2021-2022学年北师大版七年级数学上册《2.11 有理数的混合运算》同步培优提升训练（Word版 附答案）

2021年北师大版七年级数学上册《2.11有理数的混合运算》同步培优提升训练（附答案）
一．选择题（共8小题）
1．求1+2+22+23+…+22016的值，可令S＝1+2+22+23+…+22016，则2S＝2+22+23+…+22016+22017，因此2S﹣S＝22017﹣1，S＝22017﹣1．参照以上推理，计算4+42+43+…+42018+42019的值为（　　）
A．42020﹣1 B．42020﹣4 C． D．
2．生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例：12＝1×10+2，212＝2×10×10+1×10+2；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用0~F来表示0~15，满十六进一，它与十进制对应的数如表：
十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 …
十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 …
例：十六进制2B对应十进制的数为2×16+11＝43，10C对应十进制的数为1×16×16+0×16+12＝268，那么十六进制中14E对应十进制的数为（　　）
A．28 B．62 C．238 D．334
3．定义a※b＝a（b+1），例如2※3＝2×（3+1）＝2×4＝8，则（x﹣1）※x的结果为（　　）
A．x2 B．x2﹣1 C．x2+1 D．x2﹣2x+1
4．2021减去它的，再减去余下的，再减去余下的，…，以此类推，一直减到余下的，则最后剩下的数是（　　）
A．0 B．1 C． D．
5．符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）f（1）＝0，f（2）＝1，f（3）＝2，f（4）＝3，…
（2）f（）＝2，f（）＝3，f（）＝4，f（）＝5，…
利用以上规律计算f（）﹣f（2020）的结果是（　　）
A．﹣2011 B．﹣1 C．0 D．1
按照下面的操作步骤，若输入x＝﹣4，则输出的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．﹣5 D．5
7．已知a、b为有理数，下列式子：①|ab|＞ab；②；③；④a3+b3＝0．其中一定能够表示a、b异号的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．规定a〇b＝，则（6〇4）〇3等于（　　）
A．4 B．13 C．15 D．30
二．填空题（共12小题）
9．如图，某学校“桃李餐厅”把WIFI密码做成了数学题．小红在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络．那么她输入的密码是　 　．
10．已知a，b为有理数，如果规定一种新的运算“※”，规定：a※b＝2b﹣3a，例如：1※2＝2×2﹣3×1＝4﹣3＝1，计算：（2※3）※5＝　 　．
11．有一种“24点”游戏的规则：用4个整数进行有理数运算（可用括号和乘方）列出一个计算结果为24的算式，现有数2，﹣3，4，5，请列出“24点”的算式：　 　（写出一个算式即可）．
12．定义一种新运算A☆B＝A2﹣AB，若（x+2）☆x＝20，则x＝　 　．
13．当a、b均小于0，规定新运算a2*b2＝，那么*[（﹣5）2*42]＝　 　．
14．符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：f（1）＝1+，f（2）＝1+，f（3）＝1+，f（4）＝1+，…．利用以上运算的规律求出2021f（2021）＝　 　．
15．对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b）★（c，d）＝bc﹣ad．例如：（1，2）★（3，4）＝2×3﹣1×4＝2．
根据上述规定解决问题：当满足等式（﹣3，2x﹣1）★（k，x+k）＝﹣7+2k的x是整数时，整数k的所有可能的值的和是　 　．
16．对于一个运算a※b＝，已知|a|＝3，b＝2，那么a※b＝　 　．
17．已知a为有理数，{a}表示不大于a的最大整数，如{0.5}＝0，{1.6}＝1，{﹣0.4}＝﹣1，{﹣3.5}＝﹣4等，则计算{﹣7.5}﹣{6.2}×{﹣0.89}÷{4.3}＝　 　．
