湖北省安陆一中2012届高三数学第七次综合试题（文科）

2012届高三数学第七次综合试题（文科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若复数i（i是虚数单位），则复数的虚部是
（A） i （B）－1 （C）i （D）2
2．已知集合，，若，则实数的取值范围是
（A） （B） （C） （D）R
3. 已知，其中是第二象限角，则
（A） （B） （C） 　　 （D）
4. 设，是实数，则“”是“”的
（A）充分不必要条件 　　　　 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 　　　　 （D）既不充分也不必要条件
5．在空间，设是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中为假命题的是
（A）若，则 　
（B）若，则
（C）若，则
（D）若，则或
6. 已知双曲线与椭圆的焦点相同，且它们一个交点的纵坐标为4，则双曲线的虚轴长为
（A） 　　（B） 　 　（C） 　 （D）
7．已知函数，则的零点个数是
（A）0 （B） 1 　 （C）2 　 （D）3
8．袋中装有4个大小相同、标号分别为1,2,3,4的小球，依次从袋中取出所有的球，则“标号顺序不符合从小到大或从大到小排列”的概率为
（A） （B） （C） （D）
9．设，若对于任意，总存在，使得成立，则的取值范围是
（A） 　　（B） 　　　（C） 　　　（D）
10．数列中，已知，对任意的，有成等比数列，且公比为，则的值为
（A） 　 （B） （C） （D）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题（本大题共7题，每小题5分，共35分）
11．以，为直径的圆C的方程为 ；
12．某校对高三年级部分女生的身高（单位cm，测量时精确到1cm）进行测量后的分组和频率如下：
分组
频率 0.02 0.04 0.08 0.1 0.32 0.26 0.15 0.03
已知身高在153cm及以下的被测女生有3人，则所有被测女生的人数是 ；
13．如图所示程序框图，输出结果是 .
14．实数满足，则的
最大值是 　 .
15. 若向量 、 满足 ，与 的夹
角为，则 .
16．如图，边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，
E、F分别是B1B、D1C1的中点，则△AEF在
面BB1D1D上的射影的面积为 .
17．函数图象上一点到直线的
距离的最小值为，则的值为 .
三、解答题（本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18.已知函数在区间 上的最大值为2.（1）求常数的值；（2）在中，角,,所对的边是,,，若，，面积为. 求边长.
19．在数列中，已知，（.（1）求证：是等差数列；（2）求数列的通项公式及它的前项和.
20.已知函数，（1）若函数在处的切线方程为，求实数，的值；（2）若在其定义域内单调递增，求的取值范围.
21. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，∥，，⊥平面SAD，点是的中点，且，.（1）求四棱锥的体积；（2）求证：∥平面；（3）求直线和平面所成的角的正弦值.
22.已知圆N：和抛物线C：，圆的切线与抛物线C交于不同的两点A，B，
（1）当直线的斜率为1时，求线段AB的长；（2）设点M和点N关于直线对称，问是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
2012届高三数学第七次综合试题（文科）
参考答案及评分标准
选择题（本大题共10题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A B D B C D C B
二、填空题（本大题共7题，每小题5分，共35分）
11．； 12．50 ； 13．6 ；
14． ； 15．； 16．； 17．1
三、解答题（本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18.（本题满分12分）
解：（1）
…………………… 2分
…………………… 4分
∵ ∴ …………………… 5分
∵ 函数在区间 上是增函数，在区间 上是减函数
∴当即时，函数在区间上取到最大值.
