课时作业(四十七) 数学建模的主要步骤
1．包汤圆
通常，1公斤面，1公斤馅，包100个汤圆(饺子)．今天，1公斤面不变，馅比1公斤多了，问应多包几个(小一些)，还是少包几个(大一些)?
问题 圆面积为S的一个皮，包成体积为V的汤圆．若分成n个皮，每个圆面积为s，包成体积为v.
假设
模型
应用
2．买水果现象
平时与大人上街买水果时，一个习以为常的，一代教诲一代的做法是：在市场上买桃子、梨子、苹果时，一般总是先从大的挑选，这种购买方法是合算的，但为什么呢？恐怕很少人会去考虑．下面我们用建立数学模型的知识解释这种做法的合理性．
课时作业(四十七) 数学建模的主要步骤
1．假设 (1)皮的厚度一样 (2)汤圆(饺子)的形状一样
模型
应用 V＝(nv)≥nv，V是nv的倍．
若100个汤圆(饺子)包1公斤馅，
则50个汤圆(饺子)可以包1.4公斤馅．
2．解析：实际模型 考虑到外界对这三种水果表皮的污染，从食用卫生的角度出发，一般是去皮后食用，买这三种水果是按重量付钱的，而无论它们的大小如何，其各自的比重是一样的，则重量相等必定体积相等．因此在体积一定的条件下，当然是水果的表面积(皮)之和越小越好．
数学模型 是否重量相等的桃子、梨子、苹果，个数越少，其表面积之和越小呢？于是我们将这三种水果近似看作成球体，并且暂不考虑核对食用体积的影响来研究它．从而就三种水果中某种而言，其对应的数学模型为：
设甲、乙两堆体积相等的球，甲堆有球m个，半径分别为r1，r2，…，rm，乙堆有球n(n≤m)个，半径分别为R1，R2，…Rn，其中Ri≥max{r1，r2，…rm}，i＝1,2…，n，求证：甲堆球的表面积之和不小于乙堆球的表面积之和．
模型求解 该模型求解实际上是在两堆体积相等的前提下，即：
(r＋r＋…＋r)＝(R＋R＋…＋R)，
其中Ri≥max{r1，r2，…rm}，i＝1,2，…，n，证明不等式：4π(r＋r＋…＋r)≥4π(R＋R＋…＋R)．
假设：4π(r＋r＋…＋r)<4π(R＋R＋…＋R)，
则有：
(r＋r＋…＋r)<(R＋R＋…＋R)，而
(R＋…＋R)(R1＋…＋Rn)＝R＋…＋R＋R1(R＋R＋…＋R)＋…＋Rn(R＋…＋R)．
又因为有：RiR＋RRj≤R＋R(i，j∈N，i≠j)．
所以有(R＋…＋R)(R1＋…＋Rn)≤R＋…＋R＋(n－1)(R＋R＋R＋…＋R)，即有：
R＋R＋…＋R≥(R＋…＋R)(R1＋…＋Rn)
>(r＋…＋r)(R1＋…＋Rn)
≥(r＋…＋r)min{R1，…，Rn}
≥(r＋…＋r)max{r1，r2，…，rm}
≥r＋…＋r，
即有：(R＋…＋R)>(r＋…＋r)，
这与题设矛盾，于是有：
4π(r＋r＋…＋r)≥4π(R＋R＋…＋R)．
模型检验 这一结论与我们实际做法吻合．
模型深化 据日常经验可视其与桃子、梨子、苹果的大小成正比，则一定重量的桃子、梨子、苹果其核亦应相等．因此买这三种水果先从最大的挑选起是不会吃亏的．按它们的大小定价也是合理的．如果它们不去皮食用，那么上述讨论无意义．且上述模型及研究对于球形去皮食用水果都是适用的．课时作业(四十八) 数学建模活动的主要过程
1．在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗？比如洁龈牙膏50
g装的每支1.50元，120
g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2?1.试用比例方法构造模型解释这个现象．
(1)分析商品价格C与商品重量w的关系，价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素；
(2)给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减小的速度变小，解释实际意义是什么．
2．针对“北京市区道路交通流量随时间变化规律”这一选题进行分析、思考，完成其开题报告．
课时作业(四十八) 数学建模活动的主要过程
1.
