2.6利用三角函数测高同步训练（附答案）-2021--2022学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

2021年鲁教版九年级数学上册《2.6利用三角函数测高》同步优生辅导训练（附答案）
1．如图，一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10千米到B处，再从B处向正西方向行驶20千米到C处，这时这艘船与A的距离（　　）
A．15千米 B．10千米 C．10千米 D．5千米
2．已知海面上一艘货轮A在灯塔B的北偏东30°方向，海监船C在灯塔B的正东方向5海里处，此时海监船C发现货轮A在它的正北方向，那么海监船C与货轮A的距离是（　　）A．10海里 B．5海里 C．5海里 D．海里
3．如果从货船A测得小岛b在货船A的北偏东30°方向500米处，那么从小岛B看货船A的位置，此时货船A在小岛B的（　　）
A．南偏西30°方向500米处 B．南偏西60°方向500米处
C．南偏西30°方向250米处 D．南偏西60°方向250米处
4．如图，一艘轮船由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°的方向，继续向东航行40海里后到B处，测得灯塔P在北偏东30°的方向，此时轮船与灯塔之间的距离是　 　海里．
5．如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头A的北偏东60°方向、在码头B的北偏西45°方向，AC＝4千米．那么码头A、B之间的距离等于　 　千米．（结果保留根号）
6．如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C处测得B在北偏西45°方向上，测得A在北偏东30°方向上，又测得A、C之间的距离为100米，则A、B之间的距离是　 　米（结果保留根号形式）．
7．已知点B位于点A北偏东30°方向，点C位于点A北偏西30°方向，且AB＝AC＝8千米，那么BC＝　 　千米．
8．为了维护国家主权和海洋权益，海监部门对我领海实施常态化巡航管理．如图，一艘正在执行巡航任务的海监船接到固定监测点P处的值守人员报告；在P处南偏东30°方向上，距离P处14海里的Q处有一可疑船只滞留，海监船以每小时28海里的速度向正东方向航行，在A处测得监测点P在其北偏东60°方向上，继续航行半小时到达了B处，此时测得监测点P在其北偏东30°方向上．
（1）B、P两处间的距离为　 　海里；如果联结图中的B、Q两点，那么△BPQ是　 　三角形；如果海监船保持原航向继续航行，那么它　 　[填“能”或“不能”]到达Q处；
（2）如果监测点P处周围12海里内有暗礁，那么海监船继续向正东方向航行是否安全？
9．如图，已知某船向正东方向航行，在点A处测得某岛C在其北偏东60°方向上，前进8海里后达到点B处，测得岛C在其北偏东45°方向上．已知岛C周围10海里内有暗礁．问：如果该船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．
10．如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东45°方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东22°方向上．
（1）求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到0.01米）
（2）如果轮船M沿着南偏东30°的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由．
（参考数据：sin22°≈0.375，cos22°≈0.927，tan22°≈0.404，≈1.732．）
11．如图，小岛A在港口P的南偏西45°方向上，一艘船从港口P，沿着正南方向，以每小时12海里的速度航行，1小时30分钟后到达B处，在B处测得小岛A在它的南偏西60°的方向上，小岛A离港口P有多少海里？
12．如图，一艘游艇在离开码头A处后，沿南偏西60°方向行驶到达B处，此时从B处发现灯塔C在游轮的东北方向，已知灯塔C在码头A的正西方向200米处，求此时游轮与灯塔C的距离（精确到1米）．
（参考数据：＝1.414，＝1.732，＝2.449）
13．如图，海中有一个小岛A，该岛的四周10海里的范围内有暗礁．有一货轮在海面上由西向东航行．到达B处时，该货轮位于小岛南偏西60°的方向上，再往东行驶20海里后到达小岛的南偏西30°的方向上的C处．如果货轮继续向东航行，是否会有触礁的危险？请通过计算说明．
14．如图，在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站，A在B的正东方向，AB＝2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．
（1）求点P到海岸线l的距离；