18．下列是运用有理数加法法则计算﹣5+2思考、计算过程的叙述：
①﹣5和2的绝对值分别为5和2；②2的绝对值2较小；
③﹣5的绝对值5较大；④﹣5+2是异号两数相加；
⑤结果的绝对值是用5﹣2得到；⑥计算结果为﹣3；
⑦结果的符号是取﹣5的符号﹣﹣负号．
请按运用法则思考、计算过程的先后顺序排序（只写序号）：　 　．
19．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数x和y，x※y＝xy+a（x+y）+1（a为常数）．例如：2※3＝2×3+（2+3）a+1＝5a+7．若2※（﹣1）的值为3，则a的值为　 　．
20．已知“!”是一种运算符号，并且1!＝1，2!＝1×2，3!＝1×2×3，4!＝1×2×3×4，…，则＝　 　．
三．解答题（共8小题）
21．阅读思考：
我们知道：152＝225＝1×（1+1）×100+5×5；32×38＝1216＝3×（3+1）×100+2×8；74×76＝5624＝7×（7+1）×100+4×6；66×64＝4224＝6×（6+1）×100+6×4．
观察以上等式，可以发现，两个两位数相乘，若它们的十位数字相同，个位数字之和为10，可以先用这两个两位数的十位数字乘以比它们十位数字大1的数，并把所得的结果乘以100；再加上这两个两位数个位数字相乘的积，所得结果就是这两个两位数相乘的积．
解决问题：
（1）请用观察到的规律直接写出：
①37×33； ②95×95；
（2）十位数字为a，个位数字分别为m，n的两个两位数相乘，则这两个两位数可以分别表示为10a+m，10a+n．如果m+n＝10，上述规律可表示为（10a+m）（10a+n）＝100a（a+1）+mn，请说明这个等式成立的合理性；
（3）个位数字为c，十位数字分别为a，b的两个两位数相乘，如果a+b＝10，请仿照（2）写出其规律等式，并说明这个等式成立的合理性．
22．材料1：一般地，n个相同因数a相乘：记为an，如23＝8，此时3叫做以2为底的8的对数，记为log28（log28＝3）．
（1）计算：log39＝　 　；＝　 　；
材料2：新规定一种运算法则：自然数1到n的连乘积用n!表示，例如：1!＝1，2!＝2×1＝2，3!＝3×2×1＝6，4!＝4×3×2×1＝24，…，在这种规定下：
（2）求出满足该等式的x；
（3）当x为何值时，|x+log416|+|x﹣3!|＝10．
23．定义一种新运算：观察下列各式：
1*2＝1×3+2＝5，
4*（﹣2）＝4×3﹣2＝10，
3*4＝3×3+4＝13，
6*（﹣1）＝6×3﹣1＝17．
（1）请你想想：a*b＝　 　；
（2）若a≠b，那么a*b　 　b*a（填“＝”或“≠”）；
（3）先化简，再求值：（a﹣b）*（a+2b），其中a＝1，b＝﹣2．
24．发现：两个差为2的正整数的积与1的和总是一个正整数的平方．
验证：（1）9×7+1是几的平方？
（2）设较小的一个正整数为n，写出这两个正整数积与1的和，并说明它是一个正整数的平方．
延伸：两个差为4的正偶数，它们的积与常数a的和是一个正整数的平方，求a．
25．阅读理解：
计算：（﹣）÷（﹣+）．
解：设原式的值为x，易知x≠0．
所以＝（﹣+）÷（﹣）．＝（﹣+）×（﹣12）＝﹣8+3﹣10＝﹣15．
所以x＝﹣，即（﹣）÷（﹣+）＝﹣．
尝试运用：
请按以上方法计算：÷（﹣﹣）．
26．某市为鼓励市民节约用水，规定自来水的收费标准如下表：
每月每户用水量 每吨价格（元）
不超过10吨部分 2
超过10吨部分 3
（1）现已知某家三月份用水16吨，则应缴水费多少元？
（2）如果这家四月份的水费为65元，则四月份用水多少吨？
27．已知|m|＝2，|n|＝4，解答下列各题：
（1）若m＞n，求m﹣n的值；
（2）若n＞0，求mn×（m+n）的值．
28．在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品．
下面我们用四个卡片代表四名同学（如图）：
列式，并计算：
①﹣3经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？
②5经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．解：设S＝4+42+43+…+42018+42019，
则4S＝42+43+…+42019+42020，
