湖南省怀化市2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷
1．（2021高二下·怀化期末）设集合 ， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】由 ，可得 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合交集和并集的运算法则，从而求出集合。
2．（2021高二下·怀化期末）复数 的虚部为（ ）
A． B．1 C．0 D．-1
【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为 ，故复数的虚部为1。
故答案为：B
【分析】利用复数的乘法运算法则求出复数z，再利用复数的虚部的定义，从而求出复数z的虚部。
3．（2021高二下·怀化期末）近年来，我国继续大力发展公办幼儿园，积极扶持普惠性民办幼儿园，使得普惠性学前教育资源迅速增加.如图为国家统计局发布的 年幼儿园数量及学前教育毛入园率统计图.根据该统计图，下列说法不一定正确的是（ ）
注： .
A．2019年，全国共有幼儿园28.1万所
B．2019年的幼儿园数量比上一年大约增长了5.2%
C． 年我国适合入读幼儿园的人数在持续增加
D． 年我国幼儿园数量及学前教育毛入园率都在持续增加
【答案】C
【知识点】频率分布折线图、密度曲线；随机抽样和样本估计总体的实际应用
【解析】【解答】对于A：由统计图得：2019年，全国共有幼儿园28.1万所，A正确，不符合题意；
对于B：由统计图得：2019年的幼儿园数量比上一年大约增长了 ，B正确，不符合题意；
对于C： 年我国学前教育毛入园率在持续增加，但毛入园率由适合入读幼儿园的人数及入读幼儿园的人数共同决定，C不一定正确.
对于D：由统计图得： 年我国幼儿园数量及学前教育毛入园率都在持续增加，D正确，不符合题意。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合折线图和条形图中的数据，再结合统计的方法，从而找出说法不一定正确的选项。
4．（2021高二下·怀化期末）已知抛物线 ： ，则（ ）
A．它的焦点坐标为 B．它的焦点坐标为
C．它的准线方程是 D．它的准线方程是
【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线 ： ，则 ，它的焦点坐标为 ，它的准线方程是 。
故答案为：B.
【分析】将抛物线的方程转化为抛物线的标准方程，从而确定焦点和准线的位置，进而求出焦点的坐标和准线方程。
5．（2021高二下·怀化期末）二项式 的展开式中，系数最大的项为（ ）
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项
【答案】C
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】由二项式 的特点可知，
系数最大的项在中间项处取得，
第6项的系数为 ，
第7项的系数为 ，
故第7项的系数最大。
故答案为：C
【分析】由二项式 的特点可知，系数最大的项在中间项处取得，从而结合二项式定理求展开式的通项公式的方法，进而求出系数最大的项。
6．（2021高二下·怀化期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量 （单位：焦耳）与地震里氏震级 之间的关系为 .据此推断2008年5月12日我国四川省汶川地区发生里氏8.0级地震所释放的能量是今年9月30日台湾省宜兰县海域发生里氏5.0级地震所释放的能量的（ ）倍.
A． B．4.5 C．450 D．
【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则；函数模型的选择与应用
【解析】【解答】设里氏8.0级和里氏5.0级地震所释放的能量分别为 和 ，
则 ， ，
所以 ，则 ，即 。
故答案为：D.
