的认识结构.
四、教学过程
教学
环节
教师活动
学生活动
设计意图
一、
情境
引入
情境
引入
提出问题
背景:在一次人才招聘会上，有一家公司的招聘员告诉你，“我们公司的收入水平很高”，“去年，在50名员工中，最高年收入达到了100万，他们的年收入的平均数是3.5万”，你是否能够判断自己可以成为此公司的一名高收入者？
思考1：你们觉得需要提取哪些的数据来反映真实收入水平？为什么？
思考2：对数据分析时，可用哪些量来刻画数据的特征？为什么？
教师引导学生将这三个数字特征看作样本数据的“中心点”
思考3：从随意记录下来的数据中直接看出数据的特征是很困难的，有没有更直观的方法来寻找这三个数字特征呢？
教师引导：样本的频率分布可以估计总体的分布，总体的数字的特征能否也用样本的频率分布直方图从形的角度估计呢？
积极思考，主动解决问题.
课前以小组为单位通过导学案进行数据数字特征的复习,并完成导学案中的相关问题.
思考、对比
回顾、思考
1.数学源于生活，又服务于生活.将发生在学生身边的实际问题引入课堂，能唤起学生的好奇心、亲切感、更有利于激活学生的参与意识，提高教学的有效性.
2. 通过例子1较为系统地经历数据分析处理的过程，感受统计的基本思想与方法，体会数学知识与现实生活的联系.（2）通过探究这三个问题将用众数、中位数、平均数来刻画数据的特征并分析数据的思想显性化；直接在样本中求这三个数字特征，有利于学生在复习回顾旧知的基础上学习新知识，有助于学生从“最近发展区”构建新知.







二、问题探究
问题探究
例题1：某千人企业需估计企业员工的月平均工资:

(1)求该企业员工月工资的平均数、中位数、众数.
(2)若副经理的工资2500元提升到25000元,那么企业员工月工资新的平均数、中位数和众数又是什么?
(3)你认为哪个统计量更能反映这个企业员工的工资水平?
追问1：有同学在录入数据时不小心将数据中的800全部录为80，平均数和中位数是否会发生变化？
追问2：中位数不受少数几个极端值的影响，你认为这一特征是他的优点还是缺点？可以举例说明.（利：对极端数据不敏感，能够有效地预防错误数据的影响，实际应用中，人为操作的失误经常造成错误数据；弊：不能反映数据中的极端情况，如底层员工工资较低没有反映出来）
追问3：众数、中位数、平均数有哪些作用和局限性？有什么好的方法来利用数字特征做参考？为我们的判断做决策参考？你能举几个例子说明吗？




例题2：从甲乙两名学生中，选拔一人参加射击比赛，对他们的实际水平进行了测试，两人在同样条件下各射击10次，命中环数如下：


问题：1.计算甲乙二人的射击命中环数的平均数和标准差。
2.比较两人的成绩，然后决定选择哪一人参赛。
追问：考虑到实际情况，团体赛中，
若，比赛过程已经处于劣势，选择谁更适合？
若，比赛过程已经处于优势，选择谁更合适？



例题3：样本频率分布直方图中估计样本的数字特征：

问题1： （1）如何从频率分布直方图中估计众数？
（2）从频率分布直方图中估计的众数与原始数据中的众数是否一样，你能解释其中的原因吗？
在探究的过程中，学生能从直方图中得到各组数据出现的频数，但由直方图直接求数据的总和会比较困难.
教师可引导学生类比众数的求法取每组的中点作为了每组数据的代表值乘以频数再求和得到了数据的总和，再除以总个数得到了平均数.同时引导学生对求平均数的式子做以下变形：
false

问题2： （1）在直方图中中位数左右两边小矩形的面积有什么关系？
（2）如何从频率分布直方图中估计中位数？
教师通过引导学生复习中位数的概念和求法来寻找在直方图中估计中位数的方法.
问题3：如何从频率分布直方图中估计平均数？

巡视指导，适时点拨
组织展示，评价追问
例题1：学生自主探究过程中，教师通过适时指导，调节学生的探究进程.在全班展示交流时，通过教师的点评或追问，引导学生调节自己的思维活动，促使探究问题的解决.
利用信息工具加强对平均数、众数及中位数的理解，对标准差和方差的理解.并能依据数字特征对总体作出评价、推断和决策.
问题1学生自主探究
针对问题1，学生能想到众数应该落在最高小矩形内，但为什么要取中点还有些困惑.
问题2、3通过小组讨论、合作交流来完成.
小组推荐代表展示探究成果
针对问题2，学生对直方图中为什么中位数左右两边小矩形框面积相等，会有些疑惑.
针对问题3，学生能想到用数据的总和除以数据的总个数求平均数，但由直方图求数据的总和会比较困难.
思考、对比列举生活中的实例
了解工资水平更好的方法是同时用平均工资和中位数来作为参考指标，选择平均工资较高且中位数较大的公司就业。
在体育、文艺等各种比赛的评分中，使用的是平均数。计分过程中采用“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的方法，就是为了防止个别裁判的人为因素而给出过高或过低的分数，对选手的得分造成较大影响，降低误差，尽量保证公平性。
如果变量是分类变量，使用众数就很有必要了。比如：班委会要做出一项决定，同学们对它赞成与否就可以使用众数。
三种数字特征的优缺点:
1、众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其它数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征.
2、中位数它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点。
3、由于平均数与每一个样本的数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数都不具有的性质。也正因如此 ，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计时可靠性降低。
通过对比极端数值对平均数和中位数的影响以及列举生活中的实例，可让学生进一步的体会数字特征的特点，为合理制定决策提供依据，突破难点.
获取数字特征可以从原始数据直接提取，也可以通过频率分布直方图获得，通过对比这两种方法，使学生明白从直方图中估计的数字特征虽然存在一定的误差，但直观、快速、可避免繁琐的计算和阅读数据的过程.
通过自主探索与合作交流，学生会不断地比较自己的理解与他人理解的差异，不断的纠正自己的认识，从而建构完整知识体系，促进知识和方法的内化.
三、归纳提升
引导学生回顾整个探究过程，生成数学知识：
1.众数、中位数、平均数有哪些作用和局限性？有什么好的方法来利用数字特征做参考？为我们的判断做决策参考？你能举几个例子说明吗？
2.在频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数的方法
众数：最高矩形底边中点的横坐标
中位数：使中位数两侧矩形面积和均为0.5
平均数：每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.
思考：从频率分布直方图中估计的数字特征与原始数据中的数字特征是否一样？是什么原因造成的呢？
（频率分布直方图中得到的数字特征是估计值）
3. 数据处理方法有哪些？
4. 数学思想方法
数形结合
统计的思想
通过对探究活动的反思，自主归纳蕴含的数学知识和数学思想方法.

