课时作业(四十四) 频率与概率
[练基础]
1．“某彩票的中奖概率为”意味着( )
A．买1
000张彩票就一定能中奖
B．买1
000张彩票中一次奖
C．买1
000张彩票一次奖也不中
D．购买彩票中奖的可能性是
2．关于天气预报中的“某地降水概率为10%”，下列解释正确的是( )
A．有10%的区域降水
B．10%太小，不可能降水
C．降水的可能性为10%
D．是否降水不确定，10%没有意义
3．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示未命中；再以每三个随机数为一组代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
907
966
191
925
271
932
812
458
569
683
431
257
393
027
556
488
730
113
537
989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )
A．0.35
B．0.25
C．0.20
D．0.15
4．利用简单抽样法抽查某校150名男学生，其中身高为1.65米的有32人，若在此校随机抽查一名男学生，则他身高为1.65米的概率大约为________(保留两位小数)．
5．一个袋中装有一定数量差别较大的白球和黑球，从中任取一球，取出的是白球，估计袋中数量少的球是________．
6．高一(二)班张明同学投篮的命中率为0.6，他和同学进行投篮比赛，每人投10次，张明前4次都没有投中，那么剩下的6次一定能投中吗？如何理解命中率为0.6?
[提能力]
7．[多选题]甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是( )
A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数则甲获胜，向上的点数为偶数则乙获胜
B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲获胜，两枚都正面向上则乙获胜
C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则甲获胜，扑克牌是黑色的则乙获胜
D．甲、乙两人各写一个数字1或2，若两人写的数字相同则甲获胜，否则乙获胜
8．从5
000袋小包装食品中抽出100袋进行质量检测，其中质量在90～95克(不含95克)之间的有40袋，质量在95～100克(不含100克)之间的有30袋，质量在100～105克(不含105克)之间的有10袋，质量在105～110克(不含110克)之间的有20袋，由此可估计在这5
000袋小包装食品中质量在95～105克(不含105克)之间的有________袋．
9．种子公司在春耕前为了支持农业建设，采购了一批稻谷种子，进行了种子发芽试验．在统计的2
000粒种子中有1
962粒发芽．
(1)计算“种子发芽”这个事件发生的频率；
(2)若用户需要该批稻谷种芽1
00
000粒，需采购该批稻谷种子多少千克(每千克约1
000粒)?
[战疑难]
10．假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：
(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；
(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．
课时作业(四十四) 频率与概率
1．解析：根据概率的意义知中奖概率为意味着中奖的可能性是.
答案：D
2．解析：根据概率的含义可知C正确．故选C.
答案：C
3．解析：易知20组随机数中表示恰有两次命中的数据有191,271,932,812,393，所以P＝＝0.25.
答案：B
4．解析：所求概率为≈0.21.
答案：0.21
5．解析：判断的依据是“样本发生的可能性最大”．
答案：黑球
6．解析：如果把投篮作为一次试验，命中率是60%，指随着试验次数增加，即投篮次数的增加，大约有60%的球能够命中．对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前4次没有命中是可能的，对后6次来说其结果仍然是随机的，即有可能命中，也可能没有命中．
7．解析：A中，抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数与向上的点数为偶数概率相等，则游戏公平．
B中，同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上的概率为，两枚都正面向上的概率为，则游戏不公平．
C中，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的与是黑色的概率相等，则游戏公平．
D中，甲、乙两人各写一个数字1或2，若两人写的数字相同，与两人写的数字不相同概率相等，则游戏公平．故选ACD.
答案：ACD
8．解析：设这5
000袋小包装食品中质量在95～105克之间的有x袋，则由题意知，＝，解得x＝2
000.
答案：2
000
9．解析：(1)“种子发芽”这个事件发生的频率为＝0.981.
(2)若用户需要该批稻种芽100
000粒，则需要购该批稻谷种子100
000×(粒)，故需要购买该批稻谷种子100
000×÷1
000≈102(千克)．
10．解析：(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为＝，用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.
(2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有75＋70＝145(个)，其中甲品牌产品是75个，所在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是＝，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为.课时作业(四十二) 古典概型
[练基础]
1．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( )
A.
B.
C.
D.
2．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
A.
B.
C.
D.
3．在国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为( )
A.
B.
C.
D.