【分析】利用实际问题的已知条件找出合适的函数模型，再利用函数模型结合对数的运算法则，从而推断出2008年5月12日我国四川省汶川地区发生里氏8.0级地震所释放的能量是今年9月30日台湾省宜兰县海域发生里氏5.0级地震所释放的能量的倍数。
7．（2021高二下·怀化期末）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”……，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”……，以此类推.今年是辛丑年，也是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年，则中国共产党成立的那一年是（ ）
A．辛酉年 B．辛戊年 C．壬酉年 D．壬戊年
【答案】A
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【解答】由题意知，天干是公差为10的等差数列，地支为公差为12的等差数列，
且 ， ，
因为2021年为辛丑年，则100年前的天干为“辛”，地支为“酉”，可得到1921年为辛酉年。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合等差数列的定义，推出天干是公差为10的等差数列，地支为公差为12的等差数列，再利用等差数列的通项公式，从而中国共产党成立的那一年为辛酉年。
8．（2021高二下·怀化期末）已知函数 ，若存在 ，使 ，则 的最大值为（ ）
A．0 B．-1 C． D．
【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】由 得 ，
因为 ，当且仅当 时，等号成立，所以 ，
当 时， ，不符题意，
当 时，取 ，则 ，即 。
故答案为：B
【分析】由 得 ，因为 ，当且仅当 时，等号成立，所以 ，再利用分类讨论的方法，从而求出实数a的取值范围。
9．（2021高二下·怀化期末）函数y＝f（x）的导函数 的图象如图所示，以下命题错误的是（ ）
A．﹣3是函数y＝f（x）的极值点
B．﹣1是函数y＝f（x）的最小值点
C．y＝f（x）在区间（﹣3，1）上单调递增
D．y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零．
【答案】B,D
【知识点】函数的最大（小）值；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】根据导函数图象可知当x∈（﹣∞，﹣3）时， ，在 时， ，
∴函数y＝f（x）在（﹣∞，﹣3）上单调递减，在 上单调递增，C符合题意；
则﹣3是函数y＝f（x）的极小值点，A符合题意；
∵在 上单调递增，∴﹣1不是函数y＝f（x）的最小值点，B不正确；
∵函数y＝f（x）在x＝0处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，D不正确；
故答案为：BD
【分析】利用函数y＝f（x）的导函数 的图象，结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点和最小值点，再利用导数的几何意义求出函数在x＝0处切线的斜率小于零，从而选出命题错误的选项。
10．（2021高二下·怀化期末）如图，四边形 是圆柱的轴截面， 是圆柱的一条母线，已知 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．圆柱的侧面积为 B．圆柱的侧面积为
C．圆柱的表面积为 D．圆柱的表面积为
【答案】B,C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ，即 ，
又因为 ，
所以圆柱的侧面积是 ，
圆柱的表面积是 。
故答案为：BC
【分析】因为 ， ，再利用勾股定理求出 BC的长，从而求出底面圆的半径， 又因为 ，再利用圆柱的侧面积公式，从而求出圆柱的侧面积，再结合圆柱的表面积公式，从而求出圆柱的表面积。
11．（2021高二下·怀化期末）已知函数 ， 的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为 和 ，图象在 轴上的截距为 ，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）
A． 的最小正周期为π B． 的最大值为2
C． D． 为偶函数
【答案】A,B,C
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】根据函数 ， ， 的部分图象，
得 ，
．
再根据五点法作图可得 ，
．
根据函数的图象经过 ，可得 ， ，
．
故 的最小正周期为 ，所以 正确；
的最大值为2，所以 正确；
由题得 ，所以 正确；
为奇函数，所以 错误.
故答案为：ABC
【分析】首先由图象以及正弦函数的周期公式即可求出A=2，，再由五点法代入数值计算出，进而求出函数的解析式结合题意对选项逐一判断即可得出答案。
12．（2021高二下·怀化期末）下列说法正确的是（ ）
A．某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为 ，则游戏者闯关成功的概率为
B．从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为
C．已知随机变量X的分布列为 ，则
D．若随机变量 ，且 .则 ，
【答案】A,C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；简单计数与排列组合
【解析】【解答】A. 5次都没投中的概率为 .
所以游戏者闯关成功的概率为 ，A符合题意.
B. 从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生分为：
1名女生3名男生、2名女生2名男生、3名女生1名男生和4名都是女生四种情况.
共有 种情况.而
所以其中至少有一名女生的概率为： .B不正确.
C. 由 ，则 ，解得
所以 ，C符合题意.
D. 由随机变量 ，则 ，
所以 ,D不正确.
故答案为：AC
【分析】利用独立事件乘法求概率公式得出5次都没投中的概率，再利用对立事件求概率公式，从而求出游戏者闯关成功的概率；利用已知条件结合组合数公式，再结合分类加法计数原理结合古典概型求概率公式，从而求出其中至少有一名女生的概率；利用随机变量X的分布列为 结合概率之和等于1，从而求出a的值，再利用代入法，从而求的值；利用已知条件结合正态分布对应的函数的对称性，从而结合随机变量的期望公式和性质，从而求出 的值，进而选出说法正确的选项。
13．（2021高二下·怀化期末）已知 ， ，若 ，则 .
