正
弦
定
理(1)
课本温习
1.
在△ABC中，a＝5，b＝3，则sinA∶sinB的值是( )
A.
B.
C.
D.
2.
在△ABC中，若B＝30°，b＝2，则等于( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
3.
在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则C等于( )
A.
30°
B.
45°
C.
75°
D.
60°
4.
在△ABC中，若tan
A＝，C＝150°，BC＝1，则AB等于( )
A.
B.
C.
D.
固基强能
5.
在锐角三角形ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝b，则角A等于( )
A.
30°
B.
45°
C.
60°
D.
75°
6.
在△ABC中，a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sinC等于( )
A.
B.
1
C.
D.
7（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（
）
A．
B．是钝角三角形
C．的最大内角是最小内角的倍
D．若，则外接圆半径为
8.以下关于正弦定理或其变形正确的有( )
A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin
A∶sin
B∶sin
C
B．在△ABC中，若sin
2A＝sin
2B，则a＝b
C．在△ABC中，若sin
A＞sin
B，则A
＞B，若A＞B，则sin
A＞sin
B都成立
D．在△ABC中，＝
9（1）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，A＝30°，B＝45°，解三角形．
（2）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，b＝6，A＝30°，解三角形．
10.在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.如果c＝a，B＝30°，那么C＝________．
11.
在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.若sin
A＝，a＝10，则△ABC的外接圆半径r＝________；边长c的取值范围是________．
规范演练
12.
在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，sin
B＋cos
B＝，求A，B，C.
13.在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
正
弦
定
理(1)
1.
A 解析：根据正弦定理得＝＝.故选A.
2.
D 解析：＝＝＝4.故选D.
3.
C 解析：
由正弦定理得＝，∴
sin
A＝.
∵
BC＝2
A为锐角．∴
A＝45°，于是C＝75°.故选C.
4.
D 解析：
∵
tan
A＝，A∈(0°，180°)，∴
sin
A＝.由正弦定理＝，∴
AB＝＝＝.故选D.
5.
C 解析：2asin
B＝b，由正弦定理得2sinAsinB＝sinB.∵
sinB≠0，∴
sinA＝.∵
A为锐角，∴
A＝60°.故选C.
6.
B 解析：在△ABC中，A＋B＋C＝π，又A＋C＝2B，故B＝.由正弦定理知sinA＝＝.又a＜b，因此A＝，从而C＝，即sinC＝1.故选B.
7.【答案】
ACD
【解析】因为
所以可设：（其中），解得：
所以，所以A正确；
由上可知：边最大，所以三角形中角最大，
又，所以角为锐角，所以B错误；
由上可知：边最小，所以三角形中角最小，
又，
所以,所以
由三角形中角最大且角为锐角可得：，
所以，所以C正确；
由正弦定理得：，又
所以，解得：，所以D正确；
故选：ACD
8.【答案】
ACD
【解析】由正弦定理易知A，C，D正确．对于B，由sin
2A＝sin
2B，可得A＝B，或2A＋2B＝π，即A＝B，或A＋B＝，∴a＝b，或a2＋b2＝c2，故B错误.
故选ACD
（1）解：∵
＝＝，a＝2，A＝30°，B＝45°，∴
b＝＝＝4.∵
C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴
c＝＝＝2＋2.
（2）解：
由a＝2，b＝6，A＝30°，及正弦定理＝，得sin
B＝＝＝，故B＝60°或120°.
当B＝60°时，C＝90°，c＝＝4；
当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2.
所以B＝60°，C＝90°，c＝4或B＝120°，C＝30°，c＝2.
10.120°
解析：
∵
c＝a，∴
sin
C＝sin
A＝sin(180°－30°－C)＝sin(30°＋C)＝×，即sin
C＝－cos
C．∴
tan
C＝－.又C∈(0°，180°)，∴
C＝120°.
11.
解析：∵
＝2r，∴
r＝.∵
＝＝，
∴
c＝sin
C．∴
012.解：∵
sin
B＋cos
B＝sin
＝，
∴
sin
＝1.又0B＝.由＝及a＝，b＝2，B＝，
得sin
A＝＝.又aAA＝.∴
C＝π－A－B＝.
13.
解：根据正弦定理，得＝＝.
∵
sin2A＝sin2B＋sin2C，∴
a2＝b2＋c2，
∴
A是直角，B＋C＝90°，
∴
2sinBcosC＝2sinBcos(90°－B)＝2sin2B＝sinA＝1，
∴
sinB＝.