4．小明一家想从北京、济南、上海、广州四个城市中任选三个城市作为2020年暑假期间的旅游目的地，则济南被选入的概率是________．
5．从52张扑克牌(没有大小王)中随机地抽一张牌，这张牌是J或Q或K的概率是________．
6．现共有6家企业参与某项工程的竞标，其中A企业来自辽宁省，B，C两家企业来自福建省，D，E，F三家企业来自河南省．此项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同．
(1)列举所有企业的中标情况；
(2)在中标的企业中，至少有一家来自福建省的概率是多少？
[提能力]
7．[多选题]一个袋子中装有3件正品和1件次品，按以下要求抽取2件产品，其中结论正确的是( )
A．任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率是
B．每次抽取1件，不放回抽取两次，样本点总数为16
C．每次抽取1件，不放回抽取两次，则取出的2件中恰有1件次品的概率是
D．每次抽取1件，有放回抽取两次，样本点总数为16
8．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为________．
9．2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．
(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．
员工项目
A
B
C
D
E
F
子女教育
○
○
×
○
×
○
继续教育
×
×
○
×
○
○
大病医疗
×
×
×
○
×
×
住房贷款利息
○
○
×
×
○
○
住房租金
×
×
○
×
×
×
赡养老人
○
○
×
×
×
○
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．
[战疑难]
10．如果生男生女的概率一样，阿来叔叔家有4个小孩，全是女孩的概率大不大？
有1个男孩和3个女孩的概率，与有3个男孩和1个女孩的概率一样吗？
课时作业(四十二) 古典概型
1．解析：基本事件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共六个，甲站在中间的事件包括：乙甲丙、丙甲乙，共2个，所以甲站在中间的概率为P＝＝.
答案：C
2．解析：从4种颜色的花中任选两种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种数有4种，故概率为，选C.
答案：C
3．解析：用(A，B，C)表示A，B，C通过主席台的次序，则所有可能的次序有：(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)，共6种，其中B先于A，C通过的有：(B，C，A)和(B，A，C)，共2种，故所求概率P＝＝.
答案：B
4．解析：事件“济南被选入”的对立事件是“济南没有被选入”．某城市没有入选的可能的结果有四个，故“济南没有被选入”的概率为，所以其对立事件“济南被选入”的概率为P＝1－＝.
答案：
5．解析：在52张牌中，J，Q和K共12张，故是J或Q或K的概率是＝.
答案：
6．解析：(1)从这6家企业中选出2家的选法有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共有15种，以上就是中标情况．
(2)在中标的企业中，至少有一家来自福建省的选法有(A，B)，(A，C)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种．
则“在中标的企业中，至少有一家来自福建省”的概率为＝.
7．解析：记4件产品分别为1,2,3，a，其中a表示次品．在A中，样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1，a)，(2,3)，(2，a)，(3，a)}，“恰有一件次品”的样本点为(1，a)，(2，a)，(3，a)，因此其概率P＝＝，A正确；在B中，每次抽取1件，不放回抽取两次，样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1，a)，(2,1)，(2,3)，(2，a)，(3,1)，(3,2)，(3，a)，(a,1)，(a,2)，(a,3)}，因此n(Ω)＝12，B错误；在C中，“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6，其概率为，C正确；在D中，每次抽取1件，有放回抽取两次，样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1，a)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2，a)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3，a)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a，a)}，因此n(Ω)＝16，D正确．故选ACD.
答案：ACD
8．解析：从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10个样本点，其中这3个数能构成一组勾股数的只有(3,4,5)，故所求概率为.
答案：
9．解析：(1)由已知，老、中、青员工人数之比为6?9?10，由于采用分层随机抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．
(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有样本点为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15个．
②由表格知，符合题意的所有样本点为(A，B)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，E)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共11种．
故事件M发生的概率P(M)＝.