（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）
15．如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处．一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
16．“雪龙”号考察船在某海域进行科考活动，在点A处测得小岛C在它的东北方向上，它沿南偏东37°方向航行2海里到达点B处，又测得小岛C在它的北偏东23°方向上（如图所示），求“雪龙”号考察船在点B处与小岛C之间的距离．
（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.4，≈1.7）
17．如图，已知某船向正东方向航行，在点A处测得某岛C在其北偏东60°方向上，前进8海里处到达点B处，测得岛C在其北偏东30°方向上．已知岛C周围6海里内有一暗礁，问：如果该船继续向东航行，有无触礁危险？请说明你的理由．
18．如图，在港口A的南偏东37°方向的海面上，有一巡逻艇B，A、B相距20海里，这时在巡逻艇的正北方向及港口A的北偏东67°方向上，有一渔船C发生故障．得知这一情况后，巡逻艇以25海里/小时的速度前往救援，问巡逻艇能否在1小时内到达渔船C处？
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈）
19．温州市处于东南沿海，夏季经常遭受台风袭击，一次，温州气象局测得台风中心在温州市A的正西方向300千米的B处，以每小时10千米的速度向东偏南30°的BC方向移动，距台风中心200千米的范围是受台风严重影响的区域．试问：
（1）台风中心在移动过程中离温州市最近距离是多少千米？
（2）温州市A是否受台风影响？若不会受到，请说明理由；若会受到，求出温州市受台风严重影响的时间．
20．如图，某湖心岛上有一亭子A，在亭子A的正东方向上的湖边有一棵树B，在这个湖心岛的湖边C处测得亭子A在北偏西45°方向上，测得树B在北偏东36°方向上，又测得B、C之间的距离等于200米，求A、B之间的距离
（结果精确到1米）．（参考数据：≈1.414，sin36°≈0.588，cos36°≈0.809，tan36°≈0.727，cot36°≈1.376）
21．如图，海中有一个小岛A，该岛四周11海里范围内有暗礁．有一货轮在海面上由西向正东方向航行，到达B处时它在小岛南偏西60°的方向上，再往正东方向行驶10海里后恰好到达小岛南偏西45°方向上的点C处．问：如果货轮继续向正东方向航行，是否会有触礁的危险？
（参考数据：≈1.41，≈1.73）
22．如图，MN是一条东西方向的海岸线，在海岸线上的A处测得一海岛在南偏西32°的方向上，向东走过780米后到达B处，测得海岛在南偏西37°的方向，求小岛到海岸线的距离．
（参考数据：tan37°＝cot53°≈0.755，cot37°＝tan53°≈1.327，tan32°＝cot58°≈0.625，cot32°＝tan58°≈1.600．）
23．某条道路上通行车辆的限速60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点P到AB的距离PH为50米（如图）．已知点P在点A的北偏东45°方向上，且在点B的北偏西60°方向上，点B在点A的北偏东75°方向上，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内，可认定为超速？（参考数据：≈1.7，≈1.4）．
参考答案
1．解：如图，
∵BC⊥AE，
∴∠AEB＝90°，
∵∠EAB＝30°，AB＝10千米，
∴BE＝5米，AE＝5千米，
∴CE＝BC﹣BE＝20﹣5＝15（千米），
∴AC＝（千米），
故选：C．
2．解：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝5海里，
∴AC＝BC?tan60°＝5（海里），
即海监船C与货轮A的距离是5海里，
故选：B．
3．解：如图所示：
∵小岛B在货船A的北偏东30°方向500米处，
∴货船A在小岛B的南偏西30°方向500米处，
故选：A．
4．解：如图所示：由题意可得，∠PAB＝30°，∠DBP＝30°，
故∠PBE＝60°，
则∠P＝∠PAB＝30°，
可得：AB＝BP＝40海里．
故答案为：40．
5．解：如图，作CD⊥AB于点D．
∵在Rt△ACD中，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，
∴CD＝AC?sin∠CAD＝4×＝2（km），AD＝AC?cos30°＝4×＝2（km），
∵Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠CBD＝45°，
∴BD＝CD＝2（km），
∴AB＝AD+BD＝2（km），
故答案是：（2+2）．