∴4S﹣S＝42020﹣4，
∴3S＝42020﹣4，
∴S＝，
即4+42+43+…+42018+42019的值为．
故选：C．
2．解：由题意得14E＝1×16×16+4×16+14＝334．
故选：D．
3．解：根据题中的新定义得：
原式＝（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1．
故选：B．
4．解：由题意可得，
第一次剩下：2021﹣2021×＝，
第二次剩下：×（1﹣）＝×＝，
第三次剩下：×（1﹣）＝＝，…，
∴一直减到余下的，最后剩下的数是＝1，
故选：B．
5．解：f（）﹣f（2020）
＝2020﹣2019
＝1．
故选：D．
6．解：把x＝﹣4代入得：（﹣4+3）3﹣4＝﹣1﹣4＝﹣5，
故选：C．
7．解：当|ab|＞ab时，a、b一定异号；
当＜0时，a、b一定异号；
当||＝﹣，则≤0，a可能等于0，b≠0，a、b不一定异号；
当a3+b3＝0，a3＝﹣b3，即a3＝（﹣b）3，
所以a＝﹣b，有可能a＝b＝0，a、b不一定异号．
所以一定能够表示a、b异号的有①②．
故选：B．
8．解：∵a〇b＝，
∴（6〇4）〇3＝〇3＝5〇3＝＝4．
故选：A．
二．填空题（共12小题）
9．解：由三个等式，得到规律：
5*3⊕6＝301848可知：5×6 3×6 6×（5+3），
2*6⊕7＝144256可知：2×7 6×7 7×（2+6），
9*2⊕5＝451055可知：9×5 2×5 5×（9+2），
∴4*8⊕6＝4×6 8×6 6×（4+8）＝244872．
故答案为：244872．
10．解：∵a※b＝2b﹣3a，
∴（2※3）※5
＝（2×3﹣3×2）※5
＝（6﹣6）※5
＝0※5
＝2×5﹣3×0
＝10﹣0
＝10，
故答案为：10．
11．解：﹣2×（﹣3﹣4﹣5）
＝﹣2×[（﹣3）+（﹣4）+（﹣5）]
＝﹣2×（﹣12）
＝24．
故答案为：﹣2×（﹣3﹣4﹣5）＝24．
12．解：根据题中的新定义得：
（x+2）2﹣x（x+2）＝20，即2（x+2）＝20，
解得：x＝8．
故答案为：8．
13．解：根据题中的新定义得：原式＝（）2*（）＝（）2*（）2＝＝．
故答案为：．
14．解：∵f（1）＝1+，f（2）＝1+，f（3）＝1+，f（4）＝1+，…．
∴f（n）＝1+，
∴2021f（2021）
＝2021×（1+）
＝2021+2
＝2023，
故答案为：2023．
15．解：∵等式（﹣3，2x﹣1）★（k，x+k）＝﹣7+2k的x是整数，
∴（2x﹣1）k﹣（﹣3）×（x+k）＝﹣7+2k，
∴（2k+3）x＝﹣7，
∴x＝﹣，
∵k是整数，
∴2k+3＝±1或±7，
∴k＝﹣1，﹣2，2，﹣5．
∴整数k的所有可能的值的和是﹣1﹣2+2﹣5＝﹣6，
故答案为：﹣6．
16．解：∵|a|＝3，b＝2，
∴a＝3或a＝﹣3，
当a＝3，b＝2时，a＞b，此时a※b＝3﹣2＝1；
当a＝﹣3，b＝2时，a＜b，此时a※b＝﹣3+2＝﹣1；
综上，a※b＝±1，
故答案为：±1．
17．解：∵{a}表示不大于a的最大整数，
∴{﹣7.5}﹣{6.2}×{﹣0.89}÷{4.3}
＝﹣8﹣6×（﹣1）÷4
＝﹣8+1.5
＝﹣6.5．
故答案为：﹣6.5．
18．解：运用法则思考、计算过程的先后顺序排序是：
④﹣5+2是异号两数相加；
①﹣5和2的绝对值分别为5和2；
③﹣5的绝对值5较大；
②2的绝对值2较小；
⑦结果的符号是取﹣5的符号﹣﹣负号．
⑤结果的绝对值是用5﹣2得到；
⑥计算结果为﹣3；
故答案为：④①③②⑦⑤⑥．
19．解：∵2※（﹣1）的值为3，
∴2※（﹣1）＝3，
∴2×（﹣1）+a[2+（﹣1）]+1＝3，
解得a＝4，
故答案为：4．
20．解：由题意可得，
＝＝2021，
故答案为：2021．
三．解答题（共8小题）
21．（1）①37×33＝3×（3+1）×100+3×7＝1221，
②95×95＝9（9+1）×100+5×5＝9025，
（2）由题意知：
（10a+m）×（10a+n）
＝100a?+10am+10an+mn
＝100a?10a（m+n）+mn，
因为m+n＝10，
上式＝100a?10a×10+mn
＝100a（a+1）+mn，
（3）个位数字为c，十位数字分别为a，b的两个两位数分别为10a+c，10b+c，
其规律为（10a+c）×（10b+c）＝（a×b+c）×100+c?，
证明：（10a+c）×（10b+c）
＝100ab+10ac+10bc+c?