10．解析：通常使用树状图来讨论，如下图所示，♀表示女孩，♂表示男孩，阿来叔叔的四个小孩性别的所有可能情况如下表所示：
由表可以看出，四个小孩性别的所有可能情况有16种，其中4个孩子都是女孩只有情况(1)一个，我们称“4个孩子都是女孩的概率是”．
1个男孩和3个女孩的情况有(2)(3)(5)(9)四个，我们称“1个男孩和3个女孩的概率是”．
3个男孩和1个女孩的情况有(8)(12)(14)(15)四个，我们称“3个男孩和1个女孩的概率是”．
因此，有1个男孩和3个女孩的概率，与有3个男孩和1个女孩的概率是一样的．
此题也可列表如下：
结果
第一胎
第二胎
第三胎
第四胎
情况
1
♀
♀
♀
♀
4女
2
♀
♀
♀
♂
3女1男
3
♀
♀
♂
♀
3女1男
4
♀
♀
♂
♂
2女2男
5
♀
♂
♀
♀
3女1男
6
♀
♂
♀
♂
2女2男
7
♀
♂
♂
♀
2女2男
8
♀
♂
♂
♂
1女3男
9
♂
♀
♀
♀
3女1男
10
♂
♀
♀
♂
2女2男
11
♂
♀
♂
♀
2女2男
12
♂
♀
♂
♂
1女3男
13
♂
♂
♀
♀
2女2男
14
♂
♂
♀
♂
1女3男
15
♂
♂
♂
♀
1女3男
16
♂
♂
♂
♂
4男课时作业(四十三) 古典概型的应用
[练基础]
1．已知P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，则P(A∪B)等于( )
A．0.3
B．0.2
C．0.1
D．不确定
2．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是.则从中取出2粒恰好是同一色的概率是( )
A.
B.
C.
D．1
3．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2,0.3,0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为( )
A．0.9
B．0.3
C．0.6
D．0.4
4．一商店有奖促销活动中，有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率是0.25，则不中奖的概率是________．
5．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中至少有一名女生的概率为，那么所选3人中都是男生的概率为________．
6．盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球．设事件A表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球”．已知P(A)＝，P(B)＝，求“3个球中既有红球又有白球”的概率．
[提能力]
7．[多选题]下列命题中错误的是( )
A．对立事件一定是互斥事件
B．A，B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
C．若A，B，C三事件两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1
D．事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件
8．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是，记事件A为“出现奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)＝________.
9．甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，求：
(1)甲获胜的概率；
(2)甲不输的概率．
[战疑难]
10．某商店月收入(单位：元)在下列范围内的概率如下表：
月收入范围
[1
000，1
500)
[1
500，2
000)
[2
000，2
500)
[2
500，3
000)
概率
0.12
0.25
0.16
0.14
(1)求月收入在[1
000,2
000)范围内的概率；
(2)求月收入在[1
500,3
000)范围内的概率；
(3)求月收入不在[1
000,3
000)范围内的概率．
课时作业(四十三) 古典概型的应用
1．解析：由于不能确定A与B互斥，则P(A∪B)的值不能确定．
答案：D
2．解析：设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“从中取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.即从中取出2粒恰好是同一色的概率为.
答案：C
3．解析：设“该射手在一次射击中不够8环”为事件A，则事件A的对立事件是“该射手在一次射击中不小于8环”．
∵事件包括射中8环，9环，10环，这三个事件是互斥的，
∴P()＝0.2＋0.3＋0.1＝0.6，
∴P(A)＝1－P()＝1－0.6＝0.4，即该射手在一次射击中不够8环的概率为0.4.
答案：D
4．解析：中奖的概率为0.1＋0.25＝0.35，中奖与不中奖为对立事件，所以不中奖的概率为1－0.35＝0.65.
答案：0.65
5．解析：“至少有一名女生”与“都是男生”是对立事件，故3人中都是男生的概率P＝1－＝.
答案：
6．解析：记事件C为“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事件A“3个球中有1个红球，2个白球”和事件B“3个球中有2个红球，1个白球”，而且事件A与事件B是互斥的，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
7．解析：对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，A正确；
只有当A，B互斥时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，B错误；
虽然A，B，C三个事件两两互斥，但其并事件不一定是必然事件，C错误；
只有当A，B互斥，且满足P(A)＋P(B)＝1时，A，B才是对立事件，D错误．
故选BCD.
答案：BCD
8．解析：记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A1，A2，A3，A4，由题意知这四个事件彼此互斥．则A∪B＝A1∪A2∪A3∪A4
故P(A∪B)＝P(A1∪A2∪A3∪A4)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝＋＋＋＝.
答案：
9．解析：(1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，
所以“甲获胜”的概率P＝1－－＝.即甲获胜的概率是.
(2)方法一 设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝＋＝.
方法二 设事件A为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(A)＝1－＝.
即甲不输的概率是.
10．解析：记这个商店月收入在[1
000,1
500)，[1
500,2
000)，[2
000，2
500)，[2
500,3
000)范围内的事件分别为A，B，C，D，则这4个事件彼此互斥．
(1)月收入在[1
000,2
000)范围内的概率是
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.12＋0.25＝0.37.
(2)月收入在[1
500,3
000)范围内的概率是
P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.25＋0.16＋0.14＝0.55.
