黑龙江省安达市重点高中2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题 Word版含答案

安达市重点高中2020-2021学年高二下学期期末考试
数学试题
一、选择题
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.若角的终边经过点，则等于( )
A． B．5 C． D．
3.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )
A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　D.
4.函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
5.已知函数，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6.已知，则（ ）
A． B． C． D．
7.已知正项等比数列的前n和为，若，则（ ）
A．8 B． C．8或 D．1或8
8.在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案．该方案中“2”指的是从政治，地理，化学，生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么政治和地理至少有一门被选中的概率是( )
A． B． C． D．
9.设函数的最小正周期为.且过点.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在上单调递增
C．的图象关于点对称
D．把函数向右平移个单位得到的解析式是
10.若直线被圆截得弦长为4，则的最小值是( )
A. 9 B. 4 C. D.
11.若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12.已知函数满足，且对任意的，都有
，又，则满足不等式的的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13.已知向量，，若//，则____________.
14.已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为，则该圆锥的侧面积为__________.
15.明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象，来氏认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”.上图是来氏太极图，其大圆半径为4，大圆内部的同心小圆半径为1，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在黑色区域的概率为______.
16.已知正四棱柱的底面边长，侧棱长，它的外接球的球心为，点 是的中点，点是球上的任意一点，有以下命题：
① 的长的最大值为9;
②三棱锥的体积的最大值是;
③存在过点的平面，截球的截面面积为;
④三棱锥的体积的最大值为20；
其中是真命题的序号是___________
三、解答题
17.记为等差数列的前n项和，已知，.
（1）求公差d及的通项公式；
（2）求，并求的最小值.
18.的内角的对边分别为，已知.
（1）求B；
（2）若，的面积为，求的周长.
19.如图，在直三棱柱中，.
（1）求证：平面；
（2）若D为的中点，求与平面所成角的正弦值.
20.在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.
（1）写出直线l的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设点.若直线l与曲线相交于不同的两点，求的值.
21.直角坐标系中，半圆的参数方程为 (为参数， ),以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求的极坐标方程；
（2）直线l的极坐标方程是 ，射线与半圆的交点为，与直线l的交点为，求线段 的长．
22.为了调查成年人体内某种自身免疫力指标，去年七月某医院从在本院体检中心体检的成年人群中随机抽取了100人，按其免疫力指标分成如下五组：，，，，，其频率分布直方图如图1所示．今年某医药研究所研发了一种疫苗，对提高该免疫力有显著效果．经临床检测，将自身免疫力指标比较低的成年人分为五组，各组分别按不同剂量注射疫苗后，其免疫力指标y与疫苗注射量x个单位具有相关关系，样本数据的散点图如图2所示．
（1）设去年七月该医院体检中心共接待5000名成年人体检，试估计这些体检人群中免疫力指标不低于30的人数，并说明理由；
（2）求体检中心抽取的100个人的免疫力指标平均值；
（3）由于大剂量注射疫苗会对身体产生一定的副作用，医学部门设定：自身免疫力指标较低的成年人注射疫苗后，其免疫力指标不应超过普通成年人群自身免疫力指标平均值的3倍．以体检中心抽取的100人作为普通人群的样本，据此估计，疫苗注射量不应超过多少个单位？
附：对于一组样本数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为，．
安达市重点高中2020-2021学年高二下学期期末考试
数学参考答案
1.答案：C
解析：
2.答案：A
解析：
3.答案：D
解析：A.?∵,∴非奇非偶函数，不满足条件.
B.?是偶函数，但是没有零点，不满足条件.
C.?是奇函数，不满足条件.
D.是偶函数，且函数存在零点，满足条件.
故选：D
4.答案：B
解析：
5.答案：A
解析：
6.答案：D
解析：
7.答案：C
解析：
8.答案：D
解析：设={两门至少有一门被选中},则={两门都没被选中} 包含1个基本事件,则.
故选：D.
9.答案：D
解析：
10.答案：A
解析：圆的标准方程为：，
它表示以为圆心、半径等于2的圆；
设弦心距为，由题意可得，求得，
可得直线经过圆心，故有，
即，再由，可得
当且仅当时取等号，的最小值是9．
故选：A．
11.答案：C
解析：
12.答案：A
解析：
13.答案：
解析：
14.答案：
解析：本题考查圆锥的体积与侧面积.由题可得圆锥的体积，可得，故圆锥的母线，所以圆锥的侧面积.
15.答案：
解析：
16.答案：①④
解析：
17.答案：（1）设的公差为d，由题意得.
由得.
所以的通项公式为.
（2）由（1）得.
所以时，取得最小值，最小值为
解析：
18.答案：（1），
由正弦定理得：，
整理得：，
∵在中，，∴，
即，∴，即；
（2）由余弦定理得：，∴，
∵，
∴，∴，∴，
∴的周长为.
解析：
19.答案：（1）证明：由题意知四边形是正方形，∴.
由平面得.
又∵，∴平面.
又∵平面，∴
又∵，∴平面.
（2）连接,设.
∵平面，∴是与平面所成的角.在等腰直角三角形中，D为斜边的中点，∴.
在中， .
∴，即与平面所成角的正弦值为.
解析：
20.答案：（1）由直线l的参数方程消去参数，得直线l的普通方程为，
又将曲线的极坐标方程化为，
曲线的直角坐标方程为.
(2)将直线l的参数方程代入中，得，
得
此方程的两根为直线l与曲线的交点对应的参数，，得，，
由直线参数的几何意义，知
解析：
21.答案：(1)半圆的普通方程为 ,又 ,
所以半圆的极坐标方程是 .
(2)设 为点的极坐标，则有 ，解得；
设 为点的极坐标，则有，解得
由于 ，所以 ,所以线段 的长为4.
解析：
22.答案：（1）由频率分布直方图知，免疫力指标在中的频率为．
同理，在，，，中的频率分别为0.4，0.24，0.08，
0.02．故免疫力指标不低于30的频率为．
由样本的频率分布，
可以估计这些体检人群中免疫力指标不低于30的人数为．
（2）由直方图知，免疫力指标的平均值为．
（3）由散点图知，5组样本数据分别为，，，，，
且x与y具有线性相关关系．因为，，
则，，
所以回归直线方程为．由（2）知，免疫力指标的平均值为27．由，得，解得．
据此估计，疫苗注射量不应超过80个单位．