6．解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△ACD中，∵∠ACD＝30°，AC＝100m，
∴AD＝100?sin∠ACD＝100×0.5＝50（m），
CD＝100?cos∠ACD＝100×＝50（m），
在Rt△BCD中，
∵∠BCD＝45°，
∴BD＝CD＝50m，
则AB＝AD+BD＝50+50（m），
即A、B之间的距离约为（50+50）米．
故答案为：（50+50）．
7．解：依照题意画出图形，如图所示．
（方法一）∵∠BAD＝30°，∠CAD＝30°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°．
又∵AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴BC＝AC＝8千米．
故答案为：8．
（方法二）在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，AB＝8千米，
∴BD＝4千米．
同理，CD＝4千米，
∴BC＝BD+CD＝8千米．
故答案为：8．
8．解：（1）如图1所示：
由题意得：AB＝28×＝14（海里），∠PAB＝90°﹣60°＝30°，∠ABP＝90°+30°＝120°，
∴∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠ABP＝30°，∴∠APB＝∠PAB，
∴PB＝AB＝14（海里），
∵BC∥PD，
∴∠BPD＝∠PBC＝30°，
∴∠BPQ＝∠BPD+∠QPD＝30°+30°＝60°，
∵PQ＝PB＝14，
∴△BPQ是等边三角形，
∴∠PBQ＝60°，
∴∠PBQ+∠ABP＝60°+120°＝180°，
∴A、B、Q三点共线，
∴如果海监船保持原航向继续航行，那么它到达Q处，
故答案为：14，等边，能；
（2）过点P作PH⊥AB于H，如图2所示：
由（1）得：∠PBH＝60°，
在Rt△BHP中，PH＝sin60°×PB＝×14＝7，
∵7＞12，
∴海监船继续向正东方向航行是安全的．
9．解：无触礁危险，理由如下：作CD⊥AB于点D，由题意可知，∠CAB＝30°，∠CBD＝45°，
∴∠ACB＝15°，
在Rt△BCD中，
∵∠BDC＝90°，∠CBD＝45°，
∴∠BCD＝45°，
∴BD＝CD．
∵AB＝8，
∴AD＝8+CD＝．
∴DC＝≈10.9＞10，
∴船继续向东航行无触礁危险．
10．解：（1）过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D，设DM＝x，
∵在Rt△CDM中，CD＝DM?tan∠CMD＝x?tan22°，
又∵在Rt△ADM中，∠MAC＝45°，
∴AD＝DM，
∵AD＝AC+CD＝100+x?tan22°，
∴100+x?tan22°＝x，
∴x＝≈≈167.79，
答：轮船M到海岸线l的距离约为167.79米．
（2）作∠DMF＝30°，交l于点F．
在Rt△DMF中，DF＝DM?tan∠FMD＝DM?tan30°
＝DM≈×167.79≈96.87米，
∴AF＝AC+CD+DF＝DM+DF≈167.79+96.87＝264.66＜300，
所以该轮船能行至码头靠岸．
11．解：作AE⊥PB于E，
由题意得，PB＝12×1.5＝18海里，
设AE＝x海里，
∵∠APE＝45°，
∴PE＝AE＝x，
∵∠ABE＝60°，
∴BE＝x，
由题意得，x﹣x＝18，
解得，x＝27+9，
则AP＝27+9，
答：小岛A离港口P有（27+9）海里．
12．解：过B作BD⊥AC于D，
在Rt△BCD中，∵∠D＝90°，∠DBC＝45°，
∴∠DBC＝∠DCB＝45°，
∴BD＝CD，
在Rt△ABD中，∵∠DAB＝30°，
∴AD＝BD，
∵AC＝200，
∴BD﹣BD＝200，
∴BD＝＝100（+1），
∴BC＝BD＝100（+1）×≈386米，
答：此时游轮与灯塔C的距离为386米．
13．解：过点A作直线BC的垂线，垂足为D，
由题意，得∠BAD＝60°，∠CAD＝30°，
∴∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝30°，
又∵∠B＝90°﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠B＝∠BAC，
∴AC＝BC，
∵BC＝20，
∴AC＝BC＝20（海里），
在Rt△ACD中，（海里），
由题意知：以海岛A为圆心，半径长为10海里范围内有暗礁．这里，，
所以，如果货轮继续向东航行，没有触礁的危险．
14．解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．设PD＝xkm．
在Rt△PBD中，∠BDP＝90°，∠PBD＝90°﹣45°＝45°，
∴BD＝PD＝xkm．
在Rt△PAD中，∠ADP＝90°，∠PAD＝90°﹣60°＝30°，
∴AD＝PD＝xkm．
∵BD+AD＝AB，
∴x+x＝2，