(3)月收入不在[1
000,3
000)范围内的概率是P(＋＋＋)＝1－P(A＋B＋C＋D)＝1－[P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)]＝1－(0.12＋0.25＋0.16＋0.14)＝1－0.67＝0.33.课时作业(四十五) 事件的独立性
[练基础]
1．甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出密码的概率分别为和，则两人合作译出密码的概率为( )
A.
B.
C.
D.
2．已知A，B是相互独立事件，若P(A)＝0.2，P(AB＋B＋A)＝0.44，则P(B)等于( )
A．0.3
B．0.4
C．0.5
D．0.6
3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，x，y构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中满足xy＝4的概率为( )
A.
B.
C.
D.
4．某市派出甲、乙两支球队参加全省青年组、少年组足球赛，两队夺冠的概率分别为和，则该市足球队取得冠军的概率为________．
5．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次命中的概率为，向乙靶射击二次，每次命中的概率为，该射手每次射击的结果相互独立．该射手完成以上三次射击，恰好命中一次的概率为________．
6．某示范性高中的校长推荐甲、乙、丙三名学生参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等级．若考核为合格，则给予10分降分资格；若考核为优秀，则给予20分降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为，，，他们考核所得的等级相互独立．
求在这次考核中，甲、乙、丙三名学生至少有一名考核为优秀的概率．
[提能力]
7．[多选题]从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是( )
A．2个球都是红球的概率为
B．2个球不都是红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为
D．2个球中恰有1个红球的概率为
8．某工厂在试验阶段生产出了一种零件，该零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若有且仅有一项技术指标达标的概率为，至少一项技术指标达标的概率为.按质量检验规定，两项技术指标都达标的零件为合格品，则一个零件经过检测为合格品的概率是________．
9．某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生选修哪门课互不影响．已知学生小张只选甲的概率为0.08，只选甲和乙的概率为0.12，至少选一门课的概率为0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．
(1)求学生小张选修甲的概率；
(2)记“函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率．
[战疑难]
10．某公司为了了解用户对其产品的满意度，从A，B两个地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78
86
95
66
97
78
88
82
76
89
B地区：
73
83
62
51
91
46
53
73
64
82
93
48
65
81
74
56
54
76
65
79
(1)根据两组数据完成两个地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两个地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；
(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
记事件C表示“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两个地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．
课时作业(四十五) 事件的独立性
1．解析：设甲独立破译密码的事件为A，乙独立破译密码的事件为B，则P(A)＝，P(B)＝，所以P()＝，P()＝，所以甲、乙两人合作译出密码的概率为1－P()P()＝1－×＝.
答案：D
2．解析：∵A，B是相互独立事件，
∴，B和A，均相互独立．
∵P(A)＝0.2，P(AB＋B＋A)＝0.44，
∴P(A)P(B)＋P()P(B)＋P(A)P()＝0.44，
∴0.2P(B)＋0.8P(B)＋0.2[1－P(B)]＝0.44，
解得P(B)＝0.3.
答案：A
3．解析：满足xy＝4的所有可能如下：
x＝1，y＝4；x＝2，y＝2；x＝4，y＝1.
∴所求事件的概率
P＝P(x＝1，y＝4)＋P(x＝2，y＝2)＋P(x＝4，y＝1)
＝×＋×＋×＝.
答案：C
4．解析：因为甲、乙两支球队夺冠相互不影响，是相互独立事件，所以该市取得冠军的概率P＝×＋×＋×＝.
答案：
5．解析：记“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D.
由题意知P(B)＝，P(C)＝P(D)＝，A＝B＋C＋D，
根据事件的独立性和互斥性得
P(A)＝P(B＋C＋D)
＝P(B)＋P(C)＋P(D)
＝P(B)P()P()＋P()P(C)P()＋P()P()P(D)
＝××＋××＋××＝.
答案：
6．解析：记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，“丙考核为优秀”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E.
则事件A，B，C是相互独立事件，事件
与事件E是对立事件，于是
P(E)＝1－P(
)＝1－××＝.
7．解析：设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A1，“从乙袋中摸出一个红球”为事件A2，则P(A1)＝，P(A2)＝，且A1，A2相互独立．在A中，2个球都是红球为A1A2，其概率为×＝，A正确；在B中，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为，B错误；在C中，2个球中至少有1个红球的概率为1－P()P()＝1－×＝，C正确；2个球中恰有1个红球的概率为×＋×＝，D正确．故选ACD.