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由题意，因为 ，所以 ，解得 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而求出m的值。
14．（2021高二下·怀化期末）已知 是函数 的零点，且 ， ，则 ．
【答案】3
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数零点存在定理
【解析】【解答】因为函数 显然是单调递增函数，
又因为 ，所以 ，
根据函数零点存在性定理可得，函数 有唯一零点，且零点位于区间 ；
又因为 是函数 的零点，且 ， ，
所以只需 。
故答案为：3。
【分析】利用增函数的定义判断出函数 是增函数，再利用零点存在性定理，从而得出函数 有唯一零点，且零点位于区间 ，又因为 是函数 的零点，且 ， ，从而求出k的值。
15．（2021高二下·怀化期末）从1，2，3，4，5，6这六个数任取两个不同的数，则所取两个数的和能被5整除的概率为 ．
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】从1，2，3，4，5，6这六个数任取两个不同的数，有如下情形：
，
，共计15种，
其中 能被5整除，计3种，
所以所取两个数的和能被5整除的概率为 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，从而求出所取两个数的和能被5整除的概率。
16．（2021高二下·怀化期末）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点 ， 距离之比 是常数的点的轨迹是一个圆心在直线 上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体 中，点 是正方体的表面 （包括边界）上的动点，若动点 满足 ，则点 所形成的阿氏圆的半径为 ；若 是 的中点，且正方体的表面 （包括边界）上的动点 满足条件 ，则三棱锥 体积的最大值是 ．
【答案】；
【知识点】轨迹方程；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】D为坐标原点，DA为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A（2，0），D（0，0），设P（x，y），
因为PA＝2PD，所以 ，
整理得 ，故点P所形成的阿氏圆的半径为 ；
因为AB⊥平面ADD1A1，CD⊥平面ADD1A1，
所以∠PAB＝90°，∠PDE＝90°，
所以tan∠APB＝ ，tan∠DPE ，
又∠APB＝∠DPE，则 ，
因为E是CD的中点，所以AP＝2DP，
由1空的结论可知，点P的轨迹为 的一部分，
则当P在DD1上时，三棱锥P﹣ACD的体积最大，
图2中的DP3即为三棱锥P﹣ACD最大的高，
所以 ，
则三棱锥P﹣ACD体积的最大值是 。
故答案为： ； 。
【分析】以D为坐标原点，DA为x轴建立平面直角坐标系，从而求出点的坐标，则A（2，0），D（0，0），设P（x，y），因为PA＝2PD，再利用两点距离公式，所以 ，故点P所形成的阿氏圆的半径为 ，因为AB⊥平面ADD1A1，CD⊥平面ADD1A1，所以∠PAB＝90°，∠PDE＝90°，再利用正切函数的定义，所以tan∠APB＝ ，tan∠DPE ，又因为∠APB＝∠DPE，则 ，因为E是CD的中点，所以AP＝2DP，从而求出点P的轨迹为 的一部分，则当P在DD1上时，三棱锥P﹣ACD的体积最大，则DP3即为三棱锥P﹣ACD最大的高，再利用勾股定理求出 的长 ，再利用三棱锥的体积公式求出三棱锥P﹣ACD体积的最大值 。
17．（2021高二下·怀化期末）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .且满足 .
（1）求 ；
（2）已知 ，求 外接圆的面积.
【答案】（1）由 ，根据正弦定理可得：
∵ ，∴ ，
∴ ，∵ ，∴ ；
（2）∵ ， ，设 外接圆的半径为 ，
由正弦定理可得， ，∴ ，
∴ 外接圆的面积为 .
【知识点】正弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和三角形中角B的取值范围，从而结合同角三角函数基本关系式，进而求出角C的正切值，再利用三角形中角C的取值范围，从而求出角C的值。
（2）利用已知条件结合正弦定理的性质，从而求出三角形 外接圆的半径，再利用圆的面积公式，从而求出三角形 外接圆的面积。
18．（2021高二下·怀化期末）设数列 满足： ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 为 与 的等比中项，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）由 可得 ，所以数列 是公差为 的等差数列，
又 ，所以 ．
（2）因为 为 与 的等比中项，所以 ，
所以 ．
所以
．
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和；等比数列的性质
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式变形，再利用等差数列的定义，从而判断出数列 是公差为 的等差数列，又因为 ，从而利用等差数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式。
（2）利用（1）求出的数列 的通项公式结合等比中项的公式，再结合已知条件 为 与 的等比中项， 从而求出数列 的通项公式，再利用裂项相消的方法，从而求出数列 的前 项和。
19．（2021高二下·怀化期末）为保护学生视力，让学生在学校专心学习，防止沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定．某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，现对我校80名学生调查得到统计数据如下表，记 为事件：“学习成绩优秀且不使用手机”； 为事件：“学习成绩不优秀且不使用手机”，且已知事件 的频率是事件 的频率的2倍．
不使用手机 使用手机 合计
学习成绩优秀人数 12
学习成绩不优秀人数 26
合计
（1）运用独立性检验思想，判断是否有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习成绩有影响？
