习题课：二倍角的三角函数
课本温习
1．(2018·全国卷Ⅲ)若sin
α＝，则cos
2α＝( )
A. B.
C．－
D．－
2.－＝( )
A．4
B．2
C．－2
D．－4
3．已知tan
α＝4，则的值为( )
A．18
B.
C．16
D.
4.已知等腰三角形底角的正弦值为，则顶角的正弦值是( )
A.
B.
C．－
D．－
固基强能
5.已知α，β均为锐角，且3sin
α＝2sin
β，3cos
α＋2cos
β＝3，则α＋2β的值为( )
A.
B.
C.
D．π
6.化简－的结果是( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
－1
7（多选）下列选项中，值为的是( )
A．cos
72°cos
36°
B．sinsin
C.＋
D.－cos215°
8（多选）函数的单调递减区间可以是（
）
A．
B．
C．
D．
9.的值是
10.
若＝2
021，则＋tan
2α＝________．
11.已知α∈R，sin
α＋2cos
α＝，则tan
2α＝________．
12.若8cos(＋α)cos(－α)＝1，则sin4α＋cos4α＝________．
规范演练
13.设f(x)＝＋sin
x＋a2sin(x＋)的最大值为＋3，求常数a的值
14.已知，求sin4的值。
习题课：二倍角的三角函数
1．B [cos
2α＝1－2sin2α＝1－2×＝.]
2.D [－＝－
＝＝＝＝－4.故选D.]
3．D [＝＝＝，选D.]
4.A [设底角为θ，则θ∈，顶角为180°－2θ.
∵sin
θ＝，∴cos
θ＝＝，
∴sin(180°－2θ)＝sin
2θ＝2sin
θcos
θ
＝2××＝.]
5.D [由题意得
①2＋②2得cos
β＝，cos
α＝，
由α，β均为锐角知，sin
β＝，sin
α＝，
∴tan
β＝2，tan
α＝，∴tan
2β＝－，
∴tan(α＋2β)＝0.又α＋2β∈，
∴α＋2β＝π.故选D.]
6.
B 解析：原式＝＝＝2.
7.AB [对于A，cos
36°cos
72°＝＝＝＝，故A正确；
对于B，sin
sin
＝sin
cos
＝·2sin
cos
＝
sin
＝，故B正确；
对于C，原式＝＝＝＝＝4，故C错误；
对于D，－cos215°＝－(2cos215°－1)＝－cos
30°＝－，故D错误．故选AB.]
8.【答案】A，B
【解析】，由2kπ≤2x≤2kπ，
即kπ≤x≤kπ，k∈Z，所以函数的单调递减区间是，因为函数的周期是kπ，故A正确，故选A，B.
9.证：
—降次
∴的值与无关
10.
2
021 解析：＋tan
2α＝＋＝＝
＝＝＝2
016.
11.－ 解析：依题意，得(sin
α＋2cos
α)2＝，即＋2(1＋cos
2α)＋2sin
2α＝，整理得sin
2α＝－cos
2α，所以tan
2α＝－.
12.
解析：由已知得8sin(－α)·cos(－α)＝1，∴
4sin＝1.
∴
cos
2α＝.∴
sin4α＋cos4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1－sin22α＝1－(1－cos22α)＝1－×＝1－×＝.
13± 解析：f(x)＝＋sin
x＋a2sin＝cos
x＋sin
x＋a2sin(x＋)＝sin(x＋)＋a2sin(x＋)＝(＋a2)sin.
依题意知＋a2＝＋3，∴
a＝±.
14.解：∵
∴
∴
∴cos2
=
又∵
∴2
(,
2)
∴sin2
=
∴sin4
=
2sin2cos2
=二倍角的三角函数(1)
课本温习
1.化简的结果是( )
A.
－2－
B.
－2＋
C.
2－
D.
2＋
2.计算sin
15°sin
75°的值为( )
A.
B.
1
C.
D.
3.若角α的终边经过点P(1，－2)，则tan
2α的值为( )
A.
2
B.
－2
C.
D.
－
4.计算1－2sin222.5°的值为( )
A.
B.
C.
－
D.
－
固基强能
5.
若sin
α－cos
α＝，则sin
2α的值为( )
A.
1
B.
－1
C.
D.
－
6.化简·的结果是( )
A.
tan
2α
B.
tan
α
C.
sin
2α
D.
sin
α
7.下列选下选项中，值为的是（
）
A．2cos
72°cos
36°
B．sinsin
C．＋.
D．－cos215°；
8（多选）下列函数f(x)与g(x)中，能表示同一函数的是( )
A．f(x)＝sin
2x g(x)＝2sin
xcos
x
B．f(x)＝cos
2x g(x)＝cos2x－sin2x
C．f(x)＝2cos2x－1 g(x)＝1－2sin2x
D．f(x)＝tan
2x g(x)＝
9（多选）不查表．求下列各式的值
=
（２）=
（3）
=
（４）=
10.
计算的值为________．
11.
设sin
2α＝－sin
α，α∈(，π)，则tan
2α的值是________．
12.若tan
θ＝3，则sin
2θ－cos
2θ的值为________．
规范演练
13.已知求的值．
14.已知α∈(，π)，sin
α＝.
(1)
求sin(＋α)的值；(2)
求cos(－2α)的值．
二倍角的三角函数(1)
1.C 解析：原式＝＝＝tan
15°＝tan(60°－45°)＝＝＝2－.
2.
A 解析：sin
15°sin
75°＝sin
15°sin(90°－15°)＝sin
15°cos
15°＝sin
30°＝.