答案：ACD
8．解析：设AB两项技术指标达标的概率分别为P1，P2，一个零件经过检测为合格品的概率为P.
由题意得，
解得或
则P＝P1P2＝.
答案：
9．解析：(1)设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x，y，z，则
解得
所以学生小张选修甲的概率为0.4.
(2)若函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数，则ξ＝0.
当ξ＝0时，表示小张选修三门课或三门课都不选，
所以P(A)＝P(ξ＝0)＝xyz＋(1－x)(1－y)(1－z)＝0.4×0.6×0.5＋(1－0.4)(1－0.6)(1－0.5)＝0.24，即事件A的概率为0.24.
10．解析：(1)两个地区用户的满意度评分的茎叶图如图．
通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散．
(2)记CA1表示事件“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”，CA2表示事件“A地区用户的满意度等级为非常满意”，CB1表示事件“B地区用户的满意度等级为不满意”，CB2表示事件“B地区用户的满意度等级为满意”，则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，C＝CB1CA1∪CB2CA2.
P(C)＝P(CB1CA1∪CB2CA2)＝P(CB1CA1)＋P(CB2CA2)＝P(CB1)P(CA1)＋P(CB2)P(CA2)．
由所给数据，得CA1，CA2，CB1，CB2发生的频率分别为，，，，故P(CA1)＝，P(CA2)＝，P(CB1)＝，P(CB2)＝，P(C)＝×＋×＝0.48.课时作业(四十) 随机现象 样本空间 随机事件
[练基础]
1．一个不透明口袋中装有大小和形状都相同的一个白球和一个黑球，那么“从中任意摸一个球得到白球”，这个事件是( )
A．随机事件
B．必然事件
C．不可能事件
D．不能确定
2．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件“点落在x轴上”包含的样本点共有( )
A．7个
B．8个
C．9个
D．10个
3．一个家庭有两个小孩，则样本空间Ω是( )
A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}
B．{(男，女)，(女，男)}
C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}
D．{(男，男)，(女，女)}
4．从1,2,3,4中任取2个数，样本空间为____________，事件A“恰好一个奇数，一个偶数”用集合表示为________．
5．从100个同类产品(其中有2个次品)中任取3个．
①三个正品；②两个正品，一个次品；③一个正品，两个次品；④三个次品．
以上的样本点是________．
6．某人做试验，从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中，无放回地取两个小球，每次取一个，先取的小球的标号为x，后取的小球的标号为y，这样构成有序实数对(x，y)．
(1)写出这个试验的所有结果；
(2)写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件．
[提能力]
7．[多选题]下列事件中，是随机事件的有( )
A．连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点
B．某人买彩票中奖
C．从集合{1,2,3}中任取两个不同元素，它们的和大于2
D．在标准大气压下，水加热到90
℃时会沸腾
8．已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－bx＋1(a≠0)，设集合P＝{1,2,3}，Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到样本点(a，b)，则使函数y＝f(x)有零点的样本点的个数为________．
9．从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次．
(1)写出这个试验的所有结果；
(2)设A为“取出两件产品中恰有一件次品”，写出事件A；
(3)把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，其余不变，请你回答上述两个问题．
[战疑难]
10．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层随机抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数．
(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．
①用所给编号列出样本空间；
②记M为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，列出事件M包含的样本点．
课时作业(四十) 随机现象 样本空间 随机事件
1．解析：该事件可能发生也可能不发生，为随机事件．
答案：A
2．解析：“点落在x轴上”这一事件记为M，则M＝{(－9,0)，(－7,0)，(－5,0)，(－3,0)，(－1,0)，(2,0)，(4,0)，(6,0)，(8,0)}，包含9个样本点．
答案：C
3．解析：因为两个小孩有大小之分，所以(男，女)与(女，男)是不同的样本点．故选C.
答案：C
4．答案：{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，
A＝{(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)}．
5．解析：从100个产品(其中2个次品)中任取3个可能结果是：“三个全是正品”，“两个正品一个次品”，“一个正品两个次品”．
答案：①②③
6．解析：(1)当x＝1时，y＝2,3,4；当x＝2时，y＝1,3,4；当x＝3时，y＝1,2,4；当x＝4时，y＝1,2,3.因此，这个试验的所有结果是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)．
(2)记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A，则A＝{(2,1)，(2,3)，(2,4)}．
7．解析：A、B是随机事件，C是必然事件，D是不可能事件，故选AB.