（2）采用分层抽样的方法从这80名学生中抽出6名学生，并安排其中3人做书面发言，记做书面发言的成绩优秀的学生数为 ，求 的分布列和数学期望．
参考数据： ，其中 ．
P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）由已知得 解得
补全表中所缺数据如下：
不使用手机 使用手机 合计
学习成绩优秀人数 28 12 40
学习成绩不优秀人数 14 26 40
合计 42 38 80
根据题意计算观测值为 ，
所以有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响．
（2）根据题意由分层抽样方法可知，抽取成绩优秀的学生3名，成绩不优秀的学生3名．
从而X的所有可能取值为 ，
且
所以X的分布列为
X
X的数学期望为 ．
【知识点】分层抽样方法；独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合列联表中的数据将列联表补充完整，再利用列联表结合独立性检验的方法，从而判断出有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响。
（2）利用已知条件结合分层抽样的方法，从而得出抽取成绩优秀的学生3名，成绩不优秀的学生3名，进而求出随机变量X的所有可能取值，再利用组合数公式结合古典概型求概率公式，从而求出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量X的数学期望。
20．（2021高二下·怀化期末）如图①所示，在边长为12的正方形 中，点 ， 在线段 上，且 ， ．作 ．分别交 ， 于点 ， ；作 ，分别交 ， 于点 ， ．现将该正方形沿 ， 折叠，使得 与 重合，构成如图②所示的三棱柱 ．
（1）在三棱柱 中，求证： ；
（2）求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值．
【答案】（1）因为 ， ，
所以图②中 ，
从而有 ，即 ．
又因为 ，
所以 平面 ，由 平面 ，
故 ．
（2）如图，建立空间直角坐标系．
由图①可知
设平面 的法向量为 ，则有
所有可取
又平面 的法向量为
设平面 与平面 所成的锐二面角为 ，
从而
故平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 ．
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 因为 ， ，再利用勾股定理，所以图②中 ，再利用勾股定理，则 ，又因为 ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义，从而证出线线垂直，即证出 。
（2） 利用已知条件，建立空间直角坐标系，由图①可知 进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，从而求出平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值。
21．（2021高二下·怀化期末）已知椭圆C： 过点 ，c为椭圆的半焦距，且 .过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l1的斜率为-1，求△PMN的面积；
【答案】（1）解：由条件得 ，且 ，
所以 ，解得 .
所以椭圆C的方程为 .
（2）直线l1的方程为 ，联立
消去y得 .解得
直线 ，联立
消去y得 .解得
所以 ，
所以△PMN的面积为 .
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用椭圆C： 过点 结合代入法得出a，b的关系式，再利用已知条件 结合椭圆中a，b，c三者的关系式，从而求出a，b，c的值，进而求出椭圆的标准方程。
（2） 利用点斜式结合已知条件求出直线l1的方程为 ，再利用直线l1与椭圆相交，联立二者方程求出交点M的坐标，再利用直线 与椭圆相交，联立二者方程求出交点N的坐标，再利用两点距离公式求出PM和PN的长，再结合三角形面积公式，从而求出三角形 △PMN的面积。
22．（2021高二下·怀化期末）已知函数 ， ．
（1）若 ，求曲线 在点 的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若对任意 ， ，求整数 的最小值．
【答案】（1）若 ，则函数 ，定义域是 ，
可得 ，则 ， ，
故曲线 在点 的切线 的方程为 ，
设切线 与 ， 轴分别交于 ， 两点，
令 得 ，令 得 ，即 ， ，
；
（2）由 ， ，得 ，
设 ， ，则 ，
当 时， ，
设 ，则 ，故 在 递增，
又 ， ，
故存在 ，使得 ，即 ， ，
当 时， ， ，当 时， ， ，
故函数 在 内单调递增，在 内单调递减，
故 ，
∵函数 在 时单调递增，
故 ，
∵ 对任意 恒成立，又 ，
故 的最小值是-3．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用a的值求出函数的解析式，再利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点的坐标，再利用点斜式求出切线方程，设切线 与 ， 轴分别交于 ， 两点，令 得 ，令 得 ，即 ， ，再利用两点距离公式结合点到直线的距离公式和三角形面积公式，从而求出 曲线 在点 的切线与两坐标轴围成的三角形的面积。
（2） 由 ， ，得 ，设 ， ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最大值，因为函数 在 时单调递增，故 ，因为 对任意 恒成立，又因为 ，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而求出实数 的最小值。
1 / 1湖南省怀化市2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷
1．（2021高二下·怀化期末）设集合 ， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．（2021高二下·怀化期末）复数 的虚部为（ ）
A． B．1 C．0 D．-1
3．（2021高二下·怀化期末）近年来，我国继续大力发展公办幼儿园，积极扶持普惠性民办幼儿园，使得普惠性学前教育资源迅速增加.如图为国家统计局发布的 年幼儿园数量及学前教育毛入园率统计图.根据该统计图，下列说法不一定正确的是（ ）
注： .
