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第七章
随机变量及分布列
7.5
正态分布
1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量，提高数学建模的核心素养；
2.通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征，体会数形结合和转化思想，提高数学抽象及数据分析的核心素养.
3.了解正态分布的均值、方差及其含义，会用正态分布去解决实际问题，提高逻辑推理、数学运算的核心素养.
定义
可以一一列举
连续型随机变量：取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0。
1.连续型随机变量与离散型随机变量的区别？
2.连续型随机变量取一点的概率为什么为0？
不能一一列举
定义辨析
交通工具的选择
问题1：小明每天上学总是感觉时间很紧张，公交车、单车是学生上学常见的两种交通工具，选择哪一种交通工具使上学更不容易迟到？
问题2：运用所学统计学的知识：收集数据，分析数据，做出决策。如何从数学的角度帮小明做出决定，解决交通工具选择问题？
问题3：有一天，小明只有
30
分钟就要上课了，选择哪一种交通工具更不容易迟到？
交通工具的选择
频率
组距
0
时间
交通工具的选择
问题
4：根据频率分布直方图选出若只有
30
分钟上学最不容易迟到的交通方式？
问题
5：由这样
30
个数据得出的结论可不可靠？怎样使得结论更加可靠？
在时间不超过30分钟时，公交车小矩形面积大于单车矩形面积
交通工具的选择
以小组为单位
（1）绘制频率分布直方图
（2）绘制频率分布折线图
公交车时间频率分布表
分成6组
分成15组
时间
频率
组距
o
总体密度曲线
当样本容量不断增大,分组的组距不断缩小时，
思考1：频率分布直方图的形状有何特点？
思考2：频率分布折线图的折痕有何特点？
思考3：频率分布直方图的轮廓有何特点？
高斯
正态曲线和函数
,
其中μ∈R，＞0为参数.
x
y
O
正态密度函数：
正态曲线
正态曲线:
正态密度函数图像为正态密度曲线.
正态分布：
随机变量的概率分布密度函数为记为.
定义1
定义2
定义3
例题
例1：给出下列两个正态总体的函数表达式，请找出其和
标准正态曲线
特别地，当时，称随机变量服从标准正态分布.
X的密度曲线
Y的密度曲线
y
x
30
34
38
问题再探究
回扣引入：小明只有
30
分钟就要上课了，乘坐公交车和骑单车不迟到的概率怎样表示？选择哪一种交通工具更不容易迟到？
李明各记录了200次坐公交车和骑单车所花的时间，根据数据分析，得到了坐公交车用时和骑单车用时的正态曲线。
问题：如在选择交通工具的决策中，应依据什么准则？
思考：从正态曲线分析，随机变量X在有什么几何意义？
x
y
0
a
b
等于曲边梯形的面积
思考1：x轴与正态曲线所夹面积为多少？
思考2：对称区域面积有何特征？
S(-?,-x)
S(x,+?)＝S(-?,-x)
?
回扣问题：连续型随机变量取一点的概率为什么为0（即）？
现实生活中的正态分布
2.一定条件下生长的小麦
株高
穗长
单位面积产量
零件的尺寸
3.正常生产条件下
各种产品的质量指标
纤维的纤度
电容器的电容量
电子管的使用寿命等
4.某地每年七月份
平均气温
平均湿度
降雨量等
在现实生活中
遗传基因、饮食习惯、
每天锻炼身体的时间等
随机变量
服从或近似服从
正态分布
体重
1.长度测量的误差
某一地区同年龄人群
身高
肺活量
例如
正态曲线的特点
特点：
（1）对称性：曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.“钟形”
（3）渐近线:
当无限增大时，曲线无限接近轴.
（2）单调性：曲线在x=μ处达到峰值(最高点).
其中μ∈R，＞0为参数.
0
y
x
μ
小组探讨：观察正态曲线及相应的密度函数，你能观察正态曲线的哪些特点？
例题
例1
在一次测试中，测量结果服从正态分布N(2，σ?)(σ＞0)，若在
(0,2)内取值的概率为0.2，
求：(1)；
(2)．
的意义
两个参数μ和对正态曲线的形状有何影响？它们反映正态曲线的哪些特征？
其中μ∈R，＞0为参数.
0
y
x
μ
的意义
为位置参数
当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
思考1：当σ一定时，对曲线有怎样的影响？
参数反映了正态分布的集中位置，即
的意义
为形状参数
?
当μ一定时，曲线的形状由σ确定
.
（1）σ越小，峰值____，曲线越“_____”，表示总体的分布越_______.
（2）σ越大，峰值____，曲线越“_____”，表示总体的分布越_______；
思考2：当一定时，σ对曲线有怎样的影响？
σ反映了随机变量X相对于均值的离散程度，即
越高
瘦高
集中
越低
矮胖
分散
例题
例2．设两个正态分布N(μ1，
)(σ1＞0)和N(μ2，
)
(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有
(
)
A．μ1＜μ2，σ1＜σ2
B．μ1＜μ2，σ1
＞
σ2
C．μ1＞μ2，σ1＜σ2
D．μ1＞μ2，σ1＞σ2
A
正态分布在生活中的应用
医学参考值范围亦称医学正常值围．它是指所谓“正常人”的解剖、生理、生化等指标的波动范围．制定正常值范围时，首先要确定一批足够大的样本；其次需根据研究目的和使用要求选定适当的百分界值，如80％，90％，95％
和99％，常用95％；
根据指标的实际用途确定单侧或双侧界值，如白细胞计数过高过低皆属不正常，则需确定双侧界值；又如肝功中转氨酶过高属不正常，则需确定单侧上界；肺活量过低属不正常，则需确定单侧下界．
思考：你能用正态分布的知识解释一下参考值设置的合理性吗？
3σ原则
信息技术演示
若，可以证明：对给定的是一个只与________有关的定值.
我们从上图看到，正态总体在
以外取值的概率只有0.27
％,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，称为小概率事件.
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，2
)的随机变量X只取
中的值，这在统计学中称为3原则.
3σ原则
例题
例3.
某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70,10?)，
如果此年级共有1
000名学生，求：
(1)是多少？
(2)成绩在60以内的约有多少人？
(3)是多少？
博古通今
正态分布是应用最广泛的一种连续型分布.
正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布.
棣莫佛
棣莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，
这一公式被认为是正态分布的首次露面.
高斯
课堂小结
1．本节课所学的知识点？2．本节课所用到的是数学思想？
正态分布
正态曲线
3?原则
①②③
正态密度函数
正态曲线特点
的意义
知识
数学思想
数形结合
转化
回扣目标
1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量，提高数学建模的核心素养；
2.通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征，体会数形结合和转化思想，提高数学抽象及数据分析的核心素养.
3.了解正态分布的均值、方差及其含义，会用正态分布去
解决实际问题，提高逻辑推理、数学运算的核心素养.
《卜算子?正态分布》
正态分布描，离散平均律；
形若山峦绘起伏，理顺无章序。
天数纵茫茫，亦往巅峰聚，
山脚存留百分五，尽是专家欲。
作业
1.查阅正态分布的数学史，以小组为单位形成学习报告，交流学习；
2.完成教材第87页练习1、2、3.