答案：AB
8．解析：(a，b)的情况有(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，共15种．函数y＝f(x)有零点等价于Δ＝b2－4a≥0，符合条件的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个样本点．
答案：6
9．解析：(1)这个试验的所有可能结果Ω＝{(a1，a2)，(a1，b)，(a2，b)，(a2，a1)，(b，a1)，(b，a2)}．
(2)A＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．
(3)①这个试验的所有可能结果Ω＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)}．
②A＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．
10．解析：(1)甲、乙、丙三个乒乓球协会共有运动员27＋9＋18＝54(人)，则应从甲协会抽取27×＝3(人)，应从乙协会抽取9×＝1(人)，应从丙协会抽取18×＝2(人)．
故从甲、乙、丙三个乒乓球协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.
(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的样本空间为Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}．
②事件M包含的样本点为(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)．课时作业(四十一) 随机事件的运算
[练基础]
1．事件M?N，当N发生时，下列必发生的是( )
A．M
B．M∩N
C．M∪N
D．M的对立事件
2．若干人站成一排，其中为互斥事件的是( )
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙站排尾”
C．“甲站排头”与“乙不站排头”
D．“甲不站排头”与“乙不站排头”
3．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机)，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是( )
A．A?D
B．B∩D＝?
C．A∪C＝D
D．A∪B＝B∪D
4．如果事件A，B互斥，记，分别为事件A，B的对立事件，那么①A∪B是必然事件；②∪是必然事件；③与一定互斥；④与一定不互斥．其中正确的是________．
5．抛掷一颗质地均匀的骰子，事件A为点数不小于4，事件B为点数不大于4，则A∩B＝________.
6．盒子里有6个红球、4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{取得的3个球有1个红球、2个白球}，事件B＝{取得的3个球有2个红球、1个白球}，事件C＝{取得的3个球至少有1个红球}，事件D＝{取得的3个球既有红球又有白球}．问：
(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
[提能力]
7．[多选题]下列各对事件中，是互斥事件的是( )
A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”
B．甲、乙两名运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”
C．甲、乙两名运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”
D．甲、乙两名运动员各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”
8．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，红色2个(标号1和2)白色2个(标号3和4)从袋中随机摸出2个球，设事件R1＝“第一次摸到红球”，R2＝“第二次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”．则R1，R2，R三个事件的关系为________．
9．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花各10张，点数均为1～10)中任取一张．判断下面给出的每对事件是不是互斥事件，是不是对立事件，并说明理由．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”．
[战疑难]
10．从1,2,3,5中任取2个数字作为函数f(x)＝ax2＋bx＋3的系数a，b.
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验的样本点的个数；
(3)用集合的形式表示出事件“函数f(x)图象的对称轴在直线x＝－1右侧”．
课时作业(四十一) 随机事件的运算
1．解析：由于M?N，则当N发生时，M不一定发生，M∩N也不一定发生，而M∪N一定发生．
答案：C
2．解析：根据互斥事件不能同时发生，判断A是互斥事件；B、C、D中两事件能同时发生，故不是互斥事件．
答案：A
3．解析：“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，∴A∪B≠B∪D.
答案：D
4.
解析：用Venn图解决此类问题较为直观，如图所示，∪是必然事件．
答案：②
5．解析：事件A点数不小于4，则样本点为4,5,6，
事件B点数不大于4，则样本点为1,2,3,4.
∴A∩B＝{4}．
答案：{4}
6．解析：(1)对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果是1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.
7．解析：A中，甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件；B中，甲、乙各射击一次，甲射中10环，且乙射中9环时，“甲射中10环”与“乙射中9环”同时发生，二者不是互斥事件；C中，甲、乙各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件；D中，甲、乙各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”可能会同时发生，二者不是互斥事件．故选AC.
答案：AC
8．解析：试验的样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}，R1＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)}，R2＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(1,2)，(3,2)，(4,2)}．由此可知，R1∩R2＝R，即R是R1与R2的交事件．
答案：R1∩R2＝R
9．解析：(1)是互斥事件，不是对立事件．
理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件
理由：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，也不是对立事件
理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌的点数为10，因此，二者不是互斥事件，也不可能是对立事件．
10．解析：(1)从1,2,3,5中任取2个数字构成有序实数对(a，b)，这个试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)}．
(2)这个试验的样本点的个数是12.
(3)由－＞－1，可得b＜2a，故该事件可用集合表示为{(2,1)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)}．
