余弦定理、正弦定理的应用（1）
课本温习
1.
甲、乙两楼相距a，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则乙楼的高是( )
A.
a
B.
a
C.
a
D.
a
2.
某人从出发点A向正东走xm后到B，向左转150°再向前走3m到C，测得△ABC的面积为m2，则此人这时离开出发点的距离为( )
A.
m
B.
m
C.
m
D.
m
3.
海上有A，B两个小岛相距10
n
mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是( )
A.
4
n
mile
B.
5n
mile
C.
6
n
mile
D.
5
n
mile
4.
如图所示，设A，B两点在河的两岸，测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50
m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点之间的距离为( )
A.
50
m
B.
50
m
C.
40
m
D.
25
m
固基强能
5.
如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°.若CD＝50m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cosθ等于( )
A.
－
B.
－1
C.
－1
D.
6.
如图，为测量出山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100m，则山高MN为( )
A.
100
m
B.
120
m
C.
130
m
D.
150
m
7（多选）四边形内接于圆，，下列结论正确的有（
）
A．四边形为梯形
B．圆的直径为7
C．四边形的面积为
D．的三边长度可以构成一个等差数列
8（多选）对于△ABC，有如下命题，其中正确的有（
）
A.若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形；B.若sinA＝cosB，则△ABC为直角三角形；
C.若sin2A＋sin2B＋cos2C<1，则△ABC为钝角三角形．
D.若AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为或
9.如图所示，一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始做匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动．已知AB＝4
dm，AD＝17
dm，∠BAC＝45°，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在何处截住足球？
10.
甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向的B处，两船相距a
n
mile，乙船正在向正北方向行驶．若甲船速度是乙船速度的倍，则甲船应向北偏东________的方向行驶才能最快追上乙船，甲船追上乙船时，甲船行驶了________n
mile.
11.如图，已知海中一小岛A周围38
n
mile内有暗礁，一船正在向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°的方向上，船航行30
n
mile后，在C处测得小岛A在船的南偏东45°的方向上，如果此船不改变航向，继续向南航行，______(选填“有”或“无”)触礁危险．(参考数据：≈1.732)
规范演练
12.如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，AB⊥AD，AB＝1.
(1)
若·＝3，求△ABC的面积；
(2)
若BC＝2，AD＝5，求CD的长度.
13.如图，已知的半径为1，点C在直径AB的延长线上，，点P是半圆上的一个动点，以PC为边作正三角形PCD，且点D与圆心分别在PC两侧．
若，试将四边形OPDC的面积y表示成的函数；
求四边形OPDC面积的最大值？
正、余弦定理的应用（1）
1.
B 解析：甲楼的高为atan60°＝a，乙楼的高为a－atan30°＝a－a＝a.故选B.
2.
C 解析：在△ABC中，S＝AB×BCsinB，∴
＝×x×3×sin30°，
∴
x＝.
由余弦定理，得
AC＝
＝＝(m)．故选C.
3.
D 解析：在△ABC中，∠C＝180°－60°－75°＝45°.由正弦定理得＝，
∴
＝，解得BC＝5(n
mile)．故选D.
4.
A 解析：由题意知∠ABC＝30°，由正弦定理得＝，
∴
AB＝＝＝50(m)．故选A.
5.
B 解析：在△ABC中，由正弦定理＝，得AC＝100.在△ADC中，＝，∴
cosθ＝sin(θ＋90°)＝＝－1.故选B.
6.
D 解析：在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝100m，∴
AC＝100m.在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，从而∠AMC＝45°.由正弦定理得＝，因此AM＝100m.在Rt△MNA中，AM＝100
m，∠MAN＝60°，由＝sin60°，得MN＝100×＝150(m)．故选D.
7.【答案】ACD
【解析】
可证
显然不平行
即四边形为梯形，故正确；
在中由余弦定理可得
圆的直径不可能是，故错误；
在中由余弦定理可得
解得或（舍去）
故正确；
在中，，，，满足
的三边长度可以构成一个等差数列，故正确；
故选：
8.【答案】
CD
【解析】对于A：sin2A＝sin2B，∴A＝B?△ABC是等腰三角形，或2A＋2B＝π?A＋B＝，即△ABC是直角三角形．故A不对；对于B：由sinA＝cosB，∴A－B＝或A＋B＝.∴△ABC不一定是直角三角形；对于C：sin2A＋sin2B<1－cos2C＝sin2C，∴a2＋b2sinC＝＝.而c>b，∴C＝60°或C＝120°.∴A＝90°或A＝30°.