x＝﹣1，
∴点P到海岸线l的距离为（﹣1）km；
（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F．
根据题意得：∠ABC＝105°，
在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，∠BAF＝30°，
∴BF＝AB＝1km．
在△ABC中，∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝45°．
在Rt△BCF中，∠BFC＝90°，∠C＝45°，
∴BC＝BF＝km，
∴点C与点B之间的距离为km．
15．解：如图作CH⊥AD于H．设CH＝xkm，
在Rt△ACH中，∠A＝37°，∵tan37°＝，
∴AH＝＝，
在Rt△CEH中，∵∠CEH＝45°，
∴CH＝EH＝x，
∵CH⊥AD，BD⊥AD，
∴CH∥BD，
∴＝，
∵AC＝CB，
∴AH＝HD，
∴＝x+5，
∴x＝≈15，
∴AE＝AH+HE＝+15≈35km，
∴E处距离港口A有35km．
16．解：过点A作AM⊥BC，垂足为M．
由题意知：AB＝2海里，∠NAC＝∠CAE＝45°，
∠SAB＝37°，∠DBC＝23°，
∵∠SAB＝37°，DB∥AS，
∴∠DBA＝37°，∠EAB＝90°﹣∠SAB＝53°．
∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝37°+23°＝60°，
∠CAB＝∠EAB+∠CAE＝53°+45°＝98°．
∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣98°﹣60°＝22°．
在Rt△AMB中，∵AB＝2海里，∠ABC＝60°，
∴BM＝1海里，AM＝海里．
在Rt△AMC中，tanC＝，
∴CM＝≈≈＝4.25（海里）
∴CB＝CM+BM＝4.25+1＝5.25（海里）
答：“雪龙”号考察船在点B处与小岛C之间的距离为5.25海里．
17．解：作CD⊥AB于点D，由题意可知，∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，
∴∠ACB＝30°，
在Rt△BCD中，
∵∠BDC＝90°，∠CBD＝60°，
∴∠BCD＝30°，
∴∠ACB＝∠BCD．
∴△CDB∽△ADC．
∴＝
∵AB＝CB＝8
∴BD＝4，AD＝12．
∴＝
∴CD＝4
≈6.928＞6．
∴船继续向东航行无触礁危险．
18．解：过点A作AH⊥BC，垂足为点H．
由题意，得∠ACH＝67°，∠B＝37°，AB＝20．
在Rt△ABH中，
∵sinB＝，∴AH＝AB?sin∠B＝20×sin37°≈12，
∵cosB＝，∴BH＝AB?cos∠B＝20×cos37°≈16，
在Rt△ACH中，
∵tan∠ACH＝，
∴CH＝≈5，
∵BC＝BH+CH，∴BC≈16+5＝21．
∵21÷25＜1，
所以，巡逻艇能在1小时内到达渔船C处．
19．解：（1）过点A作AD⊥BC于D，
由题意得AB＝300，∠ABD＝30°
∴AD＝AB＝150（km）；（3分）
（2）∵150＜200
∴温州市点A受到台风严重影响
设台风中心距A点200km处，
刚好处在BC上的E，F两点则
在Rt△ADE中，AE＝200，AD＝150
∴DE＝＝
∴EF＝2DE＝
∴温州市A受台风严重影响的时间为．（6分）
20．解：过点C作CH⊥AB，垂足为点H，
由题意，得∠ACH＝45°，∠BCH＝36°，BC＝200，
在Rt△BHC中，，
∴，
∵sin36°≈0.588，
∴BH≈117.6，
又，
∴．
∵cos36°≈0.809，
∴HC≈161.8，
在Rt△AHC中，，
∵∠ACH＝45°，
∴AH＝HC，
∴AH≈161.8，
又AB＝AH+BH，
∴AB≈279.4，
∴AB≈279（米），
答：A、B之间的距离为279米．
21．解：过点A作AH⊥BC，垂足为点H．
由题意，得∠BAH＝60°，∠CAH＝45°，BC＝10．（
设AH＝x，则CH＝x．
在Rt△ABH中，
∵，
∴，
∴，
解得，
∵13.65＞11，
∴货轮继续向正东方向航行，不会有触礁的危险．
22．解：过点C作CD⊥MN，垂足为D，设CD＝x米，
∵AB＝BD﹣AD，
∴xtan37°﹣xtan32°＝780，
解得：x＝6000，
答：小岛到海岸线的距离6000米．
23．解：如图，由题意知∠CAB＝75°、∠CAP＝45°、∠PBD＝60°，
∴∠PAH＝∠CAB﹣∠CAP＝30°，
∵∠PHA＝∠PHB＝90°，PH＝50，
∴AH＝＝＝50，
∵AC∥BD，
∴∠ABD＝180°﹣∠CAB＝105°，
∴∠PBH＝∠ABD﹣∠PBD＝45°，
则PH＝BH＝50，
∴AB＝AH+BH＝50+50，
∵60千米/时＝米/秒，
∴时间t＝＝3+3≈8.1（秒），
即车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速