＝100ab+10c（a+b）+c?
∵a+b＝10，
上式＝100ab+100c+c?
＝（ab+c）×100+c?．
22．解：（1）32＝9，log39＝2，
24＝16，log216＝4，34＝81，log381＝4，
∴（log216）2+＝16+＝，故答案为2，，
（2）由1!＝1，
2!＝2×1＝2，2!＝2×1!
3!＝3×2×1＝6，3!＝3×2!
4!＝4×3×2×1＝24，4!＝4×3!
可得n!＝n×（n﹣1）!
，|x﹣1|＝6，
去绝对值号得：x﹣1＝6或者x﹣1＝﹣6，
解得：x＝7或x＝﹣5．
（3）|x+log416|+|x﹣3!|＝10，
即|x﹣+2|+|x﹣6|＝10，
①当x＜﹣2时，﹣（x+2）﹣（x﹣6）＝10，解得x＝﹣3．
②当﹣2＜x＜6时，（x+2）﹣（x﹣6）＝10，无解，
③当x＞6时，（x+2）+（x+6）＝10，解得x＝1，不满足取值范围．
故x＝﹣3．
23．解：（1）根据题意得：a*b＝3a+b．
故答案为：3a+b
（2）∵a*b＝3a+b，b*a＝3b+a，a≠b．
a*b≠b*a．
故答案为：≠．
（3）（a﹣b）*（a+2b）＝3（a﹣b）+a+2b
＝4a﹣b．
当a＝1，b＝﹣2时，原式＝4+2＝6．
24．解：（1）∵9×7+1＝64＝82，
∴9×7+1是8的平方；
（2）和为（n+2）×n+1，
∵（n+2）×n+1＝n2+2n+1＝（n+1）2，
∴原式为正整数（n+1）的平方；
延伸：设较小的正偶数为2k，
∴2k（2k+4）+a＝4k2+8k+a＝，
由配方法可知a＝4，
原式＝4（k2+2k+1）＝[2（k+1）]2，
综上：a＝4．
25．解：设原式的值为y，则y≠0，
∴
＝
＝49﹣28﹣9
＝12，
∴y＝，
即＝．
26．解：（1）2×10+3×（16﹣10）
＝20+18
＝38（元）
答：应缴水费38元．
（2）（65﹣2×10）÷3+10
＝（65﹣20）÷3+10
＝45÷3+10
＝15+10
＝25（吨）
答：四月份用水25吨．
27．解：因为|m|＝2，|n|＝4，
所以m＝±2，n＝±4，
（1）因为m＞n，所以n只能取﹣4，
当m＝2，n＝﹣4时，m﹣n＝6，
当m＝﹣2，n＝﹣4时，m﹣n＝2，
所以m﹣n等于6或2；
（2）因为n＞0，所以n只能取4，
当m＝2，n＝4时，mn×（m+n）＝96，
当m＝﹣2，n＝4时，mn×（m+n）＝32．
所以mn×（m+n）等于96或32．
28．解：（1）①[（﹣3）×2﹣（﹣5）]2+6
＝（﹣6+5）2+6
＝（﹣1）2+6
＝1+6
＝7；
②[5﹣（﹣5）]2×2+6
＝（5+5）2×2+6
＝102×2+6
＝100×2+6
＝200+6
＝206；