3.
C 解析：∵
tan
α＝＝－2，∴
tan
2α＝＝.
4.
A 解析：原式＝cos
45°＝.
5.
B 解析：∵
sin
α－cos
α＝，∴
(sin
α－cos
α)2＝2，∴
－2sin
αcos
α＝1，即sin
2α＝－1.
6.A 解析：原式＝·＝tan
2α.
7.【答案】A，B
【解析】对于A中cos
36°cos
72°＝＝＝＝.
对于B中sin
sin
＝sin
cos
＝＝＝.
对于C中原式＝＝＝＝＝4.
对于D中－cos215°＝－(2cos215°－1)＝－cos
30°＝－，故选A，B.
8.【答案】A、B、C
【解析】显然选项A、B、C均正确，对于D，函数f(x)与g(x)的定义域不同，所以二者表示的函数不同．
9.解:
（１）
（２）
（３）
（４）
10..
解析：＝＝＝＝.
11..
解析：∵
sin
2α＝2sin
αcosα＝－sin
α，α∈(，π)，∴
cosα＝－，sin
α＝，
∴
tan
α＝－，tan
2α＝＝＝.
12.
解析：sin
2θ－cos
2θ
＝
＝＝.
13.解：由得．
又因为．
于是；
；．
14.
解：∵
α∈，sin
α＝，
∴
cos
α＝－＝－.
∴
sin＝sincos
α＋cossin
α
＝×＋×＝－.
(2)
由(1)知sin
2α＝2sin
αcos
α＝2××＝－，
cos
2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，
∴
cos＝coscos
2α＋sinsin
2α＝×＋×＝－.二倍角的三角函数(2)
课本温习
1.
化简的结果是( )D
A.
sin
2
B.
－sin
2
C.
cos
2
D.
－cos
2
2.
化简的结果是( )B
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
3.化简sin4－cos4的结果是( )
A
A.
－
B.
C.
－
D.
4.
已知α∈(，π)，且sin
α＝，则tan(2α＋)的值为( )D
A.
B.
－
C.
－
D.
固基强能
5.
已知α是三角形的最大内角，且cos
2α＝，则的值为( )
B
A.
2－
B.
2＋
C.
3－
D.
3＋
6.
已知sin(α－)＝，cos
2α＝，则sin
α的值为( )
C
A.
B.
－
C.
D.
－
7（多选）已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则( )
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B．f(x)的最小正周期为π，最小值为1
C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D．f(x)的最小正周期为2π，最小值为2
8（多选）已知函数，给出下列四个选项，正确的有（
）
A.函数的最小正周期是；
B.函数在区间上是减函数；
C.
函数的图像关于点对称；
D.函数的图像可由函数的图像向右平移个单位，再向下平移1个单位得到.
9.求值：
(1)
sin
6°
sin
42°
sin
66°
sin
78°=
；
(2)
.=
已知sin
α＋cos
α＝，则sin2(－α)＝________
已知sin
α＝＋cos
α，且α∈(0，)，则＝________．
规范演练
已知α为第二象限角，且sin
α＝，求的值．
13.已知函数f(x)＝sincos－sin2.
(1)
求f(x)的最小正周期；
(2)
求f(x)在区间[－π，0]上的最小值．
答案：
1.D
2.B
3.A
4.D
5.B
6.
C
7.AB [根据题意有f(x)＝cos
2x＋1＋cos
2x＋＝cos
2x＋，所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π，
且最大值为f(x)max＝＋＝4，f(x)min＝-＋＝1故选AB.
8.【答案】A，B
【解析】f（x）＝sin2x﹣2sin2x+1﹣1＝sin
2x+cos
2x﹣1sin（2x）﹣1．
对于A：因为ω＝2，则f（x）的最小正周期T＝π，结论正确．
对于B：当x∈[]时，2x∈[]，则sinx在[]上是减函数，结论正确．
对于C：因为f（）＝﹣1，得到函数f（x）图象的一个对称中心为（，﹣1），结论不正确．
对于D：函数f（x）的图象可由函数ysin2x的图象向左平移个单位再向下平移1个单位得到，结论不正确．
故正确结论有A，B，故选A，B．
9.解：(1)
原式＝－cos
12°cos
24°cos
48°·cos
96°
＝－cos
12°cos
24°cos
48°cos
96°
＝－
＝－
＝－＝－＝.
(2)
原式＝
＝
＝＝＝.
10.
解析：由sin
α＋cos
α＝，两边平方，得1＋sin
2α＝，解得sin
2α＝－.
所以sin2(－α)＝＝＝＝.
11.－ 解析：由题设条件，得sin
α－cos
α＝，两边平方，得1－2sin
αcos
α＝，解得2sin
αcos
α＝，所以(sin
α＋cos
α)2＝1＋2sin
αcos
α＝.又α∈，所以sin
α＋cos
α＝，所以sin＝(sin
α－cos
α)＝，cos
2α＝－(sin
α＋cos
α)(sin
α－cos
α)＝－，所以＝－.
12.
[解] 原式＝
＝.
∵α为第二象限角，且sin
α＝，
∴sin
α＋cos
α≠0，cos
α＝－，
∴原式＝＝－.
13.解：(1)
因为f(x)＝sin
x－×＝－
＝sin－，
所以f(x)的最小正周期为2π.
(2)
由x∈[－π，0]，得x＋∈[－，]，即sin∈.
当x＋＝－，即x＝－时，sin(x＋)取得最小值为－1，所以f(x)在区间[－π，0]上的最小值为－1－.