∴S△ABC＝bcsinA＝或.D正确
故选CD。
9.解：设机器人最快可在点C处截住足球，点C在线段AD上，设BC＝x
dm，由题意知CD＝2x
dm，AC＝AD－CD＝(17－2x)dm.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos
A，即x2＝(4)2＋(17－2x)2－8(17－2x)cos
45°，解得x1＝5，x2＝.∴
AC＝17－2x＝7或AC＝－(舍去)．∴
该机器人最快可在线段AD上离A点
7
dm的点C处截住足球．
10.
30° a 解析：设在C点处甲船追上乙船，乙船到C处用的时间为t，乙船速度为v，则BC＝vt，AC＝vt，B＝120°.由正弦定理＝，得＝，∴
sin∠CAB＝，∴
∠CAB＝30°，∴
BC＝AB＝a，∴
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos
120°＝a2＋a2－2a2·＝3a2，∴
AC＝a.
11.
无 解析：在△ABC中，BC＝30，∠B＝30°，∠CAB＝45°－30°＝15°.由正弦定理得＝，解得AC＝15(＋)．∴
A到直线BC的距离为AC·sin
45°＝15(＋1)≈40.98(n
mile)．∵
40.98＞38，∴
船不改变航向，继续向南航行，无触礁危险．
12.解：(1)
因为·＝3，
所以·＝－3，
即||·||cos∠ABC＝－3.
因为∠ABC＝π，AB＝1，
所以1×||cos＝－3，则||＝3.
所以S△ABC＝||·||sin∠ABC＝.
(2)
在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos＝1＋8－2×1×2×＝13，
解得AC＝.
在△ABC中，由正弦定理得＝，解得sin∠BAC＝.
所以cos∠CAD＝cos＝sin∠BAC＝.
在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos∠CAD，解得CD＝3.
13.【解析】
，余弦定理、正弦定理的应用（2）
课本温习
1.（在中，，，分别为内角，，所对的边长，若
，，则的面积是（
）
A．3
B．
C．
D．
2.如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度等于（
）
A．
B．
C．
D．
3.已知锐角的内角的对边分别为，
，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
4.在，内角所对的边长分别为．若
，且，则=（
）
A．
B．
C．
D．
固基强能
5.在△ABC中，则=（
）
A．
B．
C．
D．
6.设△ABC的内角A,
B,
C所对的边分别为a,b,c,若,则△ABC的形状为（
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
7（多选）在中，角的对边分别为，如果满足，那么下列结论中正确的是（
）
A．
B．不可能是直角三角形
C．角一定是锐角
D．角一定是钝角
8（多选）在△ABC中，给出下列4个命题，其中正确的命题是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．,则
9.在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足
角A=
．若边长，且的面积是，边长b=
10.如图，四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD的面积为______．
11.中，已知，，，如果有两组解，则x的取值范围
规范演练
12.中，D是BC上的点，AD平分，
Ⅰ求．Ⅱ若，求．
13.中，角A，B，C所对边分别是a、b、c，且．
求的值；若，求面积的最大值．
余弦定理、正弦定理的应用（2）
1.C【解析】由可得①，由余弦定理及
可得②．所以由①②得，所以．
2．C【解析】∵，
∴
3．D【解析】，，由余弦定理解得
4．A【解析】边换角后约去，得，所以，但B非最大角，所以．
5．C【解析】由余弦定理可得，再由正弦定理得．[来源:学
科
网Z
X
X
K]
6．B【解析】∵，∴由正弦定理得，∴，∴,∴，∴△ABC是直角三角形．
7【答案】AC
【解析】由正弦定理结合已知条件易知A选项正确；当是直角三角形，例如直角三角形的三边长分别是
且是较短的直角边时，成立，故B选项错误；将不等式两边平方得，利用余弦定理的推论得，（当且仅当时，等号成立），因为为三角形的内角，所以，一定是锐角，故C选项正确；D选项错误.故选：AC
8.【答案】ABD
【解析】A.
若，则所以，所以该选项是正确的；
B.
若，则，所以该选项是正确的；
C.
若，设,所以该选项错误.
D.
,则所以,故该选项正确.
故选：A,B,D.
9.【解析】中，，
由正弦定理得
，，，
由的面积是，．
再由，可得．解得．
10.【答案】
【解析】连接BD，在中，，，，
利用余弦定理得：，，
在中，，，，
由余弦定理得：，，
则．故答案为．
11.．【解析】?有两组解，?由余弦定理得，，解得．
12.【解析】Ⅰ如图，由正弦定理得：
，
平分，，；
Ⅱ，，
，
由Ⅰ知，，即．
13.【解析】
；
，可得，
由余弦定理可得，
即有，当且仅当，取得等号．
则面积为．
即有时，的面积取得最大值．
选做题
【解析】Ⅰ证明：由得：；
两边同乘以得，；
；即；
根据正弦定理，；
，带入得：；；
Ⅱ；；
，且，当且仅当时取等号；
又a，；；
由余弦定理，；的最小值为．