∵
0°＜B＜90°，∴
B＝45°，C＝45°，
∴
△ABC是等腰直角三角形．正
弦
定
理(2)
课本温习
1.
在△ABC中，若A＝105°，C＝30°，b＝1，则c的值为( )
A.
B.
C.
1
D.
2.
若三角形三个内角之比为1∶2∶3，则这个三角形三边之比是( )
A.
1∶2∶3
B.
1∶∶
C.
1∶∶2
D.
1∶∶
3.
在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于( )
A.
B.
C.
D.
4.
在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则＋＋＝( )
A.
7
B.
8
C.
9
D.
10
固基强能
5.
设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若bcos
C＋ccos
B＝asin
A，则△ABC的形状为 ( )
A.
锐角三角形
B.
钝角三角形
C.
等腰三角形
D.
直角三角形
6.
如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝45°，则圆O的面积等于( )
A.
6π
B.
8π
C.
10π
D.
12π
7（多选）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论不正确的是（ ）
A．a2＝b2+c2﹣2bccosA
B．asinB＝bsinA
C．a＝bcosC+ccosB
D．acosB+bcosA＝sinC
8（多选）在△ABC中，给出下列4个命题，其中正确的命题是
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．,则
9.如图所示，近日我渔船编队在岛A周围海域作业，在岛A的南偏西方向有一个海面观测站B，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B相距31海里的C处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西方向，以40海里小时的速度向岛A直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D处，此时观测站测得B，D间的距离为21海里．则的值为
；海警船再向前航行
分钟方可到岛A
10.在△ABC中，若A=60°，，则=____________．
11.蓝军和红军进行军事演练，蓝军在距离的军事基地C和D，
测得红军的两支精锐部队分别在A处和B处，且，，，，如图所示，则红军这两支精锐部队间的距离是
规范演练
12.如图，在中，，点D在线段BC上．
当时，求的值；若AD是的平分线，，求的面积．
13.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
求B；已知，求的值．
正
弦
定
理(2)
1.
B 解析：由题意，知B＝180°－105°－30°＝45°.由正弦定理得c＝＝＝.故选B.
2.
C 解析：设三角形内角A，B，C分别为x，2x，3x，则x＋2x＋3x＝180°，∴
x＝30°.
由正弦定理＝＝，可知a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC，
∴
a∶b∶c＝sin30°∶sin60°∶sin90°＝∶∶1＝1∶∶2.故选C.
3.
C 解析：由三角形内角和定理知A＝75°，
由边角关系知角B所对的边b为最短边，由正弦定理＝，得b＝＝＝.故选C.
4.
A 解析：∵
A，B，C是单位圆上三点，∴
△ABC的外接圆直径为2R＝2，
∴
＝＝＝2R＝2，
∴
＋＋＝2＋1＋4＝7.故选A.
5.
D 解析：
由正弦定理，得sin
Bcos
C＋sin
C·
cos
B＝sin2A，∴
sin(B＋C)＝sin2A，即sin
A＝sin2A.又0°＜A＜180°，∴sin
A＞0，∴
sin
A＝1，即A＝90°，∴
△ABC是直角三角形．故选D.
6.
B 解析：∵
2R＝＝4，∴
R＝2.∴
S＝πR2＝8π.故选B.
7.【答案】
ABC
【解析】由在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，知：
在A中，由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，故A正确；
在B中，由正弦定理得：，∴asinB＝bsinA，故B正确；
在C中，∵a＝bcosC+ccosB，∴由余弦定理得：a＝b×+c×，
整理，得2a2＝2a2，故C正确；
在D中，由余弦定理得acosB+bcosA＝a×+b×＝+＝c≠sinC，
故D错误．故选A，B，C.
8.【答案】ABD
【解析】A.
若，则所以，所以该选项是正确的；
B.
若，则，所以该选项是正确的；
C.
若，设,所以该选项错误.
D.
,则所以,故该选项正确.
故选：A,B,D.
9.【解析】Ⅰ由已知可得，
中，根据余弦定理求得，
．
Ⅱ由已知可得，
．
中，由正弦定理可得，
分钟．
10.
2［解析］利用正弦定理，由等比性质，所以
11.【解析】在中，，，，
，．
在等边三角形ACD中，，
在中，，，
．
12.【解析】，可得：，
，，，
，可得，，
在中，；
设，则，
在中，由余弦定理可得：，解得：，或，
因为：，所以：，又由知，
当时，；
当时，．
综上，的面积为或．
13.【解析】，
，，．
，，．