A．2019年，全国共有幼儿园28.1万所
B．2019年的幼儿园数量比上一年大约增长了5.2%
C． 年我国适合入读幼儿园的人数在持续增加
D． 年我国幼儿园数量及学前教育毛入园率都在持续增加
4．（2021高二下·怀化期末）已知抛物线 ： ，则（ ）
A．它的焦点坐标为 B．它的焦点坐标为
C．它的准线方程是 D．它的准线方程是
5．（2021高二下·怀化期末）二项式 的展开式中，系数最大的项为（ ）
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项
6．（2021高二下·怀化期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量 （单位：焦耳）与地震里氏震级 之间的关系为 .据此推断2008年5月12日我国四川省汶川地区发生里氏8.0级地震所释放的能量是今年9月30日台湾省宜兰县海域发生里氏5.0级地震所释放的能量的（ ）倍.
A． B．4.5 C．450 D．
7．（2021高二下·怀化期末）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”……，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”……，以此类推.今年是辛丑年，也是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年，则中国共产党成立的那一年是（ ）
A．辛酉年 B．辛戊年 C．壬酉年 D．壬戊年
8．（2021高二下·怀化期末）已知函数 ，若存在 ，使 ，则 的最大值为（ ）
A．0 B．-1 C． D．
9．（2021高二下·怀化期末）函数y＝f（x）的导函数 的图象如图所示，以下命题错误的是（ ）
A．﹣3是函数y＝f（x）的极值点
B．﹣1是函数y＝f（x）的最小值点
C．y＝f（x）在区间（﹣3，1）上单调递增
D．y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零．
10．（2021高二下·怀化期末）如图，四边形 是圆柱的轴截面， 是圆柱的一条母线，已知 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．圆柱的侧面积为 B．圆柱的侧面积为
C．圆柱的表面积为 D．圆柱的表面积为
11．（2021高二下·怀化期末）已知函数 ， 的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为 和 ，图象在 轴上的截距为 ，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）
A． 的最小正周期为π B． 的最大值为2
C． D． 为偶函数
12．（2021高二下·怀化期末）下列说法正确的是（ ）
A．某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为 ，则游戏者闯关成功的概率为
B．从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为
C．已知随机变量X的分布列为 ，则
D．若随机变量 ，且 .则 ，
13．（2021高二下·怀化期末）已知 ， ，若 ，则 .
14．（2021高二下·怀化期末）已知 是函数 的零点，且 ， ，则 ．
15．（2021高二下·怀化期末）从1，2，3，4，5，6这六个数任取两个不同的数，则所取两个数的和能被5整除的概率为 ．
16．（2021高二下·怀化期末）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点 ， 距离之比 是常数的点的轨迹是一个圆心在直线 上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体 中，点 是正方体的表面 （包括边界）上的动点，若动点 满足 ，则点 所形成的阿氏圆的半径为 ；若 是 的中点，且正方体的表面 （包括边界）上的动点 满足条件 ，则三棱锥 体积的最大值是 ．
17．（2021高二下·怀化期末）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .且满足 .
（1）求 ；
（2）已知 ，求 外接圆的面积.