解析：(1)生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，其他成本也包含与w和s成正比的部分，上述三种成本中都含有与w，s均无关的成分，又因为形状一定时一般有s＝kw，故商品的价格可表示为C＝αw＋βw＋γ(α，β，γ为大于0的常数)．
(2)单位重量价格c＝＝α＋βw－＋γw－1，其简图如图所示，显然c是w的减函数，说明大包装比小包装的商品便宜，曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐变小的，不要追求太大包装的商品．
2．解析：
要解决的问题
随着北京城市的不断发展，交通成了饱受关注的话题，那么北京市区主要道路交通流量随时间变化有什么样的规律？
选题的原因及意义
为市民日常出行乃至相关部门的政策制定提供参考
建模问题的可行性分析
时间和车流量满足一定的函数关系
基本模型、解决问题的大体思路和步骤
观测某主干道每3分钟内通过的车流量，进行分析比较，时刻为自变量x(单位：小时)，车流量为因变量y(单位：辆/3分钟)
预期结果和结果呈现方式
一个能够反映时间与车流量的函数模型，一份有求解过程的文字报告
成员和分工
全组共同制定研究计划商讨确定数学模型同学甲(组长，侧重组织讨论，把握工作方向)同学乙、丙(侧重信息采集、数据计算整理)同学丁(侧重讨论记录、报告撰写、结果复核)
参考文献
《北京交通状况的分析与预测》百度地图http：//map.
其他说明课时作业(四十六) 走近数学建模
1．下图是国际奥委会的会标，你能一笔把它画出来吗？
2.
右图是否能一笔画出？即从一个顶点出发，经过所有路线和顶点，要求每条路线只经过一次．如果能，给出一个解答；如果不能，试说明理由．
3．果农要用绳子捆扎甘蔗，有三种规格的绳子可供选择：长绳子1米，每根可捆扎7根甘蔗；中绳子0.6米，每根可捆扎5根甘蔗；短绳子0.3米，每根可捆扎3根甘蔗．现在有甘蔗46根，问果农共有多少种绳子的取法？其中最节约的是哪一种？
4．举重比赛按照运动员的体重分组，你能在一些合理、简化的假设下建立比赛成绩与体重之间的关系吗？下面是一届奥运会的竞赛成绩，可供检验你的模型．
组别
最大体重/kg
抓举/kg
挺举/kg
总成绩/kg
1
54
132.5
155
287.5
2
59
137.5
170
307.5
3
64
147.5
187.5
335
4
70
162.5
195
357.5
5
76
167.5
200
367.5
6
83
180
212.5
392.5
7
91
187.5
213
400.5
8
99
185
235
420
9
108
195
235
430
10
>108
197.5
260
457.5
课时作业(四十六) 走近数学建模
1．解析：一个图能否一笔画出，关键取决于这个图中奇点的个数，通过观察可以发现，图中所有的结点都是偶点，因此，这个图可以一笔画出，画时可以任一结点作为起点．
在上面能够一笔画出的图中，画法并不是唯一的．事实上，对于有两个奇点的图来说，任一个奇点都可以作为起点，以另一个奇点作为终点；对于没有奇点的图来说，任一个偶点都可以作为起点，最后仍以这点作为终点．
2．解析：由一笔画定理，原图可以一笔画出，一条路线在下图中用数字标出．
3．假设 设所需三种绳子的根数依次为(x，y，z)
模型 求不定方程的自然数解
解析：由条件可得方程7x＋5y＋3z＝46?x＝，要使x有自然数解需分子46－5y－3z是7的倍数，按0,7,14,21,28,35,42讨论可得：(0,8,2)，(1,6,3)，(2,4,4)(3,2,5)(4,0,6)均可，其中最合算的是(0,8,2)，即最合算的方法是：用8根中绳子和2根短绳子即可捆扎46根甘蔗．
4．解析：假设举重比赛成绩y与运动员肌肉的截面积s成正比，而截面积s＝k1w，于是y＝kw其中k1，k为正的比例系数．用举重总成绩检验这个模型，结果如图1；如果用举重总成绩拟合y＝kwα可得α＝0.57，结果如图2.