对比、思考、反思
在充分体验的基础上，通过反思总结能建构知识和方法的正确认识，促进知识和方法的内化.
四、制定决策
思考一：在体育、文艺等各种比赛的评分中，使用的是平均数。计分过程中采用“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的方法，这里用了什么统计策略？
思考二：以往招生统计显示，某所大学录取的新生高考总分的中位数基本稳定在550分，若某同学今年高考得了520分，他想报考这所大学还需收集哪些信息？
组织学生交流、讨论
交流、讨论、发表自己的见解
这是一个开放性的问题，对学生的发言给与充分的肯定，让学生在发表自己的见解的同时，深化对三种数字特征的认识和理解.培养学生应用数字特征分析生活实际的能力，并能综合数字特征的特点，作出合理决策.
五、应用反馈
例：某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30、0.40、0.15、0.10、0.05.
求：(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数．
(2)高一参赛学生的平均成绩．
巡视指导，适时点拨
学生独立完成例题，再由学生讲解解题的过程.
本例是以教材为原型，改编而成的生活实例，设计的目的在于让学生感受统计在实际问题中的应用价值;通过本例，强化学生在直方图中估计数字特征的具体方法.
六、反思小结
请大家带着以下的问题阅读教材P72-73页相关内容
1.本节课你在数学知识和方法上有哪些收获？
2.你能从频率直方图中估计众数、中位数、平均数吗？
3.众数、中位数、平均数有哪些作用和局限性？
4.如果你作为一名决策者，你在处理数量化表示的实际问题时需要注意些什么？
阅读教材
反思小结
回归教材，优化认知
通过师生共同小结与反思，使学生更系统完整地认识统计的基本思想和方法，丰富和完善学生的认知结构，使知识与技能内化为学生的数学能力.
七、作业回馈
1.必做题：导学案附带习题
选做题：调查本班同学的家庭在同一周的用电量，作出这组数据的频率分布表、频率分布直方图以及频率拆线图，对你所在地区的用电量情况进行估计，然后在全班展示、交流讨论.
必做题：学生课后独立完成.
选做题：小组合作完成.
针对学生能力和水平的差异，进行分层训练，必做题为所有学生搭建了共同平台，可让他们获得共同知识基础和基本能力，选做题让学有余力的学生进行个性化学习，并将学习从课堂延伸到课外，获得更大的能力提升，这体现了新课标理念，也是因材施教的教学原则的具体运用.
五、板书设计
六、教学反思?
1、围绕主线完成教学?
本节课对统计中数据处理问题进行。比较好的理解众数、中位数、平均数有哪些作用和局限性。学生对数学与生活的联系认知上比较空洞。这节课，给了学生亲自观摩实践，有机会亲自利用电脑软件操作，体会数学与生活的息息相关。
2、充分利用信息技术工具辅助教学?
《普通高中数学课程标准》中强调注重信息技术与数学课程的整合。知识经济的今天，人们对知识应用价值的重视程度超越人类历史的任何一个时期，尤其是对本身就具有广泛应用价值的数学来说，更加重视学科在生产生活中的实际应用价值。让学生亲历数学建构，逐步认识事物，发现真理，从而培养学生的建模能力，数据处理能力，实践能力和创新能力。
3、数据处理多样化
对于同样的数据可以有多种分析方法，需要根据问题背景选择合适的方法.本节课让学生在课前对我校同学的日锻炼时间进行了数据的收集和初步整理，学生用到了扇形图、茎叶图、频率分布表等图表来处理数据，同时也利用平板、EXCEL将随意记录的数据制作成频率分布直方图，从“形”的角度处理数据，估计总体的数字特征.让学生充分体会数据处理的多样性，同时通过对比三个小组统计的数据，进一步认识样本数字特征的随机性和规律性，体会统计思维与确定性思维的差异.
4、新高考的改革更加重视数学的应用意识，对学生的建模能力、数据处理能力、实践、创新能力的要求更高。学会利用多媒体工具，利用生活中常用的数据处理软件，通过对有关数据的搜集、整理、分析、判断，培养学生“实事求是”的科学态度，让学生感受到数学来源于实践又服务于实践，让学生对所学的数学知识的认知不再空洞，而是具有其现实意义。
5、对学生素养能力的培养在平时渗透在教学当中，建议：将本节课的学习作为学生的研究性学习活动，用一段时间完成本节课的内容，留给学生足够的探索机会，培养学生的科学素养。