18．（2021高二下·怀化期末）设数列 满足： ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 为 与 的等比中项，求数列 的前 项和 ．
19．（2021高二下·怀化期末）为保护学生视力，让学生在学校专心学习，防止沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定．某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，现对我校80名学生调查得到统计数据如下表，记 为事件：“学习成绩优秀且不使用手机”； 为事件：“学习成绩不优秀且不使用手机”，且已知事件 的频率是事件 的频率的2倍．
不使用手机 使用手机 合计
学习成绩优秀人数 12
学习成绩不优秀人数 26
合计
（1）运用独立性检验思想，判断是否有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习成绩有影响？
（2）采用分层抽样的方法从这80名学生中抽出6名学生，并安排其中3人做书面发言，记做书面发言的成绩优秀的学生数为 ，求 的分布列和数学期望．
参考数据： ，其中 ．
P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
20．（2021高二下·怀化期末）如图①所示，在边长为12的正方形 中，点 ， 在线段 上，且 ， ．作 ．分别交 ， 于点 ， ；作 ，分别交 ， 于点 ， ．现将该正方形沿 ， 折叠，使得 与 重合，构成如图②所示的三棱柱 ．
（1）在三棱柱 中，求证： ；
（2）求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值．
21．（2021高二下·怀化期末）已知椭圆C： 过点 ，c为椭圆的半焦距，且 .过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l1的斜率为-1，求△PMN的面积；
22．（2021高二下·怀化期末）已知函数 ， ．
（1）若 ，求曲线 在点 的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若对任意 ， ，求整数 的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】由 ，可得 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合交集和并集的运算法则，从而求出集合。
2．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为 ，故复数的虚部为1。
故答案为：B
【分析】利用复数的乘法运算法则求出复数z，再利用复数的虚部的定义，从而求出复数z的虚部。
3．【答案】C
【知识点】频率分布折线图、密度曲线；随机抽样和样本估计总体的实际应用
【解析】【解答】对于A：由统计图得：2019年，全国共有幼儿园28.1万所，A正确，不符合题意；
对于B：由统计图得：2019年的幼儿园数量比上一年大约增长了 ，B正确，不符合题意；
对于C： 年我国学前教育毛入园率在持续增加，但毛入园率由适合入读幼儿园的人数及入读幼儿园的人数共同决定，C不一定正确.
对于D：由统计图得： 年我国幼儿园数量及学前教育毛入园率都在持续增加，D正确，不符合题意。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合折线图和条形图中的数据，再结合统计的方法，从而找出说法不一定正确的选项。
4．【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线 ： ，则 ，它的焦点坐标为 ，它的准线方程是 。
故答案为：B.
【分析】将抛物线的方程转化为抛物线的标准方程，从而确定焦点和准线的位置，进而求出焦点的坐标和准线方程。
5．【答案】C
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】由二项式 的特点可知，
系数最大的项在中间项处取得，
第6项的系数为 ，
第7项的系数为 ，
故第7项的系数最大。
故答案为：C
【分析】由二项式 的特点可知，系数最大的项在中间项处取得，从而结合二项式定理求展开式的通项公式的方法，进而求出系数最大的项。
6．【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则；函数模型的选择与应用
【解析】【解答】设里氏8.0级和里氏5.0级地震所释放的能量分别为 和 ，
则 ， ，
所以 ，则 ，即 。
故答案为：D.
【分析】利用实际问题的已知条件找出合适的函数模型，再利用函数模型结合对数的运算法则，从而推断出2008年5月12日我国四川省汶川地区发生里氏8.0级地震所释放的能量是今年9月30日台湾省宜兰县海域发生里氏5.0级地震所释放的能量的倍数。
7．【答案】A
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【解答】由题意知，天干是公差为10的等差数列，地支为公差为12的等差数列，
且 ， ，
因为2021年为辛丑年，则100年前的天干为“辛”，地支为“酉”，可得到1921年为辛酉年。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合等差数列的定义，推出天干是公差为10的等差数列，地支为公差为12的等差数列，再利用等差数列的通项公式，从而中国共产党成立的那一年为辛酉年。
8．【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】由 得 ，
因为 ，当且仅当 时，等号成立，所以 ，
当 时， ，不符题意，
当 时，取 ，则 ，即 。
故答案为：B
【分析】由 得 ，因为 ，当且仅当 时，等号成立，所以 ，再利用分类讨论的方法，从而求出实数a的取值范围。
9．【答案】B,D
【知识点】函数的最大（小）值；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】根据导函数图象可知当x∈（﹣∞，﹣3）时， ，在 时， ，
∴函数y＝f（x）在（﹣∞，﹣3）上单调递减，在 上单调递增，C符合题意；
则﹣3是函数y＝f（x）的极小值点，A符合题意；
∵在 上单调递增，∴﹣1不是函数y＝f（x）的最小值点，B不正确；
∵函数y＝f（x）在x＝0处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，D不正确；
故答案为：BD
【分析】利用函数y＝f（x）的导函数 的图象，结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点和最小值点，再利用导数的几何意义求出函数在x＝0处切线的斜率小于零，从而选出命题错误的选项。
10．【答案】B,C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ，即 ，
又因为 ，
所以圆柱的侧面积是 ，
圆柱的表面积是 。
故答案为：BC
【分析】因为 ， ，再利用勾股定理求出 BC的长，从而求出底面圆的半径， 又因为 ，再利用圆柱的侧面积公式，从而求出圆柱的侧面积，再结合圆柱的表面积公式，从而求出圆柱的表面积。
11．【答案】A,B,C
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】根据函数 ， ， 的部分图象，
得 ，
．
再根据五点法作图可得 ，
．
根据函数的图象经过 ，可得 ， ，
．
故 的最小正周期为 ，所以 正确；
的最大值为2，所以 正确；
由题得 ，所以 正确；
为奇函数，所以 错误.