此时，得 …………………… 6分
（2）∵ ∴
∴ ，解得(舍去)或
∵ ，
∴ …………①
∵ 面积为
∴
即 …………②
由①和②解得
∵
∴ …………………… 12分
19．（本题满分13分）
（1）证明：∵ （）
∴
为常数
∴是等差数列，且公差为1. …………………… 6分
（2）解：由（1）知是等差数列，且公差为1，且
∴
∴ …………………… 8分
∴ …………… 9分
令…………①
则……②
…………………… 10分
两式相减得：
………………… 13分
20．（本题满分13分）
解： ∵
∴ ………………… 2分
∴ ， ………………… 4分
（1）∵ 函数在处的切线方程为
∴ ………………… 6分
解得：. ………………… 7分
（2）的定义域为＞ ………………… 8分
∵ 在其定义域内单调递增
∴ ＞0在恒成立（允许个别点处等于零）
………………… 9分
∵ ＞0（＞0）即＞0
令，则其对称轴方程是.
当即时，在区间上递增
∴在区间上有＞0，满足条件. ………… 11分
当＞0即＞0时，在区间上递减，在区间上递增，则（＞0）
解得：0＜
综上所得， ………………… 13分
另解：
（2）的定义域为＞ ………………… 8分
∵ 在其定义域内单调递增
∴ ＞0在恒成立（允许个别点处取到等号）
………………… 9分
∵ ＞0（＞0）即（允许个别值处取到等号）
………………… 10分
令，则 ，
因为，
当且仅当即时取到等号.
所以
所以 ………………… 13分
21. （本题满分13分）
解：∵ ⊥底面,底面,底面
∴ ⊥, ⊥ ………………… 1分
∵ ,、是平面内的两条相交直线
∴ 侧棱底面 ………………… 3分
在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，∥，⊥，，
∴ ………………… 5分
（2） 取的中点，连接、。
∵ 点是的中点 ∴∥且 ……………… 6分
∵ 底面是直角梯形，垂直于和，，
∴ ∥且 ……………… 7分
∴ ∥且
∴ 四边形是平行四边形
∴ ∥ ……………… 8分
∵，
∴ ∥平面 ……………… 9分
（3）∵ 侧棱底面，底面
∴
∵垂直于，、是平面内的两条相交直线
∴ ，垂足是点 ……………… 11分
∴ 是在平面内的射影，
∴ 是直线和平面所成的角
∵ 在中，， ∴
∴
∴ 直线和平面所成的角的正弦值是 ……………… 13分
22. （本题满分14分）
解：因为圆N：，
所以圆心N为（-2,0），半径， ………………… 1分
设，，
（1）当直线的斜率为1时，设的方程为即
因为直线是圆N的切线，所以，解得或（舍）
此时直线的方程为， ………………… 3分
由 消去得，
所以，，， ………………… 4分
所以弦长 …………………6分
（2）①设直线的方程为即（）
因为直线是圆N的切线，所以，
得 ………① ……………… 8分
由 消去得 ，
所以即且，
，. ………………… 9分
因为点M和点N关于直线对称，所以点M为
所以，，
因为，所以+ …… 10分
将A，B在直线上代入化简得
……… 11分
代入，得
化简得 ………② ………… 12分
①+②得
即，解得或
当时，代入①解得，满足条件且，
此时直线的方程为；
当时，代入①整理得 ，无解. …………… 13分
当直线的斜率不存在时，
因为直线是圆N的切线，所以的方程为，
则得，，
即
由①得：
=
当直线的斜率不存在时不成立.
综上所述，存在满足条件的直线，其方程为 ……………… 14分
另解：
（2）设直线的方程为即（必存在）
因为直线是圆N的切线，所以，
得 ………① ……………… 8分
由 消去得 ，
所以即 ………………… 9分
，. ………………… 10分
因为点M和点N关于直线对称，所以点M为
所以，，
因为，所以+ …… 11分
将A，B在直线上代入化简得
……… 12分
代入，得
化简得 ………②
①+②得
即，解得或
当时，代入①解得，满足条件；
当时，代入①整理得 ，无解.
综上所述，存在满足条件的直线，其方程为 ……………… 14分
是
否
第13题图
第16题图
A
B
C
A1
B1
D1
C1
F
E
D
S
M
B
D
C
A
第20题图
O
B
A
x
y
N
第22题图