故答案为：ABC
【分析】首先由图象以及正弦函数的周期公式即可求出A=2，，再由五点法代入数值计算出，进而求出函数的解析式结合题意对选项逐一判断即可得出答案。
12．【答案】A,C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；简单计数与排列组合
【解析】【解答】A. 5次都没投中的概率为 .
所以游戏者闯关成功的概率为 ，A符合题意.
B. 从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生分为：
1名女生3名男生、2名女生2名男生、3名女生1名男生和4名都是女生四种情况.
共有 种情况.而
所以其中至少有一名女生的概率为： .B不正确.
C. 由 ，则 ，解得
所以 ，C符合题意.
D. 由随机变量 ，则 ，
所以 ,D不正确.
故答案为：AC
【分析】利用独立事件乘法求概率公式得出5次都没投中的概率，再利用对立事件求概率公式，从而求出游戏者闯关成功的概率；利用已知条件结合组合数公式，再结合分类加法计数原理结合古典概型求概率公式，从而求出其中至少有一名女生的概率；利用随机变量X的分布列为 结合概率之和等于1，从而求出a的值，再利用代入法，从而求的值；利用已知条件结合正态分布对应的函数的对称性，从而结合随机变量的期望公式和性质，从而求出 的值，进而选出说法正确的选项。
13．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由题意，因为 ，所以 ，解得 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而求出m的值。
14．【答案】3
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数零点存在定理
【解析】【解答】因为函数 显然是单调递增函数，
又因为 ，所以 ，
根据函数零点存在性定理可得，函数 有唯一零点，且零点位于区间 ；
又因为 是函数 的零点，且 ， ，
所以只需 。
故答案为：3。
【分析】利用增函数的定义判断出函数 是增函数，再利用零点存在性定理，从而得出函数 有唯一零点，且零点位于区间 ，又因为 是函数 的零点，且 ， ，从而求出k的值。
15．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】从1，2，3，4，5，6这六个数任取两个不同的数，有如下情形：
，
，共计15种，
其中 能被5整除，计3种，
所以所取两个数的和能被5整除的概率为 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，从而求出所取两个数的和能被5整除的概率。
16．【答案】；
【知识点】轨迹方程；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】D为坐标原点，DA为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A（2，0），D（0，0），设P（x，y），
因为PA＝2PD，所以 ，
整理得 ，故点P所形成的阿氏圆的半径为 ；
因为AB⊥平面ADD1A1，CD⊥平面ADD1A1，
所以∠PAB＝90°，∠PDE＝90°，
所以tan∠APB＝ ，tan∠DPE ，
又∠APB＝∠DPE，则 ，
因为E是CD的中点，所以AP＝2DP，
由1空的结论可知，点P的轨迹为 的一部分，
则当P在DD1上时，三棱锥P﹣ACD的体积最大，
图2中的DP3即为三棱锥P﹣ACD最大的高，
所以 ，
则三棱锥P﹣ACD体积的最大值是 。
故答案为： ； 。
【分析】以D为坐标原点，DA为x轴建立平面直角坐标系，从而求出点的坐标，则A（2，0），D（0，0），设P（x，y），因为PA＝2PD，再利用两点距离公式，所以 ，故点P所形成的阿氏圆的半径为 ，因为AB⊥平面ADD1A1，CD⊥平面ADD1A1，所以∠PAB＝90°，∠PDE＝90°，再利用正切函数的定义，所以tan∠APB＝ ，tan∠DPE ，又因为∠APB＝∠DPE，则 ，因为E是CD的中点，所以AP＝2DP，从而求出点P的轨迹为 的一部分，则当P在DD1上时，三棱锥P﹣ACD的体积最大，则DP3即为三棱锥P﹣ACD最大的高，再利用勾股定理求出 的长 ，再利用三棱锥的体积公式求出三棱锥P﹣ACD体积的最大值 。
17．【答案】（1）由 ，根据正弦定理可得：
∵ ，∴ ，
∴ ，∵ ，∴ ；
（2）∵ ， ，设 外接圆的半径为 ，
由正弦定理可得， ，∴ ，
∴ 外接圆的面积为 .
【知识点】正弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和三角形中角B的取值范围，从而结合同角三角函数基本关系式，进而求出角C的正切值，再利用三角形中角C的取值范围，从而求出角C的值。
（2）利用已知条件结合正弦定理的性质，从而求出三角形 外接圆的半径，再利用圆的面积公式，从而求出三角形 外接圆的面积。
18．【答案】（1）由 可得 ，所以数列 是公差为 的等差数列，
又 ，所以 ．
（2）因为 为 与 的等比中项，所以 ，
所以 ．
所以
．
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和；等比数列的性质
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式变形，再利用等差数列的定义，从而判断出数列 是公差为 的等差数列，又因为 ，从而利用等差数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式。
（2）利用（1）求出的数列 的通项公式结合等比中项的公式，再结合已知条件 为 与 的等比中项， 从而求出数列 的通项公式，再利用裂项相消的方法，从而求出数列 的前 项和。
19．【答案】（1）由已知得 解得
补全表中所缺数据如下：
不使用手机 使用手机 合计
学习成绩优秀人数 28 12 40
学习成绩不优秀人数 14 26 40
合计 42 38 80
根据题意计算观测值为 ，
所以有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响．
（2）根据题意由分层抽样方法可知，抽取成绩优秀的学生3名，成绩不优秀的学生3名．
从而X的所有可能取值为 ，
且
所以X的分布列为
X
X的数学期望为 ．
【知识点】分层抽样方法；独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合列联表中的数据将列联表补充完整，再利用列联表结合独立性检验的方法，从而判断出有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响。
（2）利用已知条件结合分层抽样的方法，从而得出抽取成绩优秀的学生3名，成绩不优秀的学生3名，进而求出随机变量X的所有可能取值，再利用组合数公式结合古典概型求概率公式，从而求出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量X的数学期望。
20．【答案】（1）因为 ， ，
所以图②中 ，
从而有 ，即 ．
又因为 ，
所以 平面 ，由 平面 ，
故 ．
（2）如图，建立空间直角坐标系．
由图①可知
设平面 的法向量为 ，则有
所有可取
又平面 的法向量为
设平面 与平面 所成的锐二面角为 ，
从而
故平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 ．
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 因为 ， ，再利用勾股定理，所以图②中 ，再利用勾股定理，则 ，又因为 ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义，从而证出线线垂直，即证出 。
（2） 利用已知条件，建立空间直角坐标系，由图①可知 进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，从而求出平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值。
21．【答案】（1）解：由条件得 ，且 ，
所以 ，解得 .
所以椭圆C的方程为 .
（2）直线l1的方程为 ，联立
消去y得 .解得
直线 ，联立
消去y得 .解得
所以 ，
所以△PMN的面积为 .
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用椭圆C： 过点 结合代入法得出a，b的关系式，再利用已知条件 结合椭圆中a，b，c三者的关系式，从而求出a，b，c的值，进而求出椭圆的标准方程。
（2） 利用点斜式结合已知条件求出直线l1的方程为 ，再利用直线l1与椭圆相交，联立二者方程求出交点M的坐标，再利用直线 与椭圆相交，联立二者方程求出交点N的坐标，再利用两点距离公式求出PM和PN的长，再结合三角形面积公式，从而求出三角形 △PMN的面积。
22．【答案】（1）若 ，则函数 ，定义域是 ，
可得 ，则 ， ，
故曲线 在点 的切线 的方程为 ，
设切线 与 ， 轴分别交于 ， 两点，
令 得 ，令 得 ，即 ， ，
；
（2）由 ， ，得 ，
设 ， ，则 ，
当 时， ，
设 ，则 ，故 在 递增，
又 ， ，
故存在 ，使得 ，即 ， ，
当 时， ， ，当 时， ， ，
故函数 在 内单调递增，在 内单调递减，
故 ，
∵函数 在 时单调递增，
故 ，
∵ 对任意 恒成立，又 ，
故 的最小值是-3．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用a的值求出函数的解析式，再利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点的坐标，再利用点斜式求出切线方程，设切线 与 ， 轴分别交于 ， 两点，令 得 ，令 得 ，即 ， ，再利用两点距离公式结合点到直线的距离公式和三角形面积公式，从而求出 曲线 在点 的切线与两坐标轴围成的三角形的面积。
（2） 由 ， ，得 ，设 ， ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最大值，因为函数 在 时单调递增，故 ，因为 对任意 恒成立，又因为 ，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而求出实数 的